第九餅更體幾何初步（三大考向）

一:考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考I卷，4

2023?新高考I卷，14

柱、錐、臺體的表面2024?新高考I卷，5

1.高考對立體幾何初步的考查，重點是掌握基本空間

積與體積2022?新高考II卷，11

圖形及其簡單組合體的概念和基本特征、解決多面體

2023?新高考II卷，9

和球體的相關計算問題。同時需要關注異面直線的

2023?新高考II卷，14

判定和成角問題、空間點線面的位置關系問題、夾角

2022?新高考I卷,8

距離問題、截面問題。這些問題對考生的空間想象能

球的切接問題2023?新高考I卷，12

力要求有所提升，需要考生有強大的邏輯推理能力。

2022?新高考II卷，7

2022?新高考I卷,9

夾角問題

2024?新高考II卷，7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應用，II卷考查了以棱臺為背景的線面角的

求法，總的來說,基本立體圖形的表面積和體積屬于常考點，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提

升計算能力比較重要。預計2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關注臺體的

表面積和體積計算。

三:試題精講

一、單選題

（2024新高考I卷⑸已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為血，則圓錐的體

積為（）

A.2，^兀B.3瓜RC.6A/3TTD.9A/3TT

:（2024新高考n卷7）已知正三棱臺ABC—4B1G的體積為萼，AB=6,45=2,則小人與平面

ABC所成角的正切值為（）

A.yB.1C.2D.3

高考真題練

一、單選題

I（2022新高考I卷⑷南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.

已知該水庫水位為海拔148.5小時，相應水面的面積為140.0km?；水位為海拔157.5nz時，相應水面

的面積為180.Okn?,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m

上升到157.57n時，增加的水量約為2.65）（）

A.1.0x10WB.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

二。（2022新高考I卷⑻已知正四棱錐的側棱長為Z,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且3

<Z<3代，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,用B.吁，用C.[爭明D.[18,27]

【題5】（2022新高考H卷7）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3?和40,其頂點都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.1447tD.192兀

二、多選題

【題6】（2022新高考I卷⑼已知正方體48co—ABQQi,則（）

A.直線與DAi所成的角為90°B.直線BG與CAi所成的角為90°

C.直線BG與平面所成的角為45°D.直線與平面ABCD所成的角為45°

",7】（2023新高考I卷」2）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：小）的正方體容器（容器壁厚度忽略

不計）內的有（）

A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8館的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為O.Olnz的圓柱體

：<（2022新高考n卷?口）如圖，四邊形ABOD為正方形，平面ABCD,FB"ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—ACD,F—ABC,F—ACE的體積分別為則（）

￡

A.%=2%B.%=%C.%=%+%D.2%=3%

<9］（2023新高考n卷⑼已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，乙4PB=120°,_R4=2,點

。在底面圓周上，且二面角P-AC-。為45°,則（）.

A.該圓錐的體積為加B.該圓錐的側面積為兀

C.AC=2y/2D.△R4C的面積為通

三、填空題

（2023新高考I卷44）在正四棱臺ABCD—ABiG。中，AB=2,4目=1,441=2,則該棱臺的體

積為

（2023新高考n卷?14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為

知識點總結

一、棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱:側棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱:側棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體:底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體:側棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體:底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體:棱長都相等的長方體.

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

（1）正棱錐:底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面體:所有棱長都相等的三棱錐.

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫

做正棱臺.

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示.

正

斜棱柱四

按鋤粳與底面是否總克分類

棱柱棱

按底而多邊形分類直棱柱-?正棱柱柱

三棱柱四棱柱

凸

多平行六面體-

面長方體

體

梭錐一正梭錐一正四面體

棱臺正校臺正

方

庇

正多面體

二、圓柱、圓錐、圓臺、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經

過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.

5、由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計算公式

1、表面積公式

S直棱柱=ch-\-2s底

S斜棱柱=+2s底?為直截面周長）

表柱體

h

S圓錐=2兀丁2+2兀川=2兀『（丁+Z）

面

2m

積6

S正棱錐=-^nah'+S底

錐體

S圓錐=7tr2+TUTI=7rr(r+I)

5正棱臺=+優）％+S上+S下

臺體

S圓臺—兀（『'2+/+r，l+ri）

球S=街面0

2、體積公式

柱體匕主=ShaJ

咻=白九

錐體

O

體4

積

臺體嚓=｝（s+V^+s，）/i

球

J?

