第29頁（共29頁）2025年高考數學三輪復習之圓與方程一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?濱州期末）與圓（x+4）2+y2＝4及圓x2+y2﹣8x+15＝0都內切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的左支上 C．雙曲線的右支上 D．拋物線上2．（2024秋?安徽期末）已知圓C：x2+y2﹣2x+2y﹣4＝0，則圓C的圓心到坐標原點的距離為（）A．1 B．2 C．6 D．23．（2024秋?信陽期末）圓x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圓心在第三象限，則m的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）4．（2025?洮北區校級一模）已知圓C：x2+y2﹣2x＝0，過圓C外一點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，三角形PAB的面積為312，則PCA．33 B．233 C．3 5．（2025?洮北區校級一模）單位圓O：x2+y2＝1上有兩個動點M（x1，y1），N（x2，y2），且滿足x1x2+y1y2=12，則xA．[2-1，2+1] B．[3-6．（2024秋?山西期末）已知曲線C：x2+（y﹣1）2＝4（y≥1）和直線l：y﹣1＝k（x+3）有且僅有一個公共點，則直線l的斜率為（）A．±255 B．-255 7．（2024秋?洪雅縣期末）已知圓C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1與圓C2：x2+y2﹣4x﹣2y+5﹣a2＝0（a＞0）外切，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2024秋?拱墅區校級期末）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直線l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直線l被圓C截得的弦長的最大值為a，最小值為b，則a+b＝（）A．42+23 B．22+43 C二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?濰坊模擬）已知點P（2，2），圓C：x2+y2＝18，則（）A．點P在C內 B．點P與C上的點之間的最大距離為62C．以點P為中點的弦所在直線的方程為x+y﹣4＝0 D．過點P的直線被C截得弦長的最小值為10（多選）10．（2024秋?廣東校級期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則下列命題中正確的有（）A．直線l恒過定點（3，1） B．圓C被y軸截得的弦長為46C．直線l與圓C恒相交 D．當直線l被圓C截得的弦長最小時，直線l的方程為2x﹣y+5＝0（多選）11．（2024秋?龍崗區校級期末）已知直線l：x+y+1＝0，點P為⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一點，則（）A．直線l與⊙M相離 B．點P到直線l距離的最小值為22 C．與⊙M關于直線l對稱的圓的方程為（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0（多選）12．（2025?常德校級一模）已知圓C：（x+2）2+y2＝4，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），則（）A．直線l恒過定點（﹣1，1） B．當m＝0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1 C．直線l與圓C可能相切 D．若圓C與圓x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三條公切線，則a＝8三．填空題（共4小題）13．（2024秋?河南期末）若圓x2+y2＝1與圓x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0恰有一個公共點，則m的值為．14．（2024秋?廣東校級期末）若圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0關于直線2ax+by﹣2＝0（ab＞0）對稱，則2a+1b的最小值是15．（2024秋?安徽期末）已知過點P（﹣2，0）有兩條直線l1，l2與圓C：x2+（y﹣2）2＝5相切，切點分別為M，N，則tan∠MPN＝．16．（2025?永州二模）在平面直角坐標系xOy中，射線l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圓C：y=1-(x-4)2．現從點A（1，0）向上方區域的某方向發射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線l1，l2時會發生鏡面反射．設光線在發生反射前所在直線的斜率為k，若光線始終與半圓C沒有交點，則k四．解答題（共4小題）17．（2024秋?山西期末）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直線l：3x﹣4y﹣18＝0．（1）判斷直線l與圓C的位置關系；（2）求圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值；（3）圓心為C1（﹣2，4）的圓與圓C相切，求圓C1的方程．18．（2024秋?信陽期末）已知A（0，﹣2），B（2，2），過A，B兩點的圓的圓心為M，且M在y軸上．（1）求線段AB垂直平分線方程和⊙M的方程；（2）設P為y軸正半軸上的點，過P作⊙M的兩條切線PC，PD，C，D為切點，當∠CPD＝60°時，求點P的坐標．19．（2024秋?漢中期末）已知圓C過點（0，4），（2，2），（0，0）．（1）求圓C的標準方程；（2）已知直線l過原點，傾斜角為60°，求直線l被圓C截得的弦長．20．（2024秋?洪雅縣期末）已知圓M的圓心在直線y＝﹣2x上，且圓M與直線x﹣y﹣5＝0相切于點P（2，﹣3）．（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程．

