第二章：函數與基本初等函數

（模塊綜合調研卷）

（19題新高考新結構）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.函數/（力=11?+/-2的零點所在區間是（）

A."1）B.C."）D.（G）

【答案】C

【分析】由零點存在性定理可得答案.

【詳解】因為函數“X）的定義域為（o,+8）,又尸（x）=：+2x>0,易知函數在（0,+8）上單調遞增，

又=（旬=ln&=；170,所以在（1,匈內存在一個零點%,使/㈤=0.

故選：C.

11-1

2.已知x=ln3,y=log5M，z=e2,則（）

A.X<y〈zB.zvx<yc.z<yvxD.y<z<x

【答案】D

【分析】利用指數函數、對數函數的性質，借助媒介數比較大小.

11I-1-111

【詳解】依題意，x=ln3>l,^=log—<logV5而z=e2=亍〉彳且zvl,

55522

所以yvzv匕

故選：D

2X

3.已知函數〃同=示、，則下列說法不正確的是（）

A.函數/(x)單調遞增B.函數/'(X)值域為(0,2)

C.函數的圖象關于(0,1)對稱D.函數〃尤)的圖象關于(1,1)對稱

【答案】C

【分析】分離常數，再根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷A；根據函數形式的變形，根據指數函數

的值域，求解函數的值域，即可判斷B；根據對稱性的定義，〃2-力與的關系，即可判斷CD.

【詳解】小)=^^=2，+2-2=2__二，

,72%-1+12X-1+12X-1+1

2

函數y=2——,t=2%-1+1,則

t

又內層函數f=2'T+l在R上單調遞增，外層函數v=2-;在(1,茁)上單調遞增,

所以根據復合函數單調性的法則可知，函數，(元)單調遞增，故A正確；

22

因為2，T+1>1，所以則0<2-^<2,

2+172T+1

所以函數〃x)的值域為(0,2),故B正確；

f(2-x}=-y---=---=Y，/(2-x)+/(x)=2,

I'21-v+l2+2%2'一+1''一

所以函數/(x)關于點(1,1)對稱，故C錯誤，D正確.

故選：C.

【答案】A

【分析】由/(x)的定義域排除B；由是奇函數排除C；由排除D,從而得出答案.

【詳解】由e-erO,得用,則外力的定義域是3尤工0},排除B；

所以函數〃%）是奇函數，排除C；

故選：A.

5.若函數/（》）=卜2-（加一2）x+l|在上單調，則實數小的取值范圍為（）

252

919

在

u-B-2u工-

A._22_2

__

-1p1U3,|-；，2U3,|9

C.D.

22

【答案】C

【分析】由題意，根據二次函數的圖象與性質建立不等式組，解之即可求解.

1Q

即實數m得取值范圍為［-了12［3,萬］.

故選：C.

1<3

41''—4

6.已知函數是R上的單調函數，則實數。的取值范圍是（）

3

loga(4x)-l,x>-

A.(0,1)C.(1,A/3)D.(1,3)

【答案】B

【分析】根據題意，結合分段函數的單調性的判定方法，結合對數函數的性質，列出關于。的不等式，即可

求解.

1

【詳解】根據題意，當時，1)=一—::~4,可得/(X)在‘名5上遞增，

''4x-4x-1

'1/3

------,X<一

要使得函數〃尤)="XT43是R上的單調函數，

log“(4尤

則滿足且1嗎卜、J」“3解可得l<awg,

174x--4

4

所以實數。的取值范圍為(1,不］.

故選：B.

7.已知a=ln3，b--,c=e03，貝U()

4

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】構造函數〃x)=ex-xT,由〃x)的單調性和最值可證明c>3,再構造g(x)=lnx-1由g(x)的

單調性和最值可證明a<心即可得出答案.

【詳解】令〃x)=e*—xT,貝ij_r(x)=e=l.

當xe(-8,0)時，r(x)<0,尤)單調遞減，

當xe(O,+8)時,r(x)>0,單調遞增，

貝/(O)=O,^c=e°-3>l+0.3=1.3>|.

令g(x)=ln%-2,則g3=J__」=￡_^.

exeex

當xe(e,+8)時，g,(x)<0,g(x)單調遞減，

335

則g⑶<g(e)=O,即ln3<：<&=j

t^a<b<c,

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于構造函數，通過求出函數的單調性和最值來比較大小.構造函數

/(x)=e'-x-l,和g(x)=ln—?即可得出答案.