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的。2,建立直角坐標系.

（2）畫出斜坐標系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應圖形.在已知圖形平行于工軸的線段，在直觀圖

中畫成平行于O'x',O'y'，使Ax'O'y'^45°（或135°），它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對應圖形.在已知圖形平行于2軸的線段，在直觀圖中畫成平行于或軸的線段,且長度保持不變；

在已知圖形平行于y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于d軸，且長度變為原來的一般.可簡化為“橫不變，縱

減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去如軸、式軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為V2：4.

五、四個基本事實

基本事實1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法

基本事實2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據

推論①:經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據

（2）此推論是判定若干平面重合的依據

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論②:經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③:經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據

（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關系

位置關系相交（共面）平行（共面）異面

圖形ZX7

符號aC\b=Pa//baD。=A,bua,AWb

公共點個100

數

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何

一個平面內

七、直線與平面的位置關系

位置關系包含（面內線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

7^7zLV

符號1CalHa=Pl//a

公共點個數無數個10

八、平面與平面的位置關系

位置關系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

符號a〃￡aCB=1a_1_6，aD￡=/

公共點個數0無數個公共點且都在唯無數個公共點且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作Z//a

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個平1//1,'

線〃線=>面內的一條直線平行,那么這條直4ua>=>///?

101ai

線〃面線和這個平面平行（簡記為“線線

平行=>線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個平all&

>na〃￡

面〃面=>面內的所有直線都平行于另一個aUa

線〃面平面

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個Illa'

平面平行，經過這條5

線〃面=>線〃線直線的平面和這個平aC/3=L

面相交，那么這條直

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和若aPl￡=0,則1〃6

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內有兩條相aUa,bUa,aCb=P

線〃面=>交的直線都平行于另一個allb〃￡n°〃￡

面〃面平面,那么這兩個平面平行//

（簡記為“線面平行n面面

平行

線，面如果兩個平面同垂直于一,/l±a]

1,na〃￡

n面〃面條直線，那么這兩個平面平12例

行

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面=>

在一個平面中的所有直

線〃面A_/>=>a〃6

線都平行于另外一個平aUaJ

面/L_y

如果兩個平行平面同時

a1B

和第三個平面相交，那么

性質定理aPly=a\=a”b.

他們的交線平行（簡記為今

6^7=4

“面面平行=>線面平行”）

如果兩個平面中有一個

面〃面O垂直于一條直線,那么另

一個平面也垂直于這條弓

線_1_面l±aj

直線

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平1

面內的兩條相交直Q_1_/

判斷定理>n/J_a

線都垂直,則該直b.Ll

線與此平面垂直7aHb=P^

兩個平面垂直，則

a"'

在一個平面內垂直aC\^=a

面_L面n線_L面=>b_La

于交線的直線與另buB

b_La

一個平面垂直

一條直線與兩平行

平面中的一個平面aIIB

平行與垂直的關系>NQJ_0

垂直，則該直線與a_La,

另一個平面也垂直

兩平行直線中有一

條與平面垂直，則a//b

平行與垂直的關系>=>b_La

另一條直線與該平QJ_a,

面也垂直

3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一平面的a,La

性質定理aMb

兩條直線平行bJ_a,

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一直線的aA-a

垂直與平行的關系—aHB

兩個平面平行QJL為

如果一條直線垂直

于一個平面，則該直

線垂直于面的性質/_l_a,QUa=>/_La

線與平面內所有直

線都垂直二

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直.

（如圖所示，若a06=8,8_17,且a07=人6,￡07=跳；,45_1跳；,則0_16）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2、判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一b_Lau\b*

個平面的垂線，則

這兩個平面垂直

知識點6：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質定理兩個平面垂直，則一a_L￡'

個平面內垂直于交>nb_La

buR

線的直線與另一個b_La

平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足:如圖，一條直線，與一個平面〃相交,但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的

斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影:如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面”引垂線PO,過垂足。和斜足A的

直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是0.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是（）0.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角〃的范圍是““<〃-lH).

④直線與平面所成的角”的取值范圍是(I//-90.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為48,面分別為a,/1的二面角記作二面角〃—AB-；-｛，如果棱記作Z,那么這個二面角記作二面角

-Z-"，如圖(1).