2025年高考數學三輪復習之圓與方程參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BBABDCBA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACABCACAD一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?濱州期末）與圓（x+4）2+y2＝4及圓x2+y2﹣8x+15＝0都內切的圓的圓心在（）A．橢圓上 B．雙曲線的左支上 C．雙曲線的右支上 D．拋物線上【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】對應思想；數形結合法；直線與圓；運算求解．【答案】B【分析】設所求圓的圓心為P，半徑為r，根據圓與圓的位置關系，結合雙曲線的定義可得出結論．【解答】解：如下圖所示：設所求圓的圓心為P，半徑為r，由圓（x+4）2+y2＝4，可得圓心為F1（﹣4，0），半徑為r1＝2，由圓x2+y2﹣8x+15＝0的標準方程為（x﹣4）2+y2＝1，可得圓心為F2（4，0），半徑為r2＝1，根據內切兩圓的性質，可得|PF1|＝r﹣2，|PF2|＝r﹣1，得|PF2|﹣|PF1|＝1＜|F1F2|＝4，則圓心P的軌跡是以F1、F2分別為左、右焦點的雙曲線的左支上．故選：B．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，考查數形結合的解題思想方法，是基礎題．2．（2024秋?安徽期末）已知圓C：x2+y2﹣2x+2y﹣4＝0，則圓C的圓心到坐標原點的距離為（）A．1 B．2 C．6 D．2【考點】圓的一般方程．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】B【分析】首先轉化為圓的標準方程，求圓心，再求兩點間距離．【解答】解：根據題意，圓的方程可化為（x﹣1）2+（y+1）2＝6，所以圓心為（1，﹣1），所以圓心到坐標原點的距離為(1-故選：B．【點評】本題主要考查圓的方程，屬于基礎題．3．（2024秋?信陽期末）圓x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圓心在第三象限，則m的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考點】由圓的一般式方程求圓的幾何屬性．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】先將圓方程化為標準方程，根據圓心所在象限以及半徑為正列出不等式組，求解即可．【解答】解：由題可得：圓的方程為：（x﹣2m）2+（y+1）2＝m2﹣2m﹣3，圓心坐標為（2m，﹣1）．因為圓心在第三象限，所以2m＜0m2故選：A．【點評】本題主要考查圓的一般方程和標準方程的相互轉化，屬于基礎題．4．（2025?洮北區校級一模）已知圓C：x2+y2﹣2x＝0，過圓C外一點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，三角形PAB的面積為312，則PCA．33 B．233 C．3 【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】B【分析】設∠APC＝α，S△PAB=12|PA|2sin2α=312，進而由已知可得|PA|=1【解答】解：設∠APC＝α，S△PAB=12|PA|2sin2由圓C：x2+y2﹣2x＝0，可得圓C：（x﹣1）2+y2＝1，所以半徑為1，在直角三角形APC中，tanα=|AC||PA|所以12?1tan2α?sin2α=312所以1tan2整理可得：tan所以（tanα-3）（tan2α+3tanα+3）+（tan-3所以（tanα-3）（tan2α+3tanα+4）＝0，所以所以α=π3，因此|PC故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查轉化思想，屬中檔題．5．（2025?洮北區校級一模）單位圓O：x2+y2＝1上有兩個動點M（x1，y1），N（x2，y2），且滿足x1x2+y1y2=12，則xA．[2-1，2+1] B．[3-【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】根據題意可得∠MON=π3，從而設M（cosθ，sinθ），N(cos(θ+π3)，sin(θ+π3))，【解答】解：連接OM，ON，因為x1x2+y設M（cosθ，sinθ），則N(cos(θ+π3可得x1+x2+y1+y2＝cosθ+cos（θ+π3）+sinθ+sin（θ+π3）=3+32cosθ+3-32sinθ=6（sin5π12結合正弦函數的性質，可得-6故選：D．【點評】本題主要考查圓的方程及其性質、三角恒等變換公式、正弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．6．（2024秋?山西期末）已知曲線C：x2+（y﹣1）2＝4（y≥1）和直線l：y﹣1＝k（x+3）有且僅有一個公共點，則直線l的斜率為（）A．±255 B．