第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市榮昌中學高二（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列導數運算正確的是(

)A.(2x2+3)′=4x+3 B.(cosπ32.已知f(x)是定義在R上的函數，且f(2)=2，f′(x)>1，則f(x)>x的解集是(

)A.(0,2) B.(?2,0)∪(0,2)

C.(?∞,?2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)3.已知等比數列{an}的公比為q，前n(n∈N?)項和為SnA.q=2 B.q=12 C.q=?2 4.已知y=x?1與曲線y=ln(x?a)相切，則a的值為(

)A.?1 B.0 C.1 D.25.若邊長為整數的正方形的四個頂點均在橢圓C：x2m2+yA.2 B.263 C.26.若函數f(x)=x+(x2?ax)lnx的極值點是1，則f′(2)=A.4ln2+1 B.2ln2+1 C.2ln2 D.17.已知A(0,4)，雙曲線x24?y25=1的左、右焦點分別為F1，FA.5 B.7 C.9 D.118.利用所學數學知識解決新問題是我們學習數學的一個重要目的，同學們利用我們所學數學知識，探究函數f(x)=xx，x∈(0,+∞)，下列說法正確的是(

)A.f(x)有且只有一個極大值點

B.f(x)在(0,1e)上單調遞增

C.存在實數a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=?x3+3x+1，則A.f(x)有三個零點 B.f(x)有兩個極值點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線10.若直線y=kx?2與曲線y=?x2+6x?5恰有一個交點，則A.0 B.25 C.2 D.11.已知函數f(x)=alnx?ax+1(a∈R),g(x)=f(x)+32x2A.當a=1時，f(x)≤0在定義域上恒成立

B.若經過原點的直線與f(x)的圖象相切于點(3,f(3))，則a=1ln3?1

C.若g(x)在區間[32,4]上單調遞減，則a的取值范圍為[16,+∞)

D.若g(x)有兩個極值點x1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數f(x)=ex?12x2?ax是13.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在棱DD14.已知函數f(x)=|x2?4x?1|?x,x>0ex?1,x≤0，若方程f(x)=ax四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知各項均為正數的等差數列{an}的首項a1=1，a2，a4，a6+2成等比數列；

(1)求數列{an}的通項公式；16.(本小題15分)

已知函數f(x)=1+alnx?x(a∈R)．

(1)當a=2時，求f(x)的極值；

(2)討論f(x)的單調性．17.(本小題15分)

如圖，點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，∠ABC=60°，且BP⊥平面ABC，AB=2BP=4，CD=λCP(0<λ<1)

(1)求證：AC⊥BD；

(2)當λ為何值時，平面ACP與平面ABD夾角的余弦值為18.(本小題15分)

已知函數f(x)=xlnx．

(1)求函數f(x)的極值；

(2)求證：當0<x≤1時，2f(x)≥x2?1；

(3)若?(x)=x2?2t|1+f(x)19.(本小題17分)

已知f(x)是定義在Ⅰ上的函數，若對任意x∈I，f(x)≥0恒成立，則稱f(x)為Ⅰ上的非負函數．

(1)判斷f(x)=x?elnx是否為(0,+∞)上的非負函數，并說明理由．

(2)已知n為正整數，g(x)=nx?alnx(a>0)為(0,+∞)上的非負函數，記a的最大值為an，證明：{an}為等差數列．

(3)已知n≥2且n∈N?，函數?(x)=nxx參考答案1.C

2.D

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.ABC

10.BD

11.ACD

12.(?∞,1]

13.414.(0,1)∪(1,5)

