2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：數(shù)據(jù)分析計(jì)算題庫(kù)與數(shù)據(jù)管理應(yīng)用試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述統(tǒng)計(jì)要求：計(jì)算以下數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、四分位數(shù)和全距。1.10,15,20,25,30,35,40,45,50,552.5,10,15,20,25,30,35,40,45,503.7,12,15,18,20,23,25,27,30,324.3,7,9,13,15,19,21,25,27,315.1,2,3,4,5,6,7,8,9,106.25,24,23,22,21,20,19,18,17,167.14,12,10,8,6,4,2,0,-2,-48.8,8,8,8,8,8,8,8,8,89.9,7,5,3,1,-1,-3,-5,-7,-910.6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12二、概率與隨機(jī)變量要求：計(jì)算以下隨機(jī)變量的期望值、方差、概率分布函數(shù)和累積分布函數(shù)。1.一個(gè)離散型隨機(jī)變量X可以取以下值：1，2，3，4，其概率分別為：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.4，P(X=4)=0.1。計(jì)算E(X)，Var(X)，P(X≤2)，F(xiàn)(X=3)。2.一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)為f(y)=k，當(dāng)0≤y≤2，其中k為常數(shù)。求常數(shù)k，E(Y)，Var(Y)，P(Y≥1)，F(xiàn)(Y=1)。3.一個(gè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，已知P(Z<1.5)=0.9332，P(Z>2.5)=0.0607。求μ，σ，P(Z≤1)，P(Z>1.5)，F(xiàn)(Z=2)。4.一個(gè)隨機(jī)變量W服從指數(shù)分布Exp(λ)，已知E(W)=5，求λ，Var(W)，P(W<3)，F(xiàn)(W=3)。5.一個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且分別服從以下分布：X～N(3,1)，Y～Exp(2)。求E(XY)，Var(X+Y)，P(X+Y>6)，F(xiàn)(X-Y≤0)。6.一個(gè)隨機(jī)變量W～Uniform(0,5)，求E(W)，Var(W)，P(W<3)，P(W>4)，F(xiàn)(W=3)，F(xiàn)(W=4)。7.一個(gè)隨機(jī)變量X～Beta(α,β)，已知α=3，β=2。求E(X)，Var(X)，P(X≤1)，P(X>1)，F(xiàn)(X=1)。8.一個(gè)隨機(jī)變量Z～Cauchy(θ)，已知θ=1。求E(Z)，Var(Z)，P(Z<0)，P(Z>0)，F(xiàn)(Z=0)。9.一個(gè)隨機(jī)變量X～Poisson(λ)，已知λ=5。求E(X)，Var(X)，P(X≤2)，P(X>2)，F(xiàn)(X=2)。10.一個(gè)隨機(jī)變量Y～Binomial(n,p)，已知n=10，p=0.5。求E(Y)，Var(Y)，P(Y=5)，P(Y>5)，F(xiàn)(Y=5)。四、假設(shè)檢驗(yàn)要求：根據(jù)以下信息，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，并給出結(jié)論。1.一個(gè)公司聲稱其產(chǎn)品的平均壽命為500小時(shí)。從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了20個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得其平均壽命為490小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為30小時(shí)。假設(shè)產(chǎn)品壽命服從正態(tài)分布，顯著性水平為0.05，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。2.一項(xiàng)新藥的臨床試驗(yàn)顯示，服用該藥的患者平均恢復(fù)時(shí)間為8天，而未服用該藥的患者平均恢復(fù)時(shí)間為10天。從兩組患者中分別抽取了30個(gè)樣本，服用藥物組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.5天，未服用藥物組的標(biāo)準(zhǔn)差為3天。假設(shè)兩組患者的恢復(fù)時(shí)間均服從正態(tài)分布，顯著性水平為0.01，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。五、相關(guān)分析要求：根據(jù)以下數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并解釋結(jié)果。3.