-255 【考點】由直線與圓的位置關系求解直線與圓的方程或參數．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯思維．【答案】C【分析】由圓心到直線的距離等于半徑即可求解．【解答】解：易知，直線l過定點M（﹣3，1），曲線C表示圓心為（0，1），半徑為2的上半圓，定點M（﹣3，1）在半圓所在的圓外．由C與l有且僅有一個公共點時，l與半圓C相切，此時圓心（0，1）到直線l的距離d=|-1+3k+1|k故選：C．【點評】本題考查直線與圓的綜合應用，屬于簡單題．7．（2024秋?洪雅縣期末）已知圓C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1與圓C2：x2+y2﹣4x﹣2y+5﹣a2＝0（a＞0）外切，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】B【分析】兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和．我們先求出兩圓的圓心坐標和半徑，再根據兩圓外切的性質列出等式求解a的值．【解答】解：圓C1：(x+1)2+(y-1)2圓C2：(x-2)2+(y-1)2=a2因為兩圓外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和．兩圓的圓心距d=則有3＝1+a，解得a＝2．故選：B．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，屬于基礎題．8．（2024秋?拱墅區校級期末）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直線l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直線l被圓C截得的弦長的最大值為a，最小值為b，則a+b＝（）A．42+23 B．22+43 C【考點】直線與圓相交的性質．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】A【分析】先求出直線l過定點A（1，3），再根據點在圓內結合幾何性質求出最短弦和最長弦即可得解．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直線l：mx+y﹣m﹣3＝0，因為直線l可化為m（x﹣1）+y﹣3＝0，則直線l過定點A（1，3），點A（1，3）代入圓C中：（1﹣3）2+（3﹣4）2＜8，所以點A在圓C內，當AC⊥l時，直線l被圓C截得的弦長最短，即b=2當直線l過圓心C時，直線l被圓C截得的弦長最長，即a=2所以a+故選：A．【點評】本題主要考查直線和圓相交的性質，考查計算能力，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?濰坊模擬）已知點P（2，2），圓C：x2+y2＝18，則（）A．點P在C內 B．點P與C上的點之間的最大距離為62C．以點P為中點的弦所在直線的方程為x+y﹣4＝0 D．過點P的直線被C截得弦長的最小值為10【考點】直線與圓相交的性質；點與圓的位置關系．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】AC【分析】將點P的坐標代入圓C的方程，判斷出點P在圓C內部，判斷出A的真假；求出圓上的點到點P的距離的范圍，進而求出距離的最大值，判斷出B的真假；求出CP→的坐標，由點法式方程，可得點P為中點的線所在的直線方程，判斷出C的真假；當CP垂直于點P的直線時，則圓心C到直線的距離的最大值，由弦長公式可得過點P【解答】解：將點P（2，2）的坐標代入圓C的方程：x2+y2＝18中，可得：22+22＝8＜18，A中，可得點P在圓C內部，所以A正確；B中，點P到圓上的點之間距離的范圍為[|PC|﹣r，|PC|+r]，所以點P與C上的點之間的最大距離為|PC|+r=22+22+3C中，因為CP→=（2，2），所以以點P為中點的弦所在直線的點法式方程為2（x﹣2）+2（y﹣2）＝即x+y﹣4＝0，所以C正確；D中，因為過點P的弦長＝2r2-d2≥2r2-故選：AC．【點評】本題考查點與圓的位置關系的判斷及直線與圓的綜合應用，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?廣東校級期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則下列命題中正確的有（）A．直線l恒過定點（3，1） B．圓C被y軸截得的弦長為46C．直線l與圓C恒相交 D．當直線l被圓C截得的弦長最小時，直線l的方程為2x﹣y+5＝0【考點】直線及坐標軸被圓截得的弦及弦長；恒過定點的直線．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】ABC【分析】將直線方程化為l：m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，可求得定點坐標；將x＝0代入圓的方程，即可求得兩交點縱坐標，即可得到弦長；求出圓心C（1，2）到定點（3，1）的距離，即可判斷C項；由題意知，當圓心C（1，2）與定點（3，1）的連線恰好與l垂直時，弦長最短，可求出直線的斜率，代入點斜式方程即可求得．【解答】解：由已知可得，圓心C（1，2），半徑r＝5．直線方程可化為l：m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，解可得，所以直線l恒過定點（3，1），故A選項正確；將x＝0代入圓的方程有1+（y﹣2）2＝25，解得y1=2-26，y2=2+2因為點（3，1）到圓心C（1，2）的距離為(1-3)2+(2-1)2=當圓心C（1，2）與定點（3，1）的連線恰好與l垂直時，圓心到直線的距離最大，直線l被圓C截得的弦長最小．