15.解：(1)設等差數列{an}的公差為d(d>0)，

∵a2，a4，a6+2成等比數列，

∴a42=a2(a6+2)，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，

整理得：2d2?d?a1=0，

又∵a1=1，∴2d2?d?1=016.解：(1)當a=2時，f(x)=1+2lnx?x，x∈(0,+∞)，

則f′(x)=2x?1=2?xx，

令f′(x)>0，則0<x<2，∴f(x)在(0,2)上單調遞增，

令f′(x)<0，則x>2，∴f(x)在(2,+∞)上單調遞減，

故當x=2時，f(x)有極大值為f(2)=2ln2?1，無極小值；

(2)f′(x)=ax?1=a?xx，

當a≤0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減；

當a>0時，令f′(x)=0，則x=a，

則當x∈(0,a)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x∈(a,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

綜上所述，當a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調遞減；

17.解：(1)證明：由BP⊥平面ABC，AC?平面ABC，則BP⊥AC，

又點C在以AB為直徑的半圓的圓周上，則BC⊥AC，

由BP∩BC=B且都在面PBC內，則AC⊥面PBC，

由BD?面PBC，故AC⊥BD；

(2)若O為AB的中點，即為半圓的圓心，作Oz⊥面ABC，在面ABC內作Ox⊥AB，

由∠ABC=60°，AB=2BP=4，則BC=2,AC=3，

故可構建如下圖示的空間直角坐標系O?xyz，

則A(0,?2,0),B(0,2,0),C(3,1,0),P(0,2,2)，

由CD=λCP(0<λ<1)，故CD=(?3λ,λ,2λ)，可得D(3?3λ,λ+1,2λ)，

所以AD=(3?3λ,λ+3,2λ)，AB=(0,4,0)，AC=(3,3,0)，

若m=(x,y,z)，n=(a,b,c)分別為平面ACD、平面ABD的一個法向量，

則m⊥ADm⊥AC，則m?AD18.解：(1)f′(x)=lnx+1(x>0)，令f′(x)=0，得x=e?1，

當0<x<e?1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當x>e?1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

所以f(x)的極小值為f(e?1)=?e?1，無極大值；

(2)證明：原不等式等價于：0<x≤1，2xlnx≥x2?1，

即0<x≤1，2xlnx?x2+1≥0，

令g(x)=2xlnx?x2+1，(0<x≤1)，下證：g(x)≥0，

則g′(x)=2lnx+2?2x，令φx=g′(x)=2lnx+2?2x，

φ′(x)=2x?2=2(1?x)x≥0，當且僅當x=1時等號成立，

所以g′(x)在0,1上單調遞增，g′(x)≤g′(1)=0，當且僅當x=1時等號成立，

所以g(x)在0,1上單調遞減，g(x)≥g(1)=0，即原不等式成立；

(3)等價于?(x)=x2?2t|1+lnx|(0<t<1)的零點個數問題：

①當0<x<e?1時，?(x)=x2+2t(1+lnx)，顯然?(x)在(0,e?1)上單調遞增，

又?(0)→?∞，?(e?1)=e2>0，所以?(x)在(0,e?1)上總有唯一的零點；

②當x>e?1時，?(x)=x2?2t(1+lnx)，

則?′(x)=x2?2t(1+lnx)=2x?2tx=2(x+t)(x?t)x，

(Ⅰ)若0<t≤e?2，則?′(x)>0在(e?1,+∞)上恒成立，?(x)在(e?1,+∞)上單調遞增，

?(x)>?(e?1)=e?2>0，?(x)在(e?1,+∞)上無零點；19.解：f(x)是定義在Ⅰ上的函數，若對任意x∈I，f(x)≥0恒成立，則稱f(x)為Ⅰ上的非負函數．

(1)f(x)是(0,+∞)上的非負函數，理由如下：

因為f(x)=x?elnx，x>0，所以f′(x)=1?ex=x?ex．

當x∈(0,e)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(e,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

則f(x)≥f(e)=0，故f(x)是(0,+∞)上的非負函數．

(2)由g(x)=nx?alnx(a>0)，x>0，得g′(x)=n?ax=nx?ax．

當x∈(0,an)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，當x∈(an,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

則g(x)≥g(an)=a?alnan．

因為g(x)為(0,+∞)上的非負函數，所以a?alnan≥0