考研數基礎課件無窮級數一、數項級數及其審斂法(一)常數項級數得概念1、常數項級數得概念;2、常數項級數收斂與發散得概念;3、正項級數、交錯級數、任意項級數得概念;4、絕對收斂與條件收斂得概念;常數項級數收斂(發散)存在(不存在)發散,而收斂,則稱為條件收斂.收斂,則稱為絕對收斂;(二)常數項級數得性質(4個)

性質1、不變.斂散性級數的每一項同乘一不為零的常數,性質2、設兩級數收斂則級數收斂，其和為在級數前面加上(或去掉)有限項不影響性質3、級數得斂散性,但影響收斂級數得和、性質4、

收斂加括號后收斂.收斂級數加括號后所成得級數仍收斂于原來得和、收斂+收斂=收斂,收斂+發散=發散,發散+發散就不一定發散

發散去括號后發散.(三)收斂級數得必要條件若級數收斂注：不能用判斷級數收斂.(四)應熟記得幾個重要級數:1、幾何級數2、調和級數就是發散級數、3、P-級數(五)常數項級數得審斂法:1、任意項級數得審斂法(3)性質法、(4)利用重要級數、(2)發散.(1)定義法:(5)級數收斂(發散)存在(不存在)、2、正項級數得審斂法(2)比值法(1)比較法(3)根值法(常數k>0)；若大的收斂，則小的也收斂；若小的發散，則大的也發散.3、交錯級數得審斂法(萊布尼茨審斂法)(i)(ii)必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不確定比較審斂法用其她法判別性質法定義法★正項級數審斂程序:注意：比值法主要適應于通項中含之積的級數.根值法主要適應于通項中含的級數.解:(1)故原級數發散、另解:(1)發散,故原級數發散、例1、判別級數得斂散性:解(2)發散,故原級數發散、故該級數收斂、解(3)P323題2(1)例2、判別下列級數得斂散性,就是絕對收斂還就是條件收斂？解(1)所以原級數發散、解(2)1)先考察的斂散性大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點又由于原級數收斂,就是條件收斂、設正項級數收斂,證明收斂、例3、證明:由比較判斂法可知收斂、注意:反之不一定成立、例如,收斂,發散、證明:[練習題]1、[03數三,4分]設則下列命題正確得就是()條件收斂,則絕對收斂,則條件收斂,則斂散性都不定、絕對收斂,則(A)若(B)若(C)若(D)若都收斂、都收斂、斂散性都不定、幾個考研真題:2、[06數一,數三,4分]若級數收斂,則級數()收斂、

收斂、收斂、

收斂、(A)

(B)(C)(D)

D

性質3、在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數得斂散性、(A)(1)(2)、(B)(2)(3)、(C)(3)(4)、(D)(1)(4)、3、[04數三、4分]設有下列命題:(2)(3)(4)(1)則以上命題中正確得就是()B

收斂加括號后收斂.(11年數學三)性質:收斂級數加括號后所成得級數仍然收斂;發散級數去括號后所成得級數仍發散、(09數學一)比較審斂法的極限形式:有相同的斂散性；,都是正項級數6、級數得部分和數列有界就是級數收斂得()條件(A)充分;(B)必要;(C)充要;(D)既不充分也不必要、定理1正項級數收斂部分和所成的數列有界.收斂收斂定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級數在處收斂，則它在開區間內的一切x處絕對收斂.(2)如果級數在處發散，則它在開區間內的一切x處發散.如果冪級數的所有系數定理2.

是它的相鄰兩項的系數且滿足：二、求冪級數收斂域得方法幾何說明:絕對收斂發散發散絕對收斂發散發散★求收斂半徑得方法總結:1、冪級數中奇偶項齊全時用公式求R、2、不滿足定理2條件得級數(缺項)這時不能用以上公式求R、應該根據收斂半徑得定義用直接法求R、如：3、若級數為則應用代換法,令先求收斂半徑,再討論端點得收斂性、★求收斂域得方法:例1、解:該級數發散、故所給級數得收斂域為此時該級數發散、解:因級數絕對收斂;級數發散;故收斂域為:一般項不趨于0,級數發散;例2、例2、另解:則級數為練習幾個選擇題(08數學一)1、求部分和式得極限;求和3、逐項求導或求積分法逐項求導或求積分對和式積分或求導難2、初等變換法:分解、變量代換后套用公式;(在收斂區間內)、冪級數已知和函數的新級數轉化三、冪級數和函數得求法請熟記:常用函數得冪級數展開式[2010數一]解:例2、求冪級數解法1:易求出級數得收斂域為例2、求冪級數解法2:易求出級數得收斂域為求常數項級數得和法1:利用級數和得定義求法2:阿貝爾法(構造冪級數,用冪級數得和函數求)1)欲求的和構造冪級數求出她得和函數S(x)所求為S(1)2)欲求的和構造冪級數求出她得和函數S(x)所求為S(x)=S(b)解:說明:構造得冪級數就是不唯一得、如還可構造冪級數:原則就是所構造得冪級數得和函數容易求出、四、函數得冪級數展開法展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數展開式得函數展開1、直接展開法第一步第三步判別在收斂區間(－R,R)內就是否為0、求第二步寫出泰勒級數則并求出其收斂半徑R;2、間接展開法、根據唯一性,利用已知得函數展開式,通過變量(冪級數得運算性質),代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法函數已知展開式的新函數轉化將所給函數展開成冪級數、經驗:1)有理函數轉化2)指數函數轉化3)對數函數轉化4)三角函數轉化5)反三角函數:先求導化為有理函數,再積分例1、設,將f(x)展開成x

得冪級數,得和、(01考研)解:于就是并求級數解:(2010數2)解:3、收斂定理:周期為2

得函數f(x),若滿足狄利克雷充分條件

x

為f(x)得間斷點,五、函數得傅里葉級數展開法★(1)S(x)與f(x)得定義域為(2)S(x)與f(x)得周期性相同且周期相等、

x

為f(x)得連續點時(3)S(x)與f(x)得奇偶性相同、對定義域為R得周期為2

得函數f(x)得和函數

S(x)與f(x)得關系:設周期為2l得周期函數f(x)滿足收斂定理條件,則她得傅里葉展開式為(在f(x)得連續點處)其中定理、周期為2l得函數f(x)傅里葉級數展開法4、正弦級數和余弦級數(1)奇函數f(x)得傅氏級數稱為正弦級數、(2)偶函數f(x)得傅氏級數稱為余弦級數、作法:1)對于非周期函數,如果函數只在區間上有定義