8.已知函數/⑴，g(x)的定義域均為R,〃x+l)是奇函數，且〃l—x)+g(x)=2,〃x)+g(龍-3)=2,

貝IJ()

2020

A.〃X)為奇函數B.g(x)為奇函數C.2y(左)=40D.￡g(A)=40

k=lk=l

【答案】D

【分析】A選項，根據已知條件推出是周期為4的周期函數，故g(x)也是周期為4的周期函數，

?=/(%),故A錯誤;C選項,推出"1)=0,/(3)=0,/(2)+/(4)=0,從而求出

20

2/(%)=5[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=0工選項,由〃1)=0得8(0)=2,故8錯誤；口選項,計算出8出=2,

k=\

g⑴+g⑶=4,故g(O)+g(l)+g(2)+g⑶=8,結合函數的周期得到答案.

【詳解】A選項，因為〃x)+g(無-3)=2,所以/(尤+3)+g(無)=2,

又/(I-x)+g(x)=2,則有/(x+3)=〃l-x),

因為/'(x+1)是奇函數，所以/(x+l)=-〃1一龍)，

可得〃x+3)=—/(x+1),即有〃x+2)=—“力與〃x+4)=—〃x+2),

即J(x+4)=/(x),

所以〃x)是周期為4的周期函數，故g(x)也是周期為4的周期函數.

因為一〃一x)=〃x+2)且〃x+2)=—〃x).所以〃f)=〃x),

所以〃x)為偶函數.故A錯誤，

C選項，由/(x+1)是奇函數，則/■⑴=0,

因為/(x+2)=—/(x),所以1(3)=0,

又〃x+l)=-〃1—x),〃x)是周期為4的周期函數，

故了(2)+〃4)=/(2)+〃0)=0,

20

所以?(左)=5[〃1)+〃2)+/(3)+/(4)]=0,所以C錯誤；

Z=1

B選項，由/(1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函數，所以B錯誤；

D選項，因為〃x+3)+g(x)=2,所以g⑵=2-〃5)=2-/(1)=2,

^(1)+5(3)=[2-/(4)]+[2-/(6)]=4-[/(4)+/(2)]=4,

所以g(O)+g(l)+g(2)+g⑶=8,

20

所以2>/)=5[g(O)+g⑴+g(2)+g⑶]=4。，所以D選項正確

k=\

故選：D

【點睛】設函數y=/(x),XGR,O>0,a'b.

(1)若f(x+a)=〃x-a),則函數的周期為2a；

（2）若〃x+a）=—〃x）,則函數的周期為2a；

(3)若右I+'=--〃-尤)'則函數〃x）的周期為2a；

(4)右'；/（X）,則函數〃尤）的周期為2a；

（5）若"x+a）=/（x+b）,則函數的周期為卜-小

（6）若函數〃x）的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數〃x）的周期為2忸-小

（7）若函數"力的圖象既關于點（。,0）對稱,又關于點修,0）對稱,則函數的周期為2也-小

（8）若函數“X）的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點色,0）對稱,則函數〃x）的周期為牛-小

（9）若函數/（尤）是偶函數，且其圖象關于直線彳=。對稱，則F（x）的周期為2a；

（10）若函數〃x）是奇函數，且其圖象關于直線x=。對稱，則〃x）的周期為4a.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.已知20=5"=10,則下列關系正確的是（）

A.e-b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.J+lj+^+2j>8

【答案】AD

【分析】利用對數的運算法則化簡，結合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.

【詳解】因為2〃=5"=10,

所以a=log,10=l+log,5=」,b=108510=1+10852=^

-lg2lg5

11I5-12

對A選項，a-b=——-——=22>0,所以e“">e°=l,故A正確;

lg2lg5Ig51g2

i-加上+工-Ig5+lg2-lIglO-l

對B選項,=0,

lg2lg5lg2lg5Ig5.lg2Ig5-lg2

所以a+b=故B選項不正確;

對C選項，因為a,匕>。，—I—=1g2+1g5=1,

ab

所以々+4/?=（〃+46）［工+：］=竺+￡+522^^~^+5=9,

而故上述不等式等號不成立，則，+4方>9,故C不正確;

對D選項，J-+1J+(^+2)=(lg2+1)2+(lg5+2)2=(lg2+1)2+(1-lg2+2)2

=21g22-41g2+10=2(lg2-l)2+8>8,故D正確.

