人教版九年級上冊旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)的定義這個定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.轉(zhuǎn)動的方向分為順時(shí)針與逆時(shí)針.如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P'，這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn).結(jié)論OP′P旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角對應(yīng)點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)中心

旋轉(zhuǎn)角

旋轉(zhuǎn)方向必須明確

確定圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)溫馨提示：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度”稱之為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同樣屬于全等變換.注意：動態(tài)演示OP′P例

△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到△ACE的位置.(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)?(2)旋轉(zhuǎn)了多少度?順時(shí)針還是逆時(shí)針？(3)如果M是AB的中點(diǎn),經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)M轉(zhuǎn)到什么位置?ABCEM.解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A;(2)旋轉(zhuǎn)了60°,逆時(shí)針;(3)點(diǎn)M轉(zhuǎn)到了AC的中點(diǎn)上.D60°旋轉(zhuǎn)的定義考點(diǎn)練習(xí).舉出一些生活中的實(shí)例，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)的決定因素：旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度(旋轉(zhuǎn)方向).A．30°B．45°C．90°D．135°例如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在方格紙的格點(diǎn)上，若△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為(

)。解析:

對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角，就是旋轉(zhuǎn)角，由圖可知，OB、OD是對應(yīng)邊，∠BOD是旋轉(zhuǎn)角，所以，旋轉(zhuǎn)角為90°.C旋轉(zhuǎn)角度的計(jì)算考點(diǎn)如右圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置時(shí)，其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)

，旋轉(zhuǎn)角度為

.B90°繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°.△ABC是如何運(yùn)動到△A′B′C的位置？知識點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)ABB′A′C．M′M．．．．45°旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)__________；圖中對應(yīng)點(diǎn)_______________________________________;圖中對應(yīng)線段有_____________________________________.每對對應(yīng)線段的長度 .圖中旋轉(zhuǎn)角等于________.C點(diǎn)A與點(diǎn)A′,點(diǎn)B與點(diǎn)B′,點(diǎn)M與點(diǎn)M′,點(diǎn)N與點(diǎn)N′線段CA與CA′、CB與CB′、AB與A′B′45°相等根據(jù)上圖填空.DEABFCO1.對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OD=OA，OE=OB，OF=OC）;2.任意一組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角.

（∠DOA=∠EOB=∠FOC）;4.對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：3.旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點(diǎn)（O）;結(jié)論例如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝________度．135旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)考點(diǎn)解析：連接EE′由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知BE＝BE′，∠EBE′＝90°∴∠BE'E=45°，EE′在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，EE′由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.本頁字母都為斜體例如圖,P是正△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=6,PB=8,PC=10,若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得到△P′AB,則點(diǎn)P與P′之間的距離為PP′=

,∠APB=

度.

與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)解析：連接PP′,由旋轉(zhuǎn)可知:△P′AB≌_______.

所以∠CAP=∠BAP′,AP=AP′=6,CP=BP′=10.

又∵∠CAP+∠PAB=_______,

∴∠P′AP=∠BAP′+∠BAP=60°.△PAC

60°

∴△P′AP是________三角形,∴AP=AP′=PP′=6,∠APP′=60°.∵62+82=102,∴P′P2+PB2=P′B2,∴△P′PB是_______三角形.∴∠P′PB=_______,∴∠APB=∠P′PB+∠APP′=150°.等邊直角

90°

答案:6

150

方法總結(jié)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的兩種應(yīng)用(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線相等可得線段或角相等.(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的圖形與原來圖形的形狀、大小都相同可得圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.畫一畫：如圖，畫出線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后的線段.簡單的旋轉(zhuǎn)作圖作法：(1)如圖，以AB為一邊按順時(shí)針方向畫∠BAX，使得∠BAX=60°.(2)在射線AX上取點(diǎn)C，使得AC=AB，線段AC為所求.X知識點(diǎn)XC60°

畫出下圖所示的四邊形ABCD

以O(shè)為中心，旋轉(zhuǎn)角都為60°的旋轉(zhuǎn)圖形．ABCDOB'A'C'D'試一試：旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟：（1）確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；（2）確定各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)：

