2024年遼寧省沈陽市渾南區(qū)零模后數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷

一.選擇題（共10小題，共30分）

1.2023年第31屆世界水日宣傳語為：珍惜每滴清水，擁有美好明天.世界水日提醒我們節(jié)約用水要從生

活中的點點滴滴做起.小麗將節(jié)約用水3立方米記作+3立方米，那么浪費用水2立方米記作（）

A.-2立方米B.+2立方米C.-3立方米D.+3立方米

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)，熟練掌握相反意義量的定義是解本題的關(guān)鍵.利用相反意義量的定義判斷

即可.

【詳解】解：如果節(jié)約用水3立方米記作+3立方米，那么浪費用水2立方米記作-2立方米.

故選：A

2.如圖所示的幾何體，從上面看得到的形狀圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】主視圖是從物體的正面看得到的視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖，俯視圖是從物體的

上面看得到的視圖.

【詳解】解：從上面看得到的形狀圖如下

故選：D.

【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提，畫三視圖時應(yīng)注意“長對

正，寬相等、高平齊”.

3.下列銀行標(biāo)志圖片中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

人⑨B。

【答案】B

【解析】

【分析】由題意根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進(jìn)行依次判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對

稱軸折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

4.下列運算正確的是()

2365

A.a-a=aB.(r)=a

C.(-2「y=-D.a3-i-a~-a

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了同底數(shù)幕相乘，相除、幕乘方，積的乘方，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行逐項分析，即可作

答.

【詳解】解：A、a2-a3=a5^a(\故該選項是錯誤的；

B、(a2)3=a2x3=a6^a5,故該選項是錯誤的；

C、(-2?)3=-8A3^-2?3,故該選項是錯誤的；

D、故該選項是正確的；

故選：D

5.關(guān)于x的方程尤2—6x+左=0有兩個相等的實數(shù)根，則上的值為()

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【解析】

【分析】利用一元二次方程的根的判別式即可得.

【詳解】由題意得：△=/—4ac=（—6）2—4左=0

解得：k=9

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，對于一般形式"2+法+。=0（。*0）有：（1）當(dāng)

A=〃—4ac>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)A=Z?2-4ac=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）當(dāng)/=加-4ac<0,方程沒有實數(shù)根.

32

6.解分式方程一=——時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（）

xx-2

A.xB.x-2C.2）D.%（兀+2）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，先把分式方程化為整式方程，方程兩邊同時乘上最簡公分母，據(jù)此即可作

答.

【詳解】解：???一=——的最簡公分母是2）

xx-2'7

32

???解分式方程一=——時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是

xx-2

尤（九一2）,

故選：C

7.關(guān)于一次函數(shù)y=H+l的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（）

B.過點（0,1）

C.y隨尤的增大而減小D.當(dāng)x>0時，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.根據(jù)一次函數(shù)圖象

所經(jīng)過的象限判斷左的符號，根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的增減性.

【詳解】解：A、由函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，可以判定左＜0,原說法正確，不符合題意；

B、由函數(shù)解析式y(tǒng)=Ax+l知：該直線經(jīng)過點（0,1）,原說法正確，不符合題意；

C、由函數(shù)圖象知，＞隨x的增大而減小，原說法正確，不符合題意；

D、當(dāng)y=0時，%=由函數(shù)圖象知，當(dāng)X〉—工時，y＜0,原說法錯誤，符合題意.

kk

故選：D.

8.“盈不足問題”作為我國數(shù)學(xué)的古典問題，在2000多年前的《九章算術(shù)》一書中就有很詳盡而深刻的

闡述.書中記載：今有人買雞，人出六，盈五；人出五，不足二.問人數(shù)、物價各幾何？意思是：有若干

人一起買雞，如果每人出6文錢，就多出5文錢；如果每人出5文錢，就相差2文錢.買雞的人數(shù)、雞的

價錢各是多少？若設(shè)雞的價錢是x文錢，根據(jù)題意列一元一次方程正確的是（）

x-5x+2x+5x-2x-5x+2x-5x+6

A.-------=--------B.-------=--------C.-------=--------D.-------=--------

65655652

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程的古代問題，設(shè)雞的價錢是x文錢，則根據(jù)“如果每人出6文錢，就多出

5文錢；如果每人出5文錢，就相差2文錢.”且人數(shù)不變，進(jìn)行列式，即可作答.