以下是一組學(xué)生的考試成績(jī)（數(shù)學(xué)）和智商分?jǐn)?shù)：|學(xué)生編號(hào)|數(shù)學(xué)成績(jī)|智商分?jǐn)?shù)||----------|----------|----------||1|85|120||2|90|115||3|78|110||4|95|130||5|88|125||6|82|115||7|80|100||8|92|125||9|77|105||10|89|120|計(jì)算數(shù)學(xué)成績(jī)和智商分?jǐn)?shù)之間的相關(guān)系數(shù)，并解釋相關(guān)性的強(qiáng)弱和方向。六、回歸分析要求：根據(jù)以下數(shù)據(jù)，進(jìn)行線性回歸分析，并預(yù)測(cè)新數(shù)據(jù)點(diǎn)的值。4.以下是一組房屋的價(jià)格（單位：萬(wàn)元）和面積（單位：平方米）的數(shù)據(jù)：|房屋編號(hào)|面積|價(jià)格||----------|------|------||1|50|80||2|60|100||3|70|120||4|80|150||5|90|180||6|100|220||7|110|260||8|120|300||9|130|340||10|140|380|使用這些數(shù)據(jù)，進(jìn)行線性回歸分析，建立面積和價(jià)格之間的線性關(guān)系模型，并使用該模型預(yù)測(cè)當(dāng)面積為100平方米時(shí)的房屋價(jià)格。本次試卷答案如下：一、描述統(tǒng)計(jì)1.均值：(10+15+20+25+30+35+40+45+50+55)/10=30中位數(shù)：30眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((10-30)^2+(15-30)^2+(20-30)^2+(25-30)^2+(30-30)^2+(35-30)^2+(40-30)^2+(45-30)^2+(50-30)^2+(55-30)^2)/10]≈10.2方差：10.2^2≈104四分位數(shù)：Q1=25,Q2=30,Q3=35全距：55-10=452.均值：(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50)/10=25中位數(shù)：25眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((5-25)^2+(10-25)^2+(15-25)^2+(20-25)^2+(25-25)^2+(30-25)^2+(35-25)^2+(40-25)^2+(45-25)^2+(50-25)^2)/10]≈6.12方差：6.12^2≈37.46四分位數(shù)：Q1=15,Q2=25,Q3=35全距：50-5=453.均值：(7+12+15+18+20+23+25+27+30+32)/10=20.8中位數(shù)：20.8眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((7-20.8)^2+(12-20.8)^2+(15-20.8)^2+(18-20.8)^2+(20-20.8)^2+(23-20.8)^2+(25-20.8)^2+(27-20.8)^2+(30-20.8)^2+(32-20.8)^2)/10]≈4.96方差：4.96^2≈24.81四分位數(shù)：Q1=18,Q2=20.8,Q3=25全距：32-7=254.均值：(3+7+9+13+15+19+21+25+27+31)/10=15中位數(shù)：15眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((3-15)^2+(7-15)^2+(9-15)^2+(13-15)^2+(15-15)^2+(19-15)^2+(21-15)^2+(25-15)^2+(27-15)^2+(31-15)^2)/10]≈6.12方差：6.12^2≈37.46四分位數(shù)：Q1=9,Q2=15,Q3=21全距：31-3=285.均值：(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5中位數(shù)：5.5眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((1-5.5)^2+(2-5.5)^2+(3-5.5)^2+(4-5.5)^2+(5-5.5)^2+(6-5.5)^2+(7-5.5)^2+(8-5.5)^2+(9-5.5)^2+(10-5.5)^2)/10]≈2.58方差：2.58^2≈6.65四分位數(shù)：Q1=4,Q2=5.5,Q3=7全距：10-1=96.均值：(25+24+23+22+21+20+19+18+17+16)/10=20.5中位數(shù)：20.5眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((25-20.5)^2+(24-20.5)^2+(23-20.5)^2+(22-20.5)^2+(21-20.5)^2+(20-20.5)^2+(19-20.5)^2+(18-20.5)^2+(17-20.5)^2+(16-20.5)^2)/10]≈3.58方差：3.58^2≈12.82四分位數(shù)：Q1=20,Q2=20.5,Q3=21全距：25-16=97.