（3）按照原圖順序連接對應(yīng)點(diǎn)（4）下結(jié)論歸納總結(jié)DEBFCA如何確定它們的旋轉(zhuǎn)中心位置？答：找到兩條對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn).①相同：都是一種運(yùn)動；運(yùn)動前后不改變圖形的形狀和大小.BACO②不同圖形變換運(yùn)動方向運(yùn)動量的衡量平移直線移動一定距離旋轉(zhuǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針轉(zhuǎn)動一定的角度平移和旋轉(zhuǎn)的異同1.點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)2.線段的旋轉(zhuǎn)3.圖形的旋轉(zhuǎn)試著找一找如圖A點(diǎn)繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后所在的位置

．試著畫一畫線段AB繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的線段（O點(diǎn)在線段外）．試著畫△ABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得的三角形．知識點(diǎn)旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)作圖AOA'AA'OBB'A'B'C'ABCO簡單的旋轉(zhuǎn)作圖如圖，△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A得對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D.試確定頂點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)的位置以及旋轉(zhuǎn)后的三角形.則△DEC即為所求作.CABDE如圖：畫出△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°后的對應(yīng)的三角形。ABMNDEC簡單的旋轉(zhuǎn)作圖

重合思考：觀察下列圖形的運(yùn)動，說一說它們有什么共同點(diǎn).旋轉(zhuǎn)角為180°OAODBC知識點(diǎn)中心對稱的概念及性質(zhì)中心對稱的概念和性質(zhì)BADOC定義：

如果把一個圖形(如△ABO)繞定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180o，它能夠與另一個圖形(如△CDO)重合，那么就說這兩個圖形△ABO與圖形△CDO關(guān)于點(diǎn)O的對稱或中心對稱，點(diǎn)O就是對稱中心.1.中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn).其旋轉(zhuǎn)角是180°.2.中心對稱是兩個圖形之間一種特殊的位置關(guān)系.結(jié)論中心對稱的性質(zhì)

中心對稱的性質(zhì)：(1)成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過_______，且被_________平分.（即______與________三點(diǎn)共線）；(2)中心對稱的兩個圖形是______.對稱中心對稱中心對稱點(diǎn)對稱中心全等形做一做如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，則：ABCA′B′C′(1)△ABC_______△A′B′C′.(2)

OA=____，OB=____，

OC=____.(3)

AA′，BB′，CC′都經(jīng)過點(diǎn)_____.(4)點(diǎn)O是線段_____、_____、______的中點(diǎn).≌OA′OB′OC′OAA′BB′CC′O旋轉(zhuǎn)和中心對稱的聯(lián)系和區(qū)別.聯(lián)系區(qū)別中心對稱一般旋轉(zhuǎn)都是繞著_____________旋轉(zhuǎn)角度都是______旋轉(zhuǎn)角度________某一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)180°不固定中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn).歸納軸對稱中心對稱有一條對稱軸——直線圖形繞中心旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)180°)有一個對稱中心——點(diǎn)圖形沿軸對折(翻轉(zhuǎn)180°)對稱點(diǎn)連線的垂直平分線是對稱軸對稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)是對稱中心翻轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合旋轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合ABCA′B′C′ABCA′B′C′中心對稱與軸對稱的對比歸納AA′B′BO

2、線段的中心對稱線段的作法:以點(diǎn)O為對稱中心,作出線段AB的對稱線段點(diǎn)A′B′.AOA′1、點(diǎn)的中心對稱點(diǎn)的作法:以點(diǎn)O為對稱中心,作出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′;點(diǎn)A′即為所求的點(diǎn)簡單的中心對稱作圖

作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的對稱圖形△A′B′C′并說明作圖步驟ABC.0A′B′C′你學(xué)會了嗎?簡記為:一連接;二延長;三截取等長;四連線.例如圖，△ABC和點(diǎn)O，畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對稱的△A′B′C′.A’C’B’△A′B′C′即為所求的三角形．1.連接AO并延長到A′，使OA′=OA，得到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′.2.同樣畫B、C的對稱點(diǎn)B′、C′.3.順次連接A′、B′、C′各點(diǎn).畫法：分析：確定一個三角形需要幾個點(diǎn)？作一個三角形關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱的三角形，需要作幾個點(diǎn)的對稱點(diǎn)呢？你是如何理解“對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分”的？