【詳解】解：依題意，：如果每人出6文錢，就多出5文錢；如果每人出5文錢，就相差2文錢.”且人

數(shù)不變，

.x+5_x-2

故選：B

9.如圖，A5C是等腰直角三角形，a//b.若Nl=125°,則N2的度數(shù)是（）

A30°B.35°C.40°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是角的和差運算，平行線的性質(zhì)，先證明N1=NABC+N2,從而可得答案.

【詳解】解：

AZ1=ZABC+Z2,

VZl=125°,ZABC=90°,

：.Z2=Z1-ZABC=35°,

故選B

10.如圖，在中，NC=90°,以8為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交A3,于點M,

N,再分別以M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線6P交AC于點。,

2

作。垂足為E，則下列結(jié)論不正確的是（）（）

A.BC=BEB.CD=DEC.BD=ADD.8。一定經(jīng)過AABC的

內(nèi)心

【答案】C

【解析】

【分析】由作圖知，BD平分NABC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DE,6D一定經(jīng)過的內(nèi)

心，故B不符合題意，故D不符合題意；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到3。=3后，故A不符合題意；無法證

明50=4）,故。符合題意.本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由作圖知，平分/ABC，

ZC=90°,DE.LAB,

:.CD=DE,BD一定經(jīng)過Rt/XABC的內(nèi)心，故B不符合題意，故D不符合題意；

在Rt.BCD與RtABED中，

CD=DE

BD=BD'

：.RtBCE^RtBED（HL）,

BC=BE,

故A不符合題意；無法證明=故C符合題意.

故選：C.

二.填空題（共5小題，共15分）

11.計算：26x4#=.

【答案】240

【解析】

【分析】本題考查二次根式的乘法，根據(jù)&?揚=而（。之0320）計算，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即

可.

【詳解】解：273x476=8718=24

故答案為：24&-

12.某學(xué)校在八年級開設(shè)了數(shù)學(xué)史、詩詞賞析、陶藝三門課程，若小波和小睿兩名同學(xué)每人隨機選擇其中一

門課程，則小波和小睿選到同一門課程的概率是.

【答案】:

3

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出"，再從中選出

符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目加，然后根據(jù)概率公式求出事件A或3的概率.先畫樹狀圖（數(shù)學(xué)史、詩詞賞

析、陶藝三門校本課程分別用A、3、C表示）展示所有9種可能的結(jié)果數(shù)，再找出小波和小睿選到同一課

程的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：設(shè)數(shù)學(xué)史、詩詞賞析、陶藝三門校本課程分別用A、8、C表示，

畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知，共有9種可能的結(jié)果數(shù)，其中小波和小睿選到同一課程的結(jié)果數(shù)為3,

31

.,?小波和小睿選到同一課程的概率=-=

93

故答案為：—.

3

13.在平面直角坐標(biāo)系中，4（2,3）,3（5,1）,現(xiàn)將A3平移后得到A?,且點A'與點B重合，則點5'的坐

標(biāo)是.

【答案】（&-1）

【解析】

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???將A3平移后得到A2',且點A'與點8重合，

???將A3向右平移3個單位，向下平移2個單位到A'B',

，點9的坐標(biāo)為（5+3,1—2）,

即6'（8,-1）.

故答案為：（8,—1）.

【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握坐標(biāo)平移的特點，右加左減，上加下減.

14.如圖，直線y=2x—1與直線y=Ax+儀左NO）相交于點尸（2,3）.根據(jù)圖象可知，關(guān)于x的不等式

2x—l>kx+b的角星集是.

【答案】x>2

【解析】

【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式.以兩函數(shù)圖象交點為分界，直線y=Ax+次左。0）在

直線y=2x—l的下方時，x>2.

【詳解】解：根據(jù)圖象可得：不等式2x—1>丘+》的解集為：尤>2,

故答案為：x>2.

