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文檔簡介

四川省成都市2025屆高三第一次月考-數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知拋物線的焦點為,對稱軸與準線的交點為,為上任意一點,若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°3.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差4.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點,在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復數(shù)),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.7.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為,高為,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切,則該球的表面積為()A. B. C. D.9.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知是等差數(shù)列的前項和,若,設(shè),則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.2017二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的二項展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.14.若,則________.15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項和為_____16.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)在和之間插入個實數(shù),使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:.18.(12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù),為其前n項和,對于任意的滿足關(guān)系式.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的通項公式是,前n項和為,求證:對于任意的正數(shù)n,總有.19.(12分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.20.(12分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對的邊分別是,且,求的面積.21.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點是曲線上不同兩點,如果在曲線上存在點,使得①;②曲線在點M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”,當時,函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由22.(10分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當,時,求證:①;②.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分別比較復數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時,所以,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,考查學生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準線交準線于,則,在中,,故,即.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中角度的計算,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應的信息,對學生分析問題的能力有一定要求.4、C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.5、D【解析】

設(shè),由,得,利用復數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的模等知識,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.6、A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出,即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用,以及復數(shù)的模計算公式的應用,屬于容易題.7、D【解析】

過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為,高為,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示:因為正四棱錐底邊邊長為,高為,所以,到的距離為,同理到的距離為1,所以為球的球心,所以球的半徑為:1,所以球的表面積為.故選:B【點睛】本題主要考查組合體的表面積,還考查了空間想象的能力,屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要條件.故選:C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導數(shù)求出的極值點,得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因為,所以,或,因為時,,或時,,,其圖象如下:當時,至多一個整數(shù)根;當時,在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點睛】本題考查不等式的解法和應用問題,還涉及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.11、D【解析】

先求出的值域,再利用導數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為,故,當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.12、B【解析】

根據(jù)題意計算,,,計算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和,若,故,,,,故,當時,,,,,當時,,故前項和最大.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

由題意可得,再利用二項展開式的通項公式,求得二項展開式常數(shù)項的值.【詳解】的二項展開式的中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,,通項公式為,令,求得,可得二項展開式常數(shù)項等于,故答案為1.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、13【解析】

由導函數(shù)的應用得:設(shè),,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設(shè),,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13【點睛】本題考查了導函數(shù)的應用、二項式定理,屬于中檔題15、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項和為2(1)=2(1).故答案為:.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.16、1【解析】

處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當且僅當時取等號,此時x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號成立的條件.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ),,兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因為,故,兩式相減可得,,故,因為是等比數(shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式求和公式、錯位相減法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)公式得到,計算得到答案.(2),根據(jù)裂項求和法計算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時,,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當時,,..(2)..【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和證明數(shù)列不等式,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.19、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】

(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5個月份任意選取3個月份的基本事件有,,,,,,,,,,共計10個,故恰好有兩個月考核合格的概率為;(2),,,,故;(3)當千只,(十萬元)(萬元),故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型,線性回歸方程的求解和使用,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由題意,f(x)的最大值為所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意,得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或(舍去),故21、(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導數(shù),結(jié)合導數(shù)的幾何意義,再令,轉(zhuǎn)化為方程有解問題,即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,所以當時,;,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當時,①當時,函數(shù)在上遞增②,顯然無增區(qū)間;

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