則l的斜率k應滿足1-23-1k=-1，所以k＝2，代入點斜式方程有y﹣1＝2（x﹣3），整理可得，2x﹣y﹣5＝0故選：ABC．【點評】本題考查l恒過定點的直線，考查直線與圓的位置關系，是基礎題．（多選）11．（2024秋?龍崗區校級期末）已知直線l：x+y+1＝0，點P為⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一點，則（）A．直線l與⊙M相離 B．點P到直線l距離的最小值為22 C．與⊙M關于直線l對稱的圓的方程為（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0【考點】關于點、直線對稱的圓的方程；點到直線的距離公式．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】AC【分析】利用圓心M（1，2）到直線l的距離d與半徑r=2的關系可以判斷A正確；點P到直線l距離的最小值為d﹣r，判斷B錯誤；求出圓心M（1，2）關于直線l對稱點N（﹣3，﹣2），進而求出圓的方程，判斷C正確；利用圓心M（1，2）到直線的距離d＝r，求出其切線方程，判斷【解答】解：∵⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，∴圓心M（1，2），半徑r=∴圓心M（1，2）到直線l：x+y+1＝0的距離為：d=|1+2+1|12+12=2∵點P到直線l距離的最小值為d-r=2設圓心M（1，2）關于直線l對稱點為N（x0，y0），則x0+12+y0+1∴與⊙M關于直線l對稱的圓的方程為（x+3）2+（y+2）2＝2，故C正確；設平行于l且與⊙M相切的直線方程為x+y+c＝0，∴d=|1+2+c|12+12∴平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為x+y﹣1＝0和x+y﹣5＝0，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，圓的切線方程的求解，屬中檔題．（多選）12．（2025?常德校級一模）已知圓C：（x+2）2+y2＝4，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），則（）A．直線l恒過定點（﹣1，1） B．當m＝0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1 C．直線l與圓C可能相切 D．若圓C與圓x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三條公切線，則a＝8【考點】直線與圓的位置關系；兩圓的公切線條數及方程的確定；恒過定點的直線．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】AD【分析】A選項，將直線變形，即可得到直線過的定點．B選項，結合點到直線的距離公式，可得到結果．C選項，由定點在圓內，即可求解．D選項，由公切線條數可確定兩圓位置關系，根據圓心距與兩圓半徑之間的關系來求解．【解答】解：對于選項A，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），所以m（x+1）+x+2y﹣1＝0令x+1=0x+2y-1=0，解得x=對于選項B，當m＝0時，直線l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R）為：x+2y﹣1＝0，則圓心C（﹣2，0）到直線l的距離為d=所以圓上只有2個點到直線的距離為1，故選項B錯誤；對于選項C，因為直線過定點（﹣1，1），所以（﹣1+2）2+12＜4，所以定點在圓內，則直線與圓有兩個交點．直線l與圓C一定相交．故選項C錯誤；對于選項D，由圓的方程x2+y2﹣2x+8y+a＝0可得，（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a，所以圓心為（1，﹣4），半徑為17-因為兩圓有三條公切線，所以兩圓的位置關系為外切，則(1+2)2+(0+4)2=5=2+17-a故選：AD．【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?河南期末）若圓x2+y2＝1與圓x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0恰有一個公共點，則m的值為﹣4或6．【考點】根據兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關系．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】﹣4或6．【分析】根據兩圓的方程，先得到圓心坐標和半徑，由兩圓相切，討論內切和外切兩種情況，即可得出結果．【解答】解：圓x2+y2﹣6x﹣8y﹣2m+1＝0，該圓的圓心坐標為（3，4），半徑r2=24+2m（而圓x2+y2＝1的圓心坐標為（0，0），半徑r1＝1，根據兩點間距離公式，兩圓的圓心距d=因為兩圓恰有一個公共點，所以兩圓內切或外切，當兩圓外切時，d＝r1+r2，可得1+24+2m=5，解得m當兩圓內切時，d＝|r2﹣r1|，可得|24+2m-1|=5，解得故m的值為﹣4或6．故答案為：﹣4或6．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，考查運算求解能力，是基礎題．14．（2024秋?廣東校級期末）若圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0關于直線2ax+by﹣2＝0（ab＞0）對稱，則2a+1b的最小值是【考點】關于點、直線對稱的圓的方程；運用“1”的代換構造基本不等式．