福建省永春縣第一中學2025屆第二學期高三期末考試數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的大致圖象為A． B．C． D．2．在三棱錐中，，，，，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．454．己知，，，則（）A． B． C． D．5．己知函數若函數的圖象上關于原點對稱的點有2對，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．7．框圖與程序是解決數學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數據的方差，設計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應填入（）A．， B． C．， D．，8．某個命題與自然數有關，且已證得“假設時該命題成立，則時該命題也成立”．現已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立9．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤10．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）11．據國家統計局發布的數據，2019年11月全國CPI（居民消費價格指數），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權重，根據該圖，下列結論錯誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%12．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面14．設是公差不為0的等差數列的前n項和，且，則______.15．已知函數的圖象在點處的切線方程是，則的值等于__________.16．在平面直角坐標系中，曲線在點處的切線與x軸相交于點A，其中e為自然對數的底數.若點，的面積為3，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是圓：的直徑，動圓過，兩點，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.18．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．19．（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調劑1人到該店維持營業，否則該店就停業.（1）求發生調劑現象的概率；（2）設營業店鋪數為X，求X的分布列和數學期望.20．（12分）已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖：在中，，，.（1）求角；（2）設為的中點，求中線的長.22．（10分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業人員跨地區就業后，社保轉移接續的手續往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續，深得流動就業人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續所需時間（天）與人數的頻數分布表：時間人數156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續所需時間與是否流動人員的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續所需時間與是否流動人員”有關.列聯表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續所需時間不超過4天辦理社保手續所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

因為，所以函數是偶函數，排除B、D，又，排除C，故選A．2．C【解析】

首先根據垂直關系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達式，在中，可以計算出的一個表達式，根據長度關系可構造等式求得半徑，進而求出球的表面積．【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點由球的性質可知：平面，，且．設，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關問題的關鍵是能夠利用球的性質確定外接球球心的位置.3．B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.4．B【解析】

先將三個數通過指數，對數運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數、對數的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.5．B【解析】

考慮當時，有兩個不同的實數解，令，則有兩個不同的零點，利用導數和零點存在定理可得實數的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關于原點對稱的點有2對，所以時，有兩個不同的實數解.令，則在有兩個不同的零點.又，當時，，故在上為增函數，在上至多一個零點，舍.當時，若，則，在上為增函數；若，則，在上為減函數；故，因為有兩個不同的零點，所以，解得.又當時，且，故在上存在一個零點.又，其中.令，則，當時，，故為減函數，所以即.因為，所以在上也存在一個零點.綜上，當時，有兩個不同的零點.故選：B.【點睛】本題考查函數的零點，一般地，較為復雜的函數的零點，必須先利用導數研究函數的單調性，再結合零點存在定理說明零點的存在性，本題屬于難題.6．D【解析】

設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.7．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據題意為了計算7個數的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉化與化歸思想，屬于基礎題.8．C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.9．B【解析】

依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數列，則，由此利用等差數列性質求出結果．【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10．C【解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11．D【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%，與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判斷.C.食品占19.9%，再看第二個圖，分清2.5%是在CPI一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查統計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.12．D【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點睛】本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．π.【解析】

設三棱錐P-ABC的外接球為球O'，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點P所構成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關問題，根據立體幾何中的線段關系求動點的軌跡，屬于中檔題.14．18【解析】

將已知已知轉化為的形式，化簡后求得，利用等差數列前公式化簡，由此求得表達式的值.【詳解】因為，所以.故填：.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，考查等差數列的性質以及求和，考查運算求解能力，屬于基礎題.15．【解析】

利用導數的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點睛】本題考查導數的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區別，本題屬于基礎題.16．【解析】

對求導，再根據點的坐標可得切線方程，令，可得點橫坐標，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究函數的切線，難度不大.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）根據動圓過，兩點，可得圓心在的垂直平分線上，由直線的方程為，可知在直線上；設，由動圓與直線相切可得動圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進而確定圓的方程.（2）方法一：設，可得圓的半徑為，根據，可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設，，可得的中點，進而由兩點間距離公式表示出半徑，表示出到軸的距離，代入化簡即可求得的值，進而確定所過定點的坐標；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線定義可求得，表示出線段的中點的坐標，根據到軸的距離可得等量關系，進而確定所過定點的坐標.【詳解】（1）因為過點，，所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為，且，關于于坐標原點對稱，所以在直線上，故可設.因為與直線相切，所以的半徑為.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設，，則得，的中點，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，①化簡得，即，故當時，①式恒成立.所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設，因為拋物線的焦點坐標為，點在拋物線上，所以，線段的中點的坐標為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當點與重合時，符合題意，所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.【點睛】本題考查了圓的標準方程求法，動點軌跡方程的求法，拋物線定義及定點問題的解法綜合應用，屬于難題.18．（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．19．（1）（2）見解析，【解析】

（1）根據題意設出事件，列出概率，運用公式求解；（2）由題得，X的所有可能取值為，根據（1）和變量對應的事件，可得變量對應的概率，即可得分布列和期望值.【詳解】（1）記2家小店分別為A，B，A店有i人休假記為事件（，1，2），B店有i人，休假記為事件（，1，2），發生調劑現象的概率為P.則，，.所以.答：發生調劑現象的概率為.（2）依題意，X的所有可能取值為0，1，2.則，，.所以X的分布表為：X012P所以.【點睛】本題是一道考查概率和期望的?？碱}型.20．（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內作交