均值：(14+12+10+8+6+4+2+0-2-4)/10=4中位數(shù)：4眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((14-4)^2+(12-4)^2+(10-4)^2+(8-4)^2+(6-4)^2+(4-4)^2+(2-4)^2+(0-4)^2+(-2-4)^2+(-4-4)^2)/10]≈4.47方差：4.47^2≈20.02四分位數(shù)：Q1=0,Q2=4,Q3=6全距：14-(-4)=188.均值：(8+8+8+8+8+8+8+8+8+8)/10=8中位數(shù)：8眾數(shù)：8標(biāo)準(zhǔn)差：√[((8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2)/10]=0方差：0四分位數(shù)：Q1=8,Q2=8,Q3=8全距：8-8=09.均值：(9+7+5+3+1-1-3-5-7-9)/10=0中位數(shù)：0眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((9-0)^2+(7-0)^2+(5-0)^2+(3-0)^2+(1-0)^2+(-1-0)^2+(-3-0)^2+(-5-0)^2+(-7-0)^2+(-9-0)^2)/10]≈4.35方差：4.35^2≈18.92四分位數(shù)：Q1=-3,Q2=0,Q3=3全距：9-(-9)=1810.均值：(6+4+2+0-2-4-6-8-10-12)/10=-4中位數(shù)：-4眾數(shù)：無(wú)標(biāo)準(zhǔn)差：√[((6-(-4))^2+(4-(-4))^2+(2-(-4))^2+(0-(-4))^2+(-2-(-4))^2+(-4-(-4))^2+(-6-(-4))^2+(-8-(-4))^2+(-10-(-4))^2+(-12-(-4))^2)/10]≈4.47方差：4.47^2≈20.02四分位數(shù)：Q1=-6,Q2=-4,Q3=-2全距：6-(-12)=18二、概率與隨機(jī)變量1.E(X)=(1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1)=2.5Var(X)=(1^2×0.2+2^2×0.3+3^2×0.4+4^2×0.1)=1.7P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5F(X=3)=P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3+0.4=0.92.f(y)=k/2，當(dāng)0≤y≤2∫f(y)dy=∫(k/2)dy=ky/2|from0to2=k因?yàn)閒(y)是概率密度函數(shù)，所以∫f(y)dy=1k=1/2E(Y)=∫(y×f(y))dy=∫(y×(1/4))dy=y^2/8|from0to2=1/2Var(Y)=∫((y-E(Y))^2×f(y))dy=∫((y-1/2)^2×(1/4))dy=y^3/12-y^2/4+y/8|from0to2=1/4P(Y≥1)=1-P(Y<1)=1-∫(f(y)dy)|from0to1=1-(1/4)=3/4F(Y=1)=P(Y≤1)=∫(f(y)dy)|from0to1=1/43.Z～N(μ,σ^2)，已知P(Z<1.5)=0.9332，P(Z>2.5)=0.0607查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到Z的值：P(Z<1.5)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量值為0.9332，P(Z>2.5)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量值為0.0607μ=1.5σ=2.5P(Z≤1)=P(Z<1.5)=0.9332P(Z>1.5)=1-P(Z<1.5)=1-0.9332=0.0668F(Z=2)=P(Z≤2)=1-P(Z>2)=1-0.0607=0.93934.W～Exp(λ)，已知E(W)=5λ=1/E(W)=1/5Var(W)=1/λ^2=25P(W<3)=1-e^(-λ×3)=1-e^(-3/5)F(W=3)=P(W≤3)=1-e^(-λ×3)=1-e^(-3/5)5.X～N(3,1)，Y～Exp(2)E(XY)=E(X)×E(Y)=3×2=6Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=1+1/4=5/4P(X+Y>6)=1-P(X+Y≤6)=1-(P(X≤6)×P(Y≤6))=1-(Φ((6-3)/1)×Φ((6-2)/1))=1-(Φ(3)×Φ(4))F(X-Y≤0)=P(X-Y≤0)=P(X≤Y)=1-P(X>Y)=1-(1-P(Y≤X))=1-(1-Φ((X-2)/1))=Φ((X-2)/1)6.W～Uniform(0,5)E(W)=(a+b)/2=(0+5)/2=2.5Var(W)=[(b-a)/12]^2=(5-0)/12)^2=25/144P(W<3)=(3-0)/(5-0)=3/5P(W>4)=(5-4)/(5-0)=1/5F(W=3)=P(W≤3)=(3-0)/(5-0)=3/5F(W=4)=P(W≤4)=(4-0)/(5-0)=4/57.X～Beta(α,β)，已知α=3，β=2E(X)=α/(α+β)=3/(3+2)=3/5Var(X)=(αβ)/(α+β)^2(α+β+1)=(3×2)/(3+2)^2(3+2+1)=6/120=1/20P(X≤1)=∫(x^(α-1)×(1-x)^(β-1)×dx)|from0to1