浙江省余姚八中2025年（高三）數學試題5月月考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知，則的值構成的集合是（）A． B． C． D．4．偶函數關于點對稱，當時，，求（）A． B． C． D．5．設，則，則（）A． B． C． D．6．的展開式中，滿足的的系數之和為（）A． B． C． D．7．《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，在塹堵中，，，當陽馬體積的最大值為時，塹堵的外接球的體積為（）A． B． C． D．8．數列{an}是等差數列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實數λ的最大值為（）A． B． C． D．9．設是等差數列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．11．已知函數，若方程恰有兩個不同實根，則正數m的取值范圍為（）A． B．C． D．12．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果函數（,且,）在區間上單調遞減,那么的最大值為__________．14．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.16．已知實數a，b，c滿足，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區域用于產品展示,該封閉區域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區,該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區,其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設為．（上述圖形均視作在同一平面內）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區的面積最大,求的值．18．（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發公共衛生事件.中華民族歷史上經歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究，一名同學在數據統計中發現，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數量（單位：萬人）之間的關系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據表中的數據，運用相關系數進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關系？（2）求出關于的線性回歸方程（系數精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數.參考數據：，，，.參考公式：相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.19．（12分）已知函數．（1）若，證明：當時，；（2）若在只有一個零點，求的值.20．（12分）如圖，過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D，直線AC、BD分別交直線于點E、F，求證：是定值.21．（12分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.22．（10分）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．（1）求的值；（2）動點在拋物線的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設，利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.2、B【解析】

先求出滿足的值，然后根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎．解題時可根據條件與結論中參數的取值范圍進行判斷．3、C【解析】

對分奇數、偶數進行討論，利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數時，；為奇數時，，則的值構成的集合為.【點睛】本題考查三角式的化簡，誘導公式，分類討論，屬于基本題.4、D【解析】

推導出函數是以為周期的周期函數，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱，則，，，則，所以，函數是以為周期的周期函數，由于當時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

根據換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數的運算，屬于中檔題.6、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數乘以中的系數，然后相加可得．【詳解】當時，的展開式中的系數為．當，時，系數為；當，時，系數為；當，時，系數為；故滿足的的系數之和為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵．7、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應用,體現了數學運算、直觀想象等核心素養.8、D【解析】

利用等差數列通項公式推導出λ，由d∈[1，2]，能求出實數λ取最大值．【詳解】∵數列{an}是等差數列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數，∴d＝1時，實數λ取最大值為λ．故選D．【點睛】本題考查實數值的最大值的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、A【解析】

根據等差數列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數列為單調遞減數列，則必存在，使得當時，，則，不合乎題意；若，由且數列為單調遞增數列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數列”；必要性：設，當時，，此時，，但數列是遞增數列.所以，“，”“為遞增數列”.因此，“，”是“為遞增數列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題．10、B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據極值的定義，要使是函數的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據與的圖象關系，可得，故選B．11、D【解析】

當時，函數周期為，畫出函數圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數和有圖像兩個交點，計算，，根據圖像得到答案.【詳解】當時，，故函數周期為，畫出函數圖像，如圖所示：方程，即，即函數和有兩個交點.，，故，，，，.根據圖像知：.故選：.【點睛】本題考查了函數的零點問題，確定函數周期畫出函數圖像是解題的關鍵.12、A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】

根據函數單調性的性質,分一次函數和一元二次函數的對稱性和單調區間的關系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當時,,在區間上單調遞減,則,即,則.②當時,,函數開口向上,對稱軸為,因為在區間上單調遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的單調性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、【解析】

設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.15、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據平移法判斷出最優點，代入目標函數的解析式，易可得到目標函數的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.16、【解析】

先分離出，應用基本不等式轉化為關于c的二次函數，進而求出最小值.【詳解】解：若取最小值，則異號，，根據題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數配方求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據直線與圓相切的性質求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導研究函數的單調性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區的面積最大,的值為．【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關系、導數與函數最值的關系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數與方程的思想.18、（1）可以用線性回歸模型擬合與的關系；（2），預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【解析】

（1）根據已知數據，利用公式求得，再根據的值越大說明它們的線性相關性越高來判斷.（2）由（1）的相關數據，求得，，寫出回歸方程，然后將代入回歸方程求解.【詳解】（1）由已知數據得，，，所以，，所以.因為與的相關近似為0.99，說明它們的線性相關性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由（1）得，，，所以，關于的回歸方程為：，2月10日，即代入回歸方程得：.所以預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【點睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）【解析】

分析：(1)先構造函數，再求導函數，根據導函數不大于零得函數單調遞減，最后根據單調性證得不等式;(2)研究零點，等價研究的零點，先求導數：，這里產生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當時，，沒有零點；當時，先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當時，等價于．設函數，則．當時，，所以在單調遞減．而，故當時，，即．（2）設函數．在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．（i）當時，，沒有零點；（ii）當時，．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點；②若，即，在只有一個零點；③若，即，由于，所以在有一個零點，由（1）知，當時，，所以．故在有一個零點，因此在有兩個零點．綜上，在只有一個零點時，．點睛：利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，可得關于的一元二次方程，設出的坐標，分別求出直線與直線的方程，從而求得兩點的縱坐標，利用根與系數關系可化簡