②若在〃，/),內分別取不在棱上的點P,Q,這個二面角可記作二面角P—AB—Q,如果棱記作Z,那么這

個二面角記作二面角P—/—Q,如圖(2).

(1)(2)

3、二面角的平面角

①自然語言

在二面角4—的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面0和6內分別作垂直于棱，的射線OA和

OBJ'］射線OA和構成的AAOB叫做二面角的平面角.

②圖形語言

aCl6=hOeLOACa,OAll,OB11=^/AOB叫做二面角a—Z—0的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當二面角的兩個半平面重合時,規定二面角的大小是0;當二面角的兩個半平面合成一個平面時，

規定二面角的大小是I.所以二面角的平面角-的范圍是“aIX(r.

名校模擬練

一、單選題

（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長為2,且母線與底面所成角為于,則該圓錐的側面積為（）

A.V27tB.2兀C.22兀D.4兀

（2024?河北秦皇島?三模）已知小，九表示兩條不同的直線，a表示平面，則（）

A.若?n〃a,ri〃a,則m〃nB.若？n〃a,m_L九，則？i_La

C.若？??,_1_&,?71_1_n，貝“7?,〃&D.若7nJ_a,?i,Ua,貝

（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長為2的正四棱柱ABOD—4BQQ1的體積為16,則直線AC與

AB所成角的余弦值為（）

A2V1R逅「n3m

'5'5'1010

（2024?山東濰坊?三模）某同學在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成.

已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比

為（）

A巫RX「迤D正

【題16】（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞

口，弧壁，廣底，圈足.器內施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤

可近似看作是圓臺和圓柱的組合體,其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm網

黃地綠彩云龍紋盤的側面積約為（）（附：兀的值取3,“25.4025x5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

【題17】（2024?四川成都?模擬預測）我們把所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，在這兩個平

行平面內的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的

高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為V=

《%（S+4So+S，），其中SS分別是上、下底面的面積，So是中截面的面積，無為擬柱體的高.一堆形為擬

O

柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行（如圖），下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底的長、

寬比下底的長、寬各少2米.現在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的卡車裝運,則至少

需要運（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

C.54車D.56車

（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱AB。—ABQi中，E,F分別為AB,47的中點，平面

EBiGF將三棱柱分成體積為弘，弘兩部分，則必%=（）

【逝』9】（2024?新疆?三模）設四棱臺ABCD—AiBQQi的上、下底面積分別為S,S2,側面積為S,若一個小

球與該四棱臺的每個面都相切，則（）

A.S?=S02B.S=S+S2D.岳=宿'后

：（2024?天津北辰?三模）中國載人航天技術發展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載

人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來,

中國人以不同的方式表達著對未知領域的探索與創新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內

部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓

錐的高為4.若將其內部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

「215兀325兀

-916

（2024?山東泰安.二模）已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD

=電后，平面ABD_L平面BCD,則該球的表面積是（）

A.40兀B.80兀C.100兀D.160兀

（2024?天津?二模）在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是邊長為4的正方形，441，BG,CG,。口

均與底面ABCD垂直，且44=CG=DDi=2BG=4四，點E、F分別為線段BC、CC、的中點，記該幾

何體的體積為V,平面AFE將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為（）

【題23］（2024-江西鷹潭?三模）在菱形ABCD中，AB=2,AC=2四,將△48。沿對角線AC折起,使點B

到達的位置，且二面角9—人。一。為直二面角，則三棱錐?—ACD的外接球的表面積為（）

A.5兀B.16兀C.20兀D.100兀

二、多選題

【題24】（2024?山西?三模）將一個直徑為10cm的鐵球磨制成一個零件，能夠磨制成的零件可以是（）

A.底面直徑為8cm，高為6cm的圓柱體B.底面直徑為8cm，高為8cm的圓錐體

C.底面直徑為7cm，高為9cm的圓錐體D.各棱長均為8cm的四面體

（2024-浙江.二模）正方體ABCD-A倒。。中，E,F分別為棱人。和DD,的中點,則下列說法正確

的是（）

A.AD\〃平面BEFB.平面BEF

C.異面直線B1A與EF所成角為60°D.平面BEF截正方體所得截面為等腰梯形

：（2024?河南三門峽?模擬預測）已知正