故選：AD

10.已知函數/(尤)，g(x)的定義域均為R,且滿足〃x)-g(2-x)=4,g(x)+/(尤-4)=6,

g(3-x)+g(l+無)=0,則()

A.f?-/(x-2)=-2B.g(x)的圖象關于點(3,0)對稱

60

C.g⑵=0D.2/(n)=-1620

n=l

【答案】AC

【分析】由g(3-x)+g(l+x)=。得出y=g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，由g(x)+/(x-4)=6和

“X)-g(2-x)=4得出/(x)-4X-2)=-2可判斷A；由g。+4)+f(x)=6和7(x)-g(2-x)=4可判斷B；根

據g(x)的定義域均為R和圖象關于點(2,0)對稱可判斷C；記%=〃2")，MN*,結合選

項A知數列｛%｝和數列也“｝均為等差數列，利用等差數列的求和公式可判斷D.

【詳解】g(3-x)+g(l+x)=O,

>=g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，即g(2-x)=-g(x+2),

對于A,:g(x)+/(x-4)=6,g(x+2)+/(無一2)=6①，

1■,fkx]-g(2-x)=4-,/(x)+g(x+2)=4②，

②-①得“無)-/(無-2)=-2,故A正確；

對于B,1■,g(x)+/(x-4)=6,g(x+4)+y(x)=6③，

/W-g(2-x)=4(4),

③一④得g(x+4)+g(2r)=2,g(x)的圖象關于點(3,1)對稱，故B錯誤；

對于C,：g(x)的定義域為R且圖象關于點(2,0)對稱，；.g⑵=0,故C正確；

對于D,???g(x)的定義域為R且圖象關于點(3,1)對稱，二g⑶=1,

由②知，當x=l時,/(l)+g(3)=4,f(l)=3,

當x=0時，/(0)+g(2)=4,/(0)=4,

...”尤)_f(x-2)=-2,f(2)-/(0)=-2,/(2)=2,

記bn=f(2n),?eN\

由選項A知，數列｛4｝是以3為首項，以-2為公差的等差數列，

數列圾｝是以2為首項，以-2為公差的等差數列，

cin=3+("—1)(—2)=—2n+5,6“=2+(〃—1)(—2)=—2n+4,

?&&30x(3-55)30x(2-56)

_q_L+_t_L=-1590,故D錯誤.

n=ln=ln=l乙/

故選：AC.

11.著名的德國數學家狄利克雷在19世紀提出了這樣一個〃奇怪的〃函數：定義在R上的函數

[0]是無理數

。（可=「曰力謝.?后來數學家研究發現該函數在其定義域上處處不連續、處處不可導?根據該函數，以

[1,尤是有理數

下是真命題的有（）

A.D（x+y）＜D（x）+D（y）

B.。（尤）的圖象關于V軸對稱

C.A（X）=O（D（X））的圖象關于'軸對稱

D.存在一個正三角形，其頂點均在。（x）的圖象上

【答案】BCD

【分析】特殊值代入驗證A,D；利用偶函數定義判斷B,C.

【詳解】對于A,當x=0,丫=-夜時，D（x+y）=D（0）=l,卜0）=0+0=0,

O（x+y）＞O（x）+O（y）,故A錯誤；

對于B,因為。（x）的定義域為R,關于原點對稱，

若-x是無理數，則x是無理數，所以O（-x）=0,D（x）=0；

若t是有理數，則x是有理數，所以O（-x）=l,D（x）=l；

所以。（r）=O（x）,

故O（x）是偶函數，圖象關于丫軸對稱，B正確；

對于C,由B可知，D（-x）=￡＞（%）,所以2（T）=￡＞（D（T））=￡＞9（X））=4（X）,

故2（元）=。（。（k）是偶函數，圖象關于y軸對稱，C正確；

對于D,設4廠*,0,?g，。，C（0,l）,

則|/羽=體。=忸。，所以“BC是等邊三角形，

又因為｛gJ=0,。用=°，。（°）=1，所以"RC的頂點均在。（力的圖象上，D正確.

故選：BCD

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.若/（尤）=1幅"+3，）+（無+心是偶函數,則實數。=.

【答案】-1

【分析】因為〃x）=log3（33，+3*）+（x+a）2是偶函數，所以/⑴=/（-1）,據此即可求解，注意檢驗.

【詳解】因為〃x)=log3(3"+3*)+(x+a)2是偶函數，定義域為R,

9119

所以/(I)=/(—1),所以log3(27+3)+(l+a)?=log3(—+-)+(-1+a)2,

所以題3(30'部=所以。=—1,此時"x)=log3(33，+3')+(x-l)2,

2

〃T)=log3(30+3f)+(r-l)2=log3(^1^)+(x+I)

3xl2

=log3(3+3)+(%-l)=/(x)滿足題意.