15.如圖，已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90,直角/EPP頂點P是2C的中點，兩邊PE、PF分別交

AB,AC于點￡、F,給出以下4個結(jié)論：?AE=CF；②是等腰直角三角形；③S四邊形AEP產(chǎn)

2

@EF=AP.當(dāng)NE//在△ABC內(nèi)部繞頂點尸旋轉(zhuǎn)時（點E不與AB重合），上述結(jié)論始終成立的是

A

BpC

【答案】①②③

【解析】

【分析】由題意可證尸尸，可得：?AE=CF,②尸是等腰直角三角形，③S四邊彩AEPL

-SAABC,即成立的為①②③.

2

【詳解】解：NA4c=90,點尸是BC的中點，

：.AP=BP=CP,ZB=ZC=ZBAP=ZB\C=45°,AP±BC,S^APC=-S^ABC,

2

,：ZAPF+ZCPF=90°,ZAPF+ZAPE=9Q°,

：.ZAPE=ZCPF且AP=PC,ZC=ZBAP=45°,

/.AAEP^ACFP(ASA),

：.AE=CF,PF=PE,SAAEkSACFP,ZAEP=ZCPF,

...△PEP是等腰直角三角形，S^APC=SW^AEPF.

,1

??S四邊形AEP產(chǎn)一SAABC,

2

故①②③正確，

尸是定值，隨PF的變化而變化，只有當(dāng)PFLAC時，EF=AP,

，④不正確，

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

三.解答題(共8小題，共75分)

16.(1)計算：一x(-2)3；

4。).2〃+2

(2)化簡：〃-1+

ci—lj/—2〃+1

11

【答案】(1)11；(2)-a92——

22

【解析】

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，分式的混合計算:

(1)按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加法的運算順序求解即可;

(2)根據(jù)分式的混合計算法則求解即可.

【詳解】解：(1)原式=—1+5x(—3)x(—8)

2（?+1）

Q-12(a+1)

121

=—a——.

22

17.哈市江雁運動品商店決定購進(jìn)A、B兩種品牌的運動器材.經(jīng)預(yù)算知，若購進(jìn)A品牌運動器材5套，B

品牌運動器材6套，則需950元；若購進(jìn)A品牌運動器材3套，B品牌運動器材2套，則需450元.

(1)求A、B兩種品牌的運動器材每套的進(jìn)價各為多少元？

(2)根據(jù)市場需求，江雁運動商店購進(jìn)B品牌的數(shù)量比購進(jìn)A品牌的數(shù)量的2倍多4套，銷售1套A品

牌運動器材的價格為130元，銷售1套B品牌運動器材的價格為95元，若這批運動器材全部售出后，利

潤不少于1200元.求A種品牌運動器材至少要進(jìn)多少套？

【答案】(1)A,B兩種品牌進(jìn)價分別為100元，75元；(2)16套.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“購進(jìn)A品牌運動器材5套，B品牌運動器材6套，需950元；購進(jìn)A品牌運動器材3

套，B品牌運動器材2套，需450元”，建立二元一次方程組求解即可；

(2)設(shè)A種品牌運動器材購進(jìn)機套，則B種品牌運動器材購進(jìn)(2〃葉4)套，根據(jù)“總利潤=單套利潤x數(shù)量”

結(jié)合總利潤不少于1200元，建立一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)設(shè)A種品牌運動器材每套的進(jìn)價為x元，B種品牌運動器材每套的進(jìn)價為y元，

5x+6y=950

依題意，得：

3x+2y=450

x=100

解得：＜

y=75

答：A種品牌的運動器材每套的進(jìn)價為100元，B種品牌的運動器材每套的進(jìn)價為75元；

(2)設(shè)A種品牌運動器材購進(jìn)機套，則B種品牌運動器材購進(jìn)⑵"+4)套，

依題意，得：(130-100)m+(95-75)(2m+4)>l200,

解得：論16,

A種品牌運動器材至少要進(jìn)16套.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

18.全球工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)大會永久會址落戶沈陽.為了讓學(xué)生了解工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)相關(guān)知識，某校準(zhǔn)備開展“工業(yè)互

聯(lián)網(wǎng)”主題日活動，聘請專家為學(xué)生做五個領(lǐng)域的專題報告：

4.數(shù)字?jǐn)伾籅.人工智能；C.應(yīng)用5G；D.工業(yè)機器人；E.區(qū)塊鏈.為了解學(xué)生的研學(xué)意向，在隨機

抽取的部分學(xué)生中下發(fā)如圖所示的調(diào)查問卷，所有問卷全部收回且有效，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成兩幅不完整

的統(tǒng)計圖.