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】3+22【分析】根據題意直線2ax+by﹣2＝0過圓心C（1，2），進而有2a+2b＝2，應用基本不等式“1”的代換求最小值．【解答】解：由題意圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣6＝0關于直線2ax+by﹣2＝0（ab＞0）對稱，可得直線2ax+by﹣2＝0（ab＞0）過圓心C（1，2），則2a+2b＝2?a+b＝1，且ab＞0，所以a＞0，b＞0，所以2a當且僅當a=2-2，b故答案為：3+22【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，基本不等式的運用，是中檔題．15．（2024秋?安徽期末）已知過點P（﹣2，0）有兩條直線l1，l2與圓C：x2+（y﹣2）2＝5相切，切點分別為M，N，則tan∠MPN＝-15【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】-15【分析】由切線的性質及正切的二倍角公式即可求解；【解答】解：根據圓C：x2+（y﹣2）2＝5，圓心C（0，2），半徑為5，設直線l1，l2與圓C相切于點M，N，如圖，易知∠MPC＝∠NPC，|PC|=22所以tan∠則tan∠故答案為：-15【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，三角函數的應用，是中檔題．16．（2025?永州二模）在平面直角坐標系xOy中，射線l1：y＝x（x≥0），l2：y＝0（x≥0），半圓C：y=1-(x-4)2．現從點A（1，0）向上方區域的某方向發射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線l1，l2時會發生鏡面反射．設光線在發生反射前所在直線的斜率為k，若光線始終與半圓C沒有交點，則k【考點】根據圓心到直線距離與圓的半徑求解直線與圓的位置關系．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】求出光線與（x﹣4）2+y2＝1（y≥0），（x+4）2+y2＝1（y≥0），x2+（y﹣4）2＝1相切時的斜率，數形結合即可得解．【解答】解：將半圓依次沿著y＝x，x＝0，y＝﹣x作對稱，如圖所示：光線在鏡面發生反射可以等效處理為：光線進入了鏡子后的空間，因此問題就轉化為光線如何與鏡子內外的圓沒有交點，光線變化的范圍如圖所示，當光線與（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切時，光線所在直線斜率為k1由對稱性可知當光線遇射線l1時反射光線若與（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切，則入射光線所在直線為x＝1與圓x2+（y﹣4）2＝1相切，當光線與圓x2+（y﹣4）2＝1相切但遇射線l1時反射光線不與（x﹣4）2+y2＝1（y≥0）相切時，此時tanθ=14當光線與（x+4）2+y2＝1（y≥0）相切時，光線斜率為k3所以由圖可知k的取值范圍是(-故答案為：(-【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?山西期末）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直線l：3x﹣4y﹣18＝0．（1）判斷直線l與圓C的位置關系；（2）求圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值；（3）圓心為C1（﹣2，4）的圓與圓C相切，求圓C1的方程．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）相離．（2）最大值為5，最小值為1．（3）（x+2）2+（y﹣4）2＝9或（x+2）2+（y﹣4）2＝49．【分析】（1）判斷圓心到直線的距離與半徑的大小即可；（2）由（1）可知直線與圓相離，此時圓上的點到直線的距離的最大值為d+r，最小值為d﹣r，利用公式即可求解；（3）圓C1與圓C相切，分為內切和外切兩種情況去求出半徑，再寫出圓C1的標準方程即可．【解答】（1）解：圓C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，化為（x﹣1）2+y2＝4，圓的半徑r＝2，圓的圓心為C（1，0），∴圓心C（1，0）到直線l：3x﹣4y﹣18＝0的距離d=∴直線l與圓C相離．（2）由（1）可知圓心C（1，0）到直線l：3x﹣4y﹣18＝0的距離d＝3，∴圓C上的點到直線l距離的最大值為d+r＝3+2＝5，最小值為d﹣r＝3﹣2＝1．（3）圓心為C1（﹣2，4），設圓C1的半徑為r1，∵C，C1兩圓相切，且|C∴當圓C1與圓C外切時，r1＝5﹣2＝3，當圓C1與圓C內切時，r1＝5+2＝7，如圖，∵圓心為C1（﹣2，4），∴圓C1的方程為（x+2）2+（y﹣4）2＝9或（x+2）2+（y﹣4）2＝49．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，是基礎題．18．（2024秋?信陽期末）已知A（0，﹣2），B（2，2），過A，B兩點的圓的圓心為M，且M在y軸上．（1）求線段AB垂直平分線方程和⊙M的方程；（2）設P為y軸正半軸上的點，過P作⊙M的兩條切線PC，PD，C，D為切點，當∠CPD＝60°時，求點P的坐標．【考點】根據圓的幾何屬性求圓的標準方程；直線與圓相交的性質．【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）y=-1（2）P(0【分析】（1）根據兩直線的位置關系求出線段AB垂直平分線的斜率，結合直線的點斜式方程即可求出垂直平分線方程；利用待定系數法計算即可求出圓的方程；（2）如圖，求得|PM|＝5，即可求解．