故答案為：-1.

13.已知函數〃x)=lg(Y+以+1)在區間(F,-2)上單調遞減，則a的取值范圍為.

【答案】y,|]

【分析】將〃制=坨任+改+1)可看作由y=lgw,〃=/+分+1復合而成，根據復合函數的單調性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設"=/+辦+1,則/(尤)=lg(x?+辦+1)可看作由y=lg",a=V+辦+1復合而成，

由于y=1g”在(0,+00)上單調遞增，

故要使得函數〃x)=lg(f+辦+1)在區間(-?，-2)上單調遞減，

需滿足〃>0在區間(口,-2)上恒成立，且比=/+辦+1在區間(F,-2)上單調遞減，

a

-------2-2S

故2,解得aV：,

(-2)2+(-2)a+l>0

故a的取值范圍為(-8,g]，

故答案為：(-雙三

1

14.已知幕函數/(x)=F1，若〃aT)<〃8—2a),則a的取值范圍是.

【答案】(3,4)

【分析】根據題意得到幕函數“X)的定義域和單調性，得到不等式/(a-1)<〃8-2a)的等價不等式組，

即可求解.

1

【詳解】由幕函數/(X)/邛=《=>，

⑺lylx

可得函數/(X)的定義域為(。,+8),且是遞減函數，

4—1〉8—2〃

因為仆—1）</（8—2〃），可得4—1>0,解得3<a<4,

8-2〃〉0

即實數。的取值范圍為（3,4）.

故答案為：（3,4）

四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.環保部門為了研究某池塘里某種植物生長面積S（單位：n?）與時間"單位：月）之間的關系，通過觀察建

立了函數模型S（f）=電（eZk>0,a>0,且。*1）.已知第一個月該植物的生長面積為in?，第三個月該植物

的生長面積為4m2.

（1）求證：若5（05卜3）=（5（幻）~，則4+4=2馬；

（2）若該植物的生長面積達到100n?以上，則至少要經過多少個月？

【答案】⑴證明見解析

（2）8個月

【分析】（1）先根據條件求出參數，利用指數的運算可得答案;

（2）根據題意可得2一>100,求解指數不等式即可.

S(1)=ka=1k=-

【詳解】（1）證明：E2.

5(3)=fa/3=4

a=2

,

05(Z)=1x2=2^.

由S(%)S))2，得24T0T=2%-2,EZi+f3=2/2.

(2)令S⑺=2'T>100,又/eZ,S(7)=64<100,5(8)=128>100,

0Z>8,即至少需要經過8個月.

16.己知指數函數的圖象過點

⑴求的解析式;

（2）若函數g（x）=/（2尤）-時（x-l）+l,且在區間（-L+⑹上有兩個零點，求機的取值范圍.

【答案】⑴〃尤）1

⑵G

【分析】⑴設〃力="(。＞0,且"1),根據函數過點心，制

，代入求出參數。的值，即可得解;

(2)首先求出g(x)的解析式，令/=,?e(O,2),令＞=產-2皿+1,re(O,2),則問題轉化為

＞=產-2皿+1在fe(O,2)上有兩個零點，根據二次函數根的分布得到不等式組，解得即可.

【詳解】(1)由題意，設“x)=a*(。＞0,且"1),

國/(%)的圖象過點，

解得0=:,

故函數“X)的解析式=.

(2)0g(x)=/(2x)-mf(x-l)+l,

%(x)=&『-2加9]+1,

令f=,因為xe(-l,+oo),所以te(O,2),

團y=——2mt+1,，￡(0,2),

函數g(x)=]]-2mW+1在(T+8)上有兩個零點，等價于片〃-2皿+1在1e(O,2)上有兩個零點,

02-2mx0+l>0rl>0

22-2mx2+1>05

m<—A,5

則＜A=(-2m)2-4xlxl>0,即，4,

2i4

m2>1

八-2m.

0<--------<20<<

2m2

故實數機的取值范圍為

17.已知函數/(x)Tog,(x+l)+logi(xT)，g(x)=x2-ar+6(aeR).

22

①求函數/(X)的定義域.

⑵判斷函數“X)的奇偶性，并說明理由.

⑶對v尤小[6,+勾，龍241,2],不等式”不)/8(3)恒成立，求實數”的取值范圍.

