數學競賽專題輔導中值定理上課用二、中值定理的應用一、幾個中值定理中值定理及其應用數學競賽專題輔導：2羅爾定理：拉格朗日定理：柯西定理：1.微分中值定理一、幾個中值定理3其中余項當時為麥克勞林公式.若函數內具有n+1

階導數,泰勒中值定理：4基本初等函數的麥克勞林公式5

拉格朗日中值定理微分中值定理之間的相互關系

羅爾定理

柯西中值定理

泰勒中值定理62.零點定理與介值定理1)零點定理：至少有一點且使2)介值定理：則對A

與B

之間的任一數C,推論:

在閉區間上的連續函數必取得介于最小值與最大值之間的任何值.73.費馬定理取得極值4.積分中值定理積分中值定理微分中值定理注：牛頓–萊布尼茨公式81.證明恒等式.2.證明不等式.4.證明有關中值問題的結論.經驗1:二、中值定理的主要應用利用中值定理證明不等式的步驟:(3)根據a<ξ<b的關系,證明出不等式.(2)利用中值定理,(1)設出輔助函數和區間，經驗2：經驗3:欲證(1)設函數(2)驗證函數在區間上滿足羅爾定理.3.極限的計算.91.證明恒等式例1.

證明等式證:

設由推論可知(常數)令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:二、中值定理的主要應用10例1.

證明不等式證:

設即因為所以因此應有2.證明不等式11例2

證明：12例3.

設函數在上二階可導,且證明證:由泰勒公式得兩式相減得13例4.

設函數f(x)在（a，b）可導，且證明f(x)在（a，b）內有界.證:

取點再取異于的點對為端點的區間上用拉氏中值定理,得(定數)可見對任意即得所證.14例13.極限的計算.154.證明有關中值問題的結論題型一.保號性定理例1.

設試證：證:

不妨設必有使故保號性定理必有使故又在上連續,由零點定理知,存在16例2.

設17例2.

設18題型二.常用的構造函數的幾種模型19例4.

設保號性定理證:

不妨設必有保號性定理必有20例5.

設證:21例6.

設證:22例7證明：23題型三.例7.

設解：24例7.

設25例7.

設26例7.

設27題型四.28例8.

設在內可導,且證明至少存在一點上連續,在分析:

問題轉化為證：證明：設輔助函數顯然故至少使即有存在一點29例8.設證明：設輔助函數只需驗證：分析:30例8.設證明：31例9.設證明：設輔助函數：只需驗證：分析:32題型五.33例10.設分析:34題型六.例11.試證存在證:

欲證將①代入②,化簡得故有①②即要證35已知函數內可導,且證:(1)令使即(2005考研數1,2)(2)根據拉格朗日中值定理,使練習.36練習：分析：解：37Cauchy中值定理應用舉例證明：所以38備用.

若可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:

設欲證:使只要證亦即作輔助函數驗證在上滿足羅爾定理條件.39總之，有關中值問題的解題方法:利用逆向思維,設輔助函數.一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在,(2)若結論中涉及含中值的兩個不同函數,(3)若結論中含兩個或兩個以上的中值,可用原函數法找輔助函數.多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理

.必須多次應用中值定理.(4)若已知條件中含高階導數,多考慮用泰勒公式,有時也可考慮對導數用中值定理.405、泰勒公式用于無窮小的階的估計例141

在的某鄰域有一階連續導數，且在x=0處若在時是h的高階無窮小，試確定a,b的值426、泰勒公式用于求函數在某點的各階導數例143

(2)f(x)在