“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”主題日學(xué)生研學(xué)意向調(diào)查問卷

請在下列選項中選擇您的研學(xué)意向，并在其后“口”內(nèi)打“(每名同學(xué)必選且只能選

擇其中一項)，非常感謝您的合作.

A.數(shù)字?jǐn)伾隰奕斯ぶ悄芸贑.應(yīng)用5G□￡>.工業(yè)機器人口￡區(qū)塊鏈口

“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”主題日學(xué)生研學(xué)意向調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計圖

請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信總，解答下列問題：

(1)求本次調(diào)查所抽取的學(xué)生人數(shù)，并直接補全條形統(tǒng)計圖；

(2)求扇形統(tǒng)計圖中領(lǐng)域“8”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；

(3)學(xué)校有600名學(xué)生參加本次活動，地點安排在兩個多功能廳，每場報告時間為90分鐘.由下面的活

動日程表可知，A和。兩場報告時間與場地已經(jīng)確定.在確保聽取報告的每名同學(xué)都有座位的情況下，請

你合理安排8,D,E三場報告，補全此次活動日程表(寫出一種方案即可)，并說明理由.

工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”主題日活動日程表

加煎邈J數(shù)）1號多功能廳2號多功能廳

時間（200座）（100座）

8:00-9:30A

10:00-11:30C

13:00-14:30設(shè)備檢修暫停使用

【答案】（1）40人，統(tǒng)計圖見解析

(2)54°

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖，用A領(lǐng)域人數(shù)除以占比即可得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得。的人數(shù)，從而補全條形

統(tǒng)計圖;

（2）根據(jù)領(lǐng)域"B”的占比乘以360°即可求解;

（3）根據(jù)樣本估計總體，分別求得5。,E的人數(shù)，進(jìn)而根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可求解.

【小問1詳解】

解：總?cè)藬?shù)為4:10%=40（人）

。的人數(shù)為：40-4-6-10-8=12（人）

【小問2詳解】

解：扇形統(tǒng)計圖中領(lǐng)域“B”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為色x360。=54。

40

【小問3詳解】

解：3的人數(shù)有：600x￡=90（人）

40

。的人數(shù)有：600x—=180（人）

40

Q

E的人數(shù)有：600X—=120（人）

40

?/90<100,100<120<180<200

場次安排2號多功能廳，。，石安排在1號多功能廳

補全此次活動日程表如圖所示,

“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”主題日活動日程表

1號多功

點（座位2號多功能

能廳

數(shù)）廳

（200

時間、、、（100座）

座）

8:00-9:30DA

10:00-11:30CB

設(shè)備檢修暫

13:00-14:30E

停使用

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合運用，樣本估計總體，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

19.某公司有A型產(chǎn)品40件，3型產(chǎn)品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30

件給乙店，且都能賣完，兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤（元）如下表:

A型利潤3型利潤

甲店200170

乙店160150

（1）設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件，貝

①分配給乙店的A型產(chǎn)品件;

②分配給乙店的3型產(chǎn)品件.

(2)這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤為W(元)，求W關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并求出X的取值范圍;

(3)若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設(shè)計出來.

【答案】⑴①40-%,②x—10;(2)W=20x+16800(10<x<40)；(3)共三種方案，見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)A型、3型產(chǎn)品的數(shù)量關(guān)系就可以分別表示出甲店8型產(chǎn)品的件數(shù)，乙店A型產(chǎn)品的件數(shù)

和8型產(chǎn)品的件數(shù).

(2)根據(jù)所有產(chǎn)品數(shù)量及所給產(chǎn)品數(shù)量分別得到甲店3型商品的數(shù)量，乙店A型商品的數(shù)量，乙店8

型商品的數(shù)量，那么總利潤等于每件相應(yīng)商品的利潤x相應(yīng)件數(shù)之和；

(3)讓(2)中的代數(shù)式..17560,結(jié)合(1)中自變量的取值可得相應(yīng)的分配方案.