【答案】⑴(1,口)

⑵函數/(尤)為非奇非偶函數，理由見解析；

【分析】(1)根據函數g(x)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；

(2)根據函數f(x)的定義域的不關于原點對稱，即可得到結論；

(3)根據題意，轉化為了(X)maxVg(X)mm，根據函數/(X)的單調性，求得/原濡、=T，得到

VA:e[l,2],x2-<zx+7>0,

7711

法一：轉化為V尤e[l,2],a4x+『令尤)=尤+不，求得加?1n=不，即可求解；

法二：分]22,和1<]<2,結合二次函數的性質，列出不等式，即可求解.

【詳解】(1)解：由函數〃耳=1°84*+1)+1°8乂》-1)有意義，則滿足卜

解得X>1,所以函數“X)的定義域為(1,+8).

(2)解：因為的定義域為。，也)，不關于原點對稱，

所以函數/(X)為非奇非偶函數.

⑶解：由"對e[省,+00),龍26[-2,4],不等式Vg(%)恒成立”，

可得/OOmax*⑴皿

當XW白時，/(x)=log[(x+l)+log1(xT=log#2T

222

由F(x)在[6+8)上單調遞減，/Wmax=/(V3)=-1,

根據題意得，對Vxe[l,2],龍2—依+720

7

法一：可轉化為Vxe[l,2],a4龍+[,

7711

令/7(x)=x+二由〃(x)在[1,2]上單調遞減得，可得以尤)而"="2)=2+5=萬，

實數。的取值范圍為，'T-

法二：設函數g(x)=x?-5+7,

①當?|22,即a1時，g(x)在［1,2］上單調遞減，

RT^g?mi11=^(2)=10-2a>-lt解得則44〃4甘；

②當晟41,即aW2時，g(x)在[L2]上單調遞增,

可得g(x)min=g(l)=7—a2-l,解得aW8,貝UaW2；

③當1<晟<2,即2<。<4時，g(“在口，2］先減后增，

2

nr^g(x)mn=(1)-<2X|+7>-1,解得_40<aW40，所以2<a<4,

綜上，實數。的取值范圍為卜巴￡.

18.已知函數/(力對于任意實數x,"R恒有/(x+y)=/(x)+/(y),且當x>0時，〃力>0,又"1)=1.

⑴判斷〃x)的奇偶性并證明；

(2)求/(%)在區間［T4］的最小值;

⑶解關于x的不等式：/(OX2)-2/(X)>/(OX)-2.

【答案】⑴/(X)為奇函數，證明見解析

(2)T

⑶答案見解析

【分析】(1)令尤=y=o,得/'(0)=0,再令y=-x,結合奇偶性定義可證；

(2)先證明單調性，利用單調性求解即可；

⑶先化為了(加+2)>〃2尤+6),再利用單調性轉化為??-(a+2)x+2>0,最后根據含參二次不等式的

分類討論求解即可.

【詳解】(1)〃x)為奇函數，理由如下：

函數的定義域為R，關于原點對稱，

令尤=y=0得〃0)=2/(0),解得"0)=0,

令y=T得〃力+〃—力=〃0)=0所以〃-%)=-/(%)對任意X€1<恒成立，所以“力為奇函數，

(2)任取玉,當e(r°，+co)，且玉<%，則超-玉>0.因為當了>0時，/(%)>0,所以〃%2-玉)>°-

即/(玉)<〃%)，所以f(%)在R上單調遞增,

所以f(x)在區間［-4,4］的最小值為"T),

因為"1)=1,令尤=y=l得〃2)"(1)++⑴=2,

令X=2,y=2得〃4)=〃2+2)=〃2)+*2)=2+2=4,

/⑺在區間［-4,4］的最小值為/(^?=/(^1)=-/(4)=T,

(3)由7'(依2)_2/(%)>〃詞_2,

由/(2)=2得/(ar2)+〃2)=y(ar2+2)>〃2x+ar),

由『⑺在R上單調遞增得加+2>2》+融整理得加一(。+2)尤+2>0,即(依一2)(X一1)>0,

當a=0時，-2x+2>0,解得x<l；當awO時，—1(x-1)>0,

當。<。時，、-胃(xT)<0,|<0,解集為

當〃〉0時，fx—j(x—1)>0,

當4=2時，(x—l)2>0,解集為｛x|xwl｝,

當0<"2時，->1,解集為(-8,1)11(2,+00],

ayaJ

當a>2時，0<2<1,解集為(_oo,2]51,+co),

a\aJ

綜上所述：當。=0時，解集為(-8,1)；