【解答】解：（1）A（0，﹣2），B（2，2），過A，B兩點的圓的圓心為M，且M在y軸上．故直線AB的斜率為k=所以線段AB垂直平分線的斜率為-1因為AB中點坐標為（1，0），所以線段AB的垂直平分線方程為y-0=-設M（0，a），則|AM|＝|a+2|，圓M的標準方程為x2+（y﹣a）2＝|a+2|2，有02+(-2-a所以圓M的標準方程為x2（2）如圖，CM⊥則|PM|＝5，所以|OP|=5+1【點評】本題主要考查圓的方程求解，考查計算能力，屬于中檔題．19．（2024秋?漢中期末）已知圓C過點（0，4），（2，2），（0，0）．（1）求圓C的標準方程；（2）已知直線l過原點，傾斜角為60°，求直線l被圓C截得的弦長．【考點】直線與圓的位置關系；根據圓的幾何屬性求圓的標準方程；經過三點的圓的方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）x2+（y﹣2）2＝4；（2）23【分析】（1）利用待定系數法求圓的一般方程，再化為標準方程；（2）利用幾何法求圓的弦長．【解答】解：（1）設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），又圓C過點（0，4），（2，2），（0，0），則16+4E解得D=0所以圓C的方程為x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4；（2）由題意可知：直線l的方程為3x圓x2+（y﹣2）2＝22的圓心坐標C：（0，2），半徑r＝2，設圓心C到直線的距離為d，則d＝1，故直線被圓截得的弦長=2r【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．20．（2024秋?洪雅縣期末）已知圓M的圓心在直線y＝﹣2x上，且圓M與直線x﹣y﹣5＝0相切于點P（2，﹣3）．（1）求圓M的方程；（2）過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，求直線l的方程．【考點】直線與圓的位置關系；根據圓的幾何屬性求圓的標準方程；直線與圓相交的性質．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）x+y＝0或7x+y＝0．【分析】（1）根據直線與圓的相切的關系得出圓心與切點連線方程，聯立方程組計算可得圓心坐標，根據兩點距離公式計算半徑即可得圓M的標準方程；（2）根據弦長公式可得圓心M到直線l的距離，分類討論直線斜率是否存在，利用點到直線的距離公式計算斜率即可．【解答】解：（1）已知圓M的圓心在直線y＝﹣2x上，且圓M與直線x﹣y﹣5＝0相切于點P（2，﹣3），易知過點P（2，﹣3）且與直線x﹣y﹣5＝0垂直的直線斜率為1，故圓心M與切點連線方程為x+y+1＝0，聯立x+y+1=0所以圓M的圓心坐標為（1，﹣2），所以圓M的半徑為|MP則圓M的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝2；（2）如圖，由（1）可知圓M的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝2，因為過坐標原點O的直線l被圓M截得的弦長為6，所以圓心M到直線l的距離為d=若直線l的斜率不存在，則方程為x＝0，此時圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線l的斜率存在，設方程為y＝kx，則d=|k+2|k2+1=22，即k2+8k+7＝所以直線l的方程為x+y＝0或7x+y＝0．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．

考點卡片1．運用“1”的代換構造基本不等式【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在一些復雜的代數式問題中，結合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而構造均值不等式，簡化問題．【命題方向】運用“1”的代換構造均值不等式時，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而應用均值不等式．已知實數x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案為：1+32．恒過定點的直線【知識點的認識】﹣定點：直線總是通過一個固定的點（x1，y1）的方程形式為：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0其中a和b是直線的方向向量分量．【解題方法點撥】﹣求方程：1．已知定點：將定點（x1，y1）代入直線方程．2．確定直線：確定直線方向向量，代入標準方程形式．3．標準方程：得到直線方程如：a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0【命題方向】﹣定點直線：考查如何找到所有恒過一個定點的直線方程，通常涉及固定點和直線方程的轉換．3．點到直線的距離公式【知識點的認識】﹣點到直線距離：點（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離為：d=【解題方法點撥】﹣計算距離：1．代入直線方程：將點的坐標代入直線方程．2．計算絕對值：計算Ax0+By0+C的絕對值．3．計算模：計算法向量的模A24．求解距離：將絕對值與模相除，即得距離．【命題方向】﹣距離計算：考查點到直線的距離計算，可能涉及多種坐標系變換或應用．4．根據圓的幾何屬性求圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數法．