典例探究

例如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)O，畫出與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱的圖形。分析要畫四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O的對稱圖形，只要畫A.B.C.D四點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)A’.B’.C’.D’,再順次連接各點(diǎn)即可.A’D’C’B’CBADO

典例探究

例如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是12，AB＝3，則△DOC中CD邊上的高為________.解析：設(shè)AB邊上的高為h，因?yàn)椤鰽OB的面積是12，AB＝3，易得h＝8.又因?yàn)椤鰽OB與△DOC成中心對稱，△COD≌△AOB。所以△DOC中CD邊上的高是8.8利用中心對稱的性質(zhì)確定線段或角的值考點(diǎn)如圖，四邊形ABCD與四邊形FGHE關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，下列說法中錯誤的是（

）。

A．AD∥EF，AB∥GF。

B．BO=GOC．CD=HE，BC=GH。

D．DO=HOD（1）這些圖形有什么共同的特征？（2）將圖上“風(fēng)車”繞其上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)前后的圖形完全重合嗎？圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形完全重合想一想（點(diǎn)擊演示）把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；這個點(diǎn)叫做它的對稱中心；互相重合的點(diǎn)叫做對稱點(diǎn).中心對稱圖形的概念OACD圖中_______是中心對稱圖形對稱中心是______點(diǎn)O點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是______點(diǎn)D的對稱點(diǎn)是______點(diǎn)C點(diǎn)BABCDB正三角形是中心對稱圖形嗎？正方形呢？正五邊形呢？正六邊形呢？……你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形。√

×√

×下列圖形是中心對稱圖形嗎？如果是，請指出對稱中心.（1）（2）（3）（4）中心對稱圖形順時(shí)針、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°都重合都是中心對稱圖形.做一做下面的撲克牌中，哪些牌面是中心對稱圖形？√√√在26個英文大寫正體字母中，哪些字母是中心對稱圖形？ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ例如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB＝2，BC＝3，則圖中陰影部分的面積為_______.解析:

由于矩形是中心對稱圖形，所以依題意可知△BOF與△DOE關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，由此圖中陰影部分的三個三角形就可以轉(zhuǎn)化到直角△ADC中，易得陰影部分的面積為3．3中心對稱圖形的應(yīng)用ABCDFEO如圖，點(diǎn)O是平行四邊形的對稱中心，點(diǎn)A、C關(guān)于點(diǎn)O對稱，有AO=CO，那么OE=OF嗎？EF經(jīng)過點(diǎn)O，分別交AB、CD于E、F.解：∵平行四邊形是中心對稱圖形，O是對稱中心.∴點(diǎn)E、F是關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn).∴OE=OF.ABCDFEO鞏固練習(xí)ABDCO（1）中心對稱圖形的對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過________（2）中心對稱圖形的對稱點(diǎn)連線被____________對稱中心對稱中心平分中心對稱圖形上的每一對對稱點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分．中心對稱圖形的性質(zhì)知識精講已知如圖，在矩形ABCD中，AD>AB，O為對角線的交點(diǎn)，過O做一直線分別交BC，AD于M、N探索：梯形ABMN的面積是否等于梯形CDNM的面積？過對稱中心的直線平分矩形的面積過對稱中心的任意一條直線都可以將中心對稱圖形分成面積相等的兩部分.如何尋找中心對稱圖形的對稱中心？畫一畫下圖是中心對稱圖形的一部分，請你補(bǔ)全它的另一部分.FEDCBAGH知識精講如圖，有一個平行四邊形請你用無刻度的直尺畫一條直線把他們分成面積相等的兩部分，你怎么畫？【歸納】過對稱中心的直線可以把中心對稱圖形分成面積相等的兩部分.知識精講請你用無刻度的直尺畫一條直線把他們分成面積相等的兩部分，你怎樣畫？割法1典例解析請你用無刻度的直尺畫一條直線把他們分成面積相等的兩部分，你怎樣畫？割法2典例解析請你用無刻度的直尺畫一條直線把他們分成面積相等的兩部分，你怎樣畫？補(bǔ)法【歸納】對于這種由兩個中心對稱圖形組成的復(fù)合圖形，平分面積時(shí)，關(guān)鍵找到它們的對稱中心，再過對稱中心作直線.典例解析ABFEDC如圖，下面一塊“L”型鋼板，怎樣用一條直線把它分成面積相等的兩個部分呢？畫出草圖，并說明理由.挑戰(zhàn)自我ABFEDCGS挑戰(zhàn)自我ABFEDCSG挑戰(zhàn)自我GABFEDCS變式訓(xùn)練：A′

