2.3平面對量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)溫故知新向量的加法(三角形法則)aba+baba+b向量的加法(平行四邊形法則)向量的減法(三角形法則）aba-b向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a方向相似；當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0對實(shí)數(shù)λ和向量a設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb特別地:向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一種實(shí)數(shù)λ，使b=λa一、平面對量基本定理：思考1：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量不共線e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2

λ1e1＋λ2e2

思考2：平面內(nèi)的任一向量與否都能夠用形如的向量表達(dá)呢

λ1e1＋λ2e2

如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù)１、２使

＝１＋２其中不共線的向量,叫做表達(dá)這一平面內(nèi)的全部向量的一組基底。平面對量的基本定理oCaNMFE思考:平面內(nèi),向量的基底與否唯一？基底不惟一！其形式同樣，但是λ1,λ2的值不同.對定理的理解:1)基底:不共線的向量e1e2。同一平面能夠有不同基底2)平面內(nèi)的任一向量都能夠沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和的形式；3)分解是唯一的向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b如圖，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量的夾角當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥boBAab共起點(diǎn)ABC思考:正△ABC中,向量AB與BC的夾角為幾度?D例1:如圖,已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2例2在梯形ABCD中，E、F分別時(shí)AB、CD的中點(diǎn)，用向量的方法證明：例3如圖，在平行四邊形ABCD中，=a，=b，E、M分別是AD、DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BC=3BF,以a，b為基底分別表示向量和.ABEDCFM2.3.2平面對量的正交分解及坐標(biāo)表達(dá)復(fù)習(xí)平面對量基本定理：把一種向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解OxyA如圖，是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，若以為基底，平面對量的坐標(biāo)表達(dá)如圖，是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，若以為基底，則這里，我們把（x,y）叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作①其中，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①式叫做向量的坐標(biāo)表示。(x,y)是把平移到以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的終點(diǎn)的坐標(biāo).

ar向量的坐標(biāo)表達(dá)i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)OxyijaA(x,y)a1．以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，點(diǎn)A的位置由誰確定?由a唯一擬定2．點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)的關(guān)系？兩者相似向量a坐標(biāo)（x，y）一一對應(yīng)概念理解3．兩個(gè)向量相等的充要條件，運(yùn)用坐標(biāo)如何表達(dá)？練習(xí):在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列向量.解：例1.用基底i,j分別表達(dá)向量a,b,c,d,并求出它們的坐標(biāo).-4-3-2-11234AB12-2-1xy4532.3.3平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知a

，b

，求a+b，a-b．解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即a+b同理可得a-b兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量對應(yīng)坐標(biāo)的和（差）2.3.3平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算例3已知．求xyO解：一種向量的坐標(biāo)等于表達(dá)此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來的向量的相應(yīng)坐標(biāo)．2.3.3平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo)．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）

=（-6，19）2.3.3平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算例5已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解法1：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）ABCDxyO隨堂練習(xí)坐標(biāo)是A、(3,2)B、(2,3)C、(-3,-2)D、(-2,-3)BA、x=1,y=3B、x=3,y=1C、x=1,y=-3D、x=5,y=-1B標(biāo)坐標(biāo)為A、(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)C、(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)CBB標(biāo)的坐標(biāo)為(i,j),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A、(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)C、(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)A已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）A解析：設(shè)D（x,y），得x=2,y=,故選A1.若向量=（1，-2）的終點(diǎn)在原點(diǎn)，那么這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)是

．（-1，2）課堂練習(xí)4.已知A、B的坐標(biāo)分別為，與平行的向量的坐標(biāo)能夠是____________.（填寫對的的序號(hào)）．3.已知點(diǎn)A(8,2)，點(diǎn)B(3,5)，將沿x軸向左平移5個(gè)單位得到向量，則①；②；③；④①②③5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).設(shè)，填空：（1）（2）若用來表示，則：1153547（3）向量能否由表示出來？可以的話，如何表示？2.3.4

平面對量共線的坐標(biāo)表達(dá)2.3.4平面對量共線的坐標(biāo)表達(dá)如何用坐標(biāo)表達(dá)向量平行(共線)的條件?會(huì)得到什么樣的重要結(jié)論?向量與非零向量平行(共線)的條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得設(shè)即中,至少有一個(gè)不為0,則由得這就是說:的條件是

3.向量平行(共線)條件的兩種形式:2.3.4