【詳解】(1)(1)設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件，分配給乙店的A型產(chǎn)品(40—%)件，

配給甲店8型產(chǎn)品(70—%)件，

則有分配給乙店B型產(chǎn)品=60-(70-尤)=(%-10)件；

故答案為①40—%,②九—10.

(2)(2)由題意，得

W=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)

W=20x+16800.

x..0

70—x..0

40—x..0

x—10..0

解得:1?40.

W=20%+16800(10<x<40)

(3)由題意可得：20尤+16800..17560,

解得X..38,

又?.X,40,

.-.38M40,

??.x取38,39,40,有三種方案.分別為：

方案一方案二方案三

產(chǎn)品型號ABABAB

甲店383239314030

乙店228129030

【點睛】此題主要考查了利用一次函數(shù)的實際應(yīng)用問題與不等式的求解方法.此題難度適中，解題的關(guān)

鍵是理解題意，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.

20.市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物

圖，圖②是其示意圖，其中A3、CD都與地面/平行，車輪半徑為32cm,ZBCD=64°,

BC=61cm,坐墊E與點B的距離3E為15cm.(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.90,

cos64°?0.44,tan64°?2.05)

(1)求坐墊E到地面的距離；

(2)根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適.小明的腿長約為

80cm,現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E',求EE'的長.

【答案】(1)坐墊E到地面的距離約為100.4cm

(2)EE的長約為4.9cm

【解析】

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)建直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)

的定義.

(1)通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解即可；

(2)根據(jù)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，由小明的腿長約為80cm,求出3E',進(jìn)而求出

即可.

【小問1詳解】

如圖，過點石作項1，8,垂足為

根據(jù)題意可知，CF=32cm,BC=61cm,BE=15cm,

在Rt.EQW中，

EM=EC?sinZBCM?(61+15)x0.90=68.4(cm),

所以坐墊E到地面的距離為EM+CF=68.4+32?100.4（cm）,

答：坐墊￡到地面的距離約為100.4cm；

【小問2詳解】

如圖，由題意得，當(dāng)￡'"'=80x0.8=64cm時，人騎行最舒服,

在RtEar中，

CE'=—-=64x71.1（cm）,

sinZE'CM'sin640'7

所以EE'=CE—CE'=61+15—71.b4.9（cm）,

答：EE'的長約為4.9cm.

圖②

21.如圖，在ABC中，AB=AC,以A3為直徑的：。交AC于點交BC于點E.

（2）若AD=4,DE=-^—,求tanNAED的值.

2

4

【答案】（1）見解析（2）tanZAED=-

3

【解析】

【分析】（1）由神為（。的直徑得AELBC,由三線合一得NR4E=NC4E,然后根據(jù)圓周角定理即可

證明結(jié)論成立；

（2）連接BD，設(shè)。C=x,則AB=AC=4+x,通過證明.。）石口_。64求出x的值，根據(jù)勾股定理求

出班）的長，然后根據(jù)正切的定義求解即可.

【小問1詳解】

:AB為：。的直徑,

，ZA￡B=90°,

即AE±BC,

又：AB=AC,

ZBAE=NCAE,

DE=BE,

:?DE=BE；

【小問2詳解】

連接6D，

設(shè)DC=x,則AB=AC=4+x,

VA,D、E、2四點共圓，

/.ZADE+ZABE=180°,

而ZADE+/CDE=180°,

:.ZABE=NCDE,

V/C為公共角，

:._CDEs_CBA,

.DE_CD

"AB-CB；

：43為《。的直徑，

NCOS=90°,

由（1）知CE=BE,

???CB=2DE=V10，

A/10

2=，

4+x一回

解得：苞=1,%=-5（舍去）,

?**AB=4+1=5,

?'-BD二A/AB2-AD2=3,

,/ZAED=ZABD,

4

tanZAED=tanZABD=—.

3

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，以及銳角三角函數(shù)等知識，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段長度是解題的關(guān)鍵.

22.【發(fā)現(xiàn)問題】

某公園在一個扇形草坪OEF的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子Q4,在A處安裝一個自動噴水裝

置，噴頭向外噴水，愛思考的小騰發(fā)現(xiàn)噴出的水流呈現(xiàn)出拋物線形狀.

