河南省永城市實驗高級中學2025屆高三最后一模（5月月考）數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．2．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．34．函數，，則“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．等差數列的前項和為，若，，則數列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．76．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．87．已知函數，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．08．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題9．已知關于的方程在區間上有兩個根，，且，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若復數滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-511．命題：的否定為A． B．C． D．12．關于圓周率，數學發展史上出現過許多很有創意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數對，其中，都是區間上的均勻隨機數，再統計，能與構成銳角三角形三邊長的數對的個數﹔最后根據統計數來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，常數項為________.(用數字作答)14．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__15．點是曲線（）圖象上的一個定點，過點的切線方程為，則實數k的值為______.16．如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.18．（12分）已知直線的參數方程為（，為參數），曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長.19．（12分）已知函數，.（1）當時，討論函數的零點個數；（2）若在上單調遞增，且求c的最大值.20．（12分）改革開放年，我國經濟取得飛速發展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各人，進行問卷測評，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強.求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；已知交通安全意識強的樣本中男女比例為，完成下列列聯表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關；安全意識強安全意識不強合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機選取人對未來一年內的交通違章情況進行跟蹤調查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中21．（12分）已知函數，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.22．（10分）已知函數，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）判斷函數的零點個數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.2．B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．3．D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優解,代入到目標函數,即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數轉化為的形式,在可行域內通過平移找到最優解,將最優解帶回到目標函數即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.4．B【解析】

根據函數奇偶性的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】設，若函數是上的奇函數，則，所以，函數的圖象關于軸對稱.所以，“是奇函數”“的圖象關于軸對稱”；若函數是上的偶函數，則，所以，函數的圖象關于軸對稱.所以，“的圖象關于軸對稱”“是奇函數”.因此，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合函數奇偶性的性質判斷是解決本題的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.5．B【解析】

在等差數列中由等差數列公式與下標和的性質求得，再由等差數列通項公式求得公差.【詳解】在等差數列的前項和為，則則故選：B【點睛】本題考查等差數列中求由已知關系求公差，屬于基礎題.6．B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.7．D【解析】分析：因為題設中給出了的值，要求的值，故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解：由題設有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數的表示方法，解題時注意根據問題的條件和求解的結論之間的關系去尋找函數的解析式要滿足的關系.8．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．9．C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構造新的函數，將方程的解的問題轉化為函數圖象的交點問題，畫出函數圖象，再結合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數形結合法，求得范圍.屬于中檔題.10．C【解析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．11．C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結論否定，可知命題的否定為，故選C．12．B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區間上的均勻隨機數，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.14．1【解析】

根據弦長為半徑的兩倍，得直線經過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質，屬基礎題．15．1【解析】

求出導函數，由切線斜率為4即導數為4求出切點橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得．【詳解】設，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點睛】本題考查導數的幾何意義，函數圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數值．本題屬于基礎題．16．【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；，.【解析】

由題意，可得，利用矩陣的知識求解即可.矩陣的特征多項式為，令，求出矩陣的特征值.【詳解】設矩陣，則，所以，解得，，，，所以矩陣；矩陣的特征多項式為，令，解得，，即矩陣的兩個特征值為，.【點睛】本題考查矩陣的知識點，屬于常考題.18．(1)曲線表示的是焦點為，準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；（2）由直線經過點，可得的值，再將直線的參數方程代入曲線的標準方程，由直線參數方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析：（1）由可得，即，∴曲線表示的是焦點為，準線為的拋物線.（2）將代入，得，∴，∵，∴，∴直線的參數方程為(為參數).將直線的參數方程代入得，由直線參數方程的幾何意義可知，.19．（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設,則轉化問題為與的交點問題,利用導函數判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設,利用導函數可得,則,即,再設,利用導函數求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調遞增,在上單調遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數的圖象有兩個交點,即函數有兩個零點；當或,即或時,直線和函數的圖象有一個交點,即函數有一個零點；當即時,直線與函數的象沒有交點,即函數無零點.（2）因為在上單調遞增,即在上恒成立,設,則,①若,則,則在上單調遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調遞減,當時,,故,單調遞減,不符合題意；③若,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,所以,由,得,設,則,當時,,單調遞減；當時,,單調遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點睛】本題考查利用導函數研究函數的零點問題,考查利用導函數求最值,考查運算能力與分類討論思想.20．，概率為；列聯表詳見解析，有的把握認為交通安全意識與性別有關；.【解析】

根據頻率和為列方程求得的值，計算得分在分以上的頻率即可；根據題意填寫列聯表，計算的值，對照臨界值得出結論；用分層抽樣法求得抽取各分數段人數，用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率根據題意可知，安全意識強的人數有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯表如下：安全意識強安全意識不強合計男性女性合計所以有的把握認為交通安全意識與性別有關.由題意可知分數在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數分別為名和名，設的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，代入，求出在處的導