步驟如下：（1）根據題意設出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據已知條件，列出關于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】﹣標準方程推導：考查如何從幾何屬性推導圓的標準方程，通常涉及基本的幾何知識和代數運算．5．圓的一般方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標為（-D2，-E23．圓的一般方程的特點：（1）x2和y2系數相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項．以上兩點是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．6．由圓的一般式方程求圓的幾何屬性【知識點的認識】﹣幾何屬性提取：從一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0提取圓心和半徑，需要完成以下步驟：1．配方：將方程化為標準形式．2．圓心和半徑：從配方后的標準形式中提取圓心（h，k）和半徑r．【解題方法點撥】﹣步驟：1．配方：將x和y的平方項配方，得到圓心坐標和半徑．2．計算圓心和半徑：通過配方得到圓心坐標h和k，然后計算半徑r．【命題方向】﹣幾何屬性提取：考查如何從一般式方程中提取圓的幾何屬性，通常涉及方程的配方和化簡．7．經過三點的圓的方程【知識點的認識】﹣三點確定圓：給定三個不共線的點，圓的方程可以通過解方程組得到．【解題方法點撥】﹣步驟：1．設圓的方程：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0．2．代入點坐標：將三個點坐標代入方程得到線性方程組．3．解方程組：解方程組得到D，E，F的值，從而得到圓的方程．【命題方向】﹣三點確定圓：考查如何通過已知的三點計算圓的方程，通常涉及線性方程組的解法．8．點與圓的位置關系【知識點的認識】點與圓的位置關系分為在園內，在圓上和在圓外，判斷的方法就是該點到圓心的距離和圓半徑的大小之間的比較．①當點到圓心的距離小于半徑時，點在圓內；②當點到圓心的距離等于半徑時，點在圓上；③當點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外．9．關于點、直線對稱的圓的方程【知識點的認識】（1）已知圓關于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關于該直線對稱后得到的圓心坐標即可．（2）若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標．10．圓的切線方程【知識點的認識】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點是與圓只有一個交點，且過圓心與切點的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點的切線方程．這種情況可以先設直線的方程，然后聯立方程求出他們只有一個解（交點）時斜率的值，進而求出直線方程．【解題方法點撥】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過點（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r=2①當直線l經過點P（2，1）與x軸垂直時，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1≠2，∴直線l與圓不相切，即x＝2②當直線l經過點P（2，1）與x軸不垂直時，設方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d=|k+1-2k|因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因為k不一定存在，所以單獨討論，用的解題思想就是我上面所說，大家可以對照著看就是．例2：從點P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切線方程為．解：由圓（x﹣2）2+y2＝4，得到圓心坐標為（2，0），半徑r＝2，當過P的切線斜率不存在時，直線x＝4滿足題意；當過P的切線斜率存在時，設為k，由P坐標為（4，5），可得切線方程為y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圓心到切線的距離d＝r，即|5-2k|解得：k=21此時切線的方程為y﹣5=2120（x﹣4），即21x﹣20y+16＝綜上，圓的切線方程為x＝4或21x﹣20y+16＝0．這個例題用的方法也是前面所說，但告訴我們一個基本性質，即圓外的點是可以做兩條切線的，所以以后解題只求出一條的時候就要想是不是少寫了一種．【命題方向】本考點也是比較重要的一個知識點，但解題方法很死板，希望大家都能準確的掌握，確保不丟分．11．直線與圓相交的性質【知識點的認識】直線與圓的關系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰小：①當圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；②當圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；③當圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．【解題方法點撥】例：寫出直線y＝x+m與圓x2+y2＝1相交的一個必要不充分條件：解：直線x﹣y+m＝0若與圓x2+y2＝1相交，則圓心（0，0）