如何確定平面直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)A′坐標(biāo)？xO123-1-2-312-1-2-3yA記作A′(-2，-1)記作A(2，1)BB′△ABO≌△A′B′

O知識點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征A(4,0)B(0,-3)C(6,5)D(-3,4)A’(-4,0)B’(0,3)C’(-6,-5)D’(3,-4)點(diǎn)A’,B’,C’,D’的坐標(biāo)與已知點(diǎn)A,，B，C，D的坐標(biāo)有什么關(guān)系?A（4，0）B（0，-3）C（6，5）D（-3，4）關(guān)于原點(diǎn)中心對稱A’（-4，0）B’（0，

3）C’（-6，-5）D’（3，-4）橫坐標(biāo)互為相反數(shù)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)在坐標(biāo)系上找一些點(diǎn)驗(yàn)證上述結(jié)論？探索思考橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的符號都互為相反數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系特點(diǎn)簡記為：“關(guān)于誰，誰不變，關(guān)于原點(diǎn)都改變”.即：點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（-a,-b)；

點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（a,-b)；

點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（-a,b).坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱（x，y）(3,2)(-1,3)(6,-9)(-1,-8)（x，-y）（-x，y）（-x，-y）小結(jié)例

若點(diǎn)A(2m-1,2m+3)與B(-2-n,1-8n)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,求(m-n)2026的值.利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征確定字母的值解：考點(diǎn)∵點(diǎn)A(2m-1,2m+3)與B(-2-n,1-8n)關(guān)于原點(diǎn)O對稱.∴點(diǎn)A(2m-1,2m+3)與B(-2-n,1-8n)的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù).∴2m-1=2+n2m+3=8n-1解得m＝2，n＝1.∴(m-n)2026=

(2-1)2026=1.利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系作圖

如圖,利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn),作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形.31425-2-4-1-3O12345-4-3-2-1xy·ACBA′C′B′解：△ABC的三個頂點(diǎn)A(-4,1),B(-1,-1),C(-3,2)。A′(4,-1),B′(1,1),C′(3,-2)。關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為依次連接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到與△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A′B′C′.知識點(diǎn)

歸納總結(jié)(1)寫出圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)寫出圖形頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)描點(diǎn)；(4)順次連接；(5)下結(jié)論.作關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形的步驟1.填空：1）點(diǎn)A（-3，4）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

；

2）點(diǎn)A（a，-2）與點(diǎn)B（8，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，a=

，b=

；3）點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（2，-1）關(guān)于

對稱；4）點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（-2，-1）關(guān)于

對稱；5）點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（-2，1）關(guān)于

對稱．（3，-4）2-8x軸y軸原點(diǎn)課堂測試2.如圖已知△ABC中，A(-2,3)，B(-3,1)，C(-1,2)還可以通過什么方式得到.

1）將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；2）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2；3）將△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C3.(△A3B3C3還可以通過什么方式得到）

ABCA2B2C2A3B3C31.畫出△ABC關(guān)于X軸對稱圖形△A2B2C22.再畫出△A2B2C2關(guān)于Y軸對稱圖形△A3B3C3ABC課堂測試分析構(gòu)成圖案的基本圖形例

試說出構(gòu)成下列圖形的基本圖形．（1）（2）（3）（4）基本圖形（1）（2）（3）（4）想一想：成軸對稱時(shí)基本圖形是什么？