【提出問題】

噴出的水距地面的高度與噴出的水與池中心的水平距鹵池之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

【分析問題】

小騰測出連噴頭在內(nèi)柱高3m,噴出的水流在與。點的水平距離4m處達(dá)到最高點2,點8距離地面

9

2m.于是小騰以Q4所在直線為y軸，垂直于Q4的地平線為x軸，點。為坐標(biāo)原點建立如圖1所示的平

面直角坐標(biāo)系，根據(jù)測量結(jié)果得到點A、點B的坐標(biāo)，從而得到y(tǒng)與尤的函數(shù)關(guān)系式.

【解決問題】

(1)如圖1,在建立平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為水流的最高點8的坐標(biāo)為(4,2),求

拋物線水流對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)噴頭繞立柱旋轉(zhuǎn)120。時，這個草坪剛好被水覆蓋，求扇形草坪的面積.(結(jié)果用含乃的式子表

示)

(3)現(xiàn)要在扇形OEF內(nèi)的一塊三角形區(qū)域地塊_0跖中建造一個矩形花壇如圖2的設(shè)計方案

是使G,〃分別在OFh,MN在EF上,設(shè)MN=2xm,當(dāng)x為多少米時，矩形花壇的

面積最大？最大面積是多少平方米？

【答案】⑴"一上+扣a>0)；⑵*m2；(3)x=當(dāng),苧m2.

【解析】

【分析】本題考查了扇形面積計算、二次函數(shù)的實際應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，關(guān)

鍵是掌握扇形面積公式.

(1)設(shè)拋物線頂點式，代入A、B兩點，可得；

(2)令y=0,求得x,即為草坪半徑，用扇形面積公式可得；

(3)已知MN=2x,借助輔助線和相似三角形對應(yīng)邊成比例，表示出NG,求得矩形花壇的面

積表示，可得當(dāng)x為多少米時，矩形花壇的面積最大，最大面積是多少平方米.

【詳解】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x—丸)2+左，

水流的最高點B的坐標(biāo)為(4,2),

y=。(％-4)一+2,

(I9

代入A點坐標(biāo)，得］=a(O—4)+2,

解得：a=——?

18

410z

,7=一如一"=->+—x+—(x>0)；

991

(2)令y=。，則一--%2+—%+—=0,解得x=10或1=-2(舍去),

1899

.帕gm120^-xlO2100萬/\

扇形早坪的面積=----------丁(m2)

360

(3)解：由矩形GfCVCV可得，GH=MN=2x,NG=MH,ZMNG=ZNMH=90°,

過。作OP,跖，交EF于點P,

Q?EOF120?,OE=OF,

ZFEO=ZEFO=30°,

OE=10(m),

:.OP=OE-sinZPEO=5(m),EP=OE-cosZPEO=5百(m),

同理可得，F(xiàn)P=5^(m),

ZENG=1800-ZMNG=90°=ZEPO,/PEO=/NEG,

:.PEOsNEG,

NG_EN

PO~EP

MH_FM

同理可得,

PO—FP

NP=EP-EN,MP=FP=FM，

PM=PN,

MN=2x(m),

：.PM=PN=x(m),NG=MH=^5-^-x^

(m)^

矩形版VW花壇的面積=2xx5—與、

x【迪v+io；,

7I37

105A/3

X=~2時，矩形的禰V花壇的面積最大為生?平方米.

2xIF2

23.(1)數(shù)學(xué)張老師在數(shù)學(xué)活動課上出示了一道探究題:

如圖，在和，QBE中，AB=AC,DB=DE,B,C,E三點在同一直線上，A,。兩點在BE同

側(cè)，若A￡>BE,求證：CE=2AD.

張老師分別從問題的條件和結(jié)論出發(fā)分析這道探究題：

①如圖1,從條件出發(fā)：過A作交助于M，過D作DNLBE交BE于N,依據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)“三線合一”分析與之間的關(guān)系，可證得結(jié)論；

②如圖2,從結(jié)論出發(fā)：過。作。P〃AC交8E于尸，依據(jù)三角形全等的判定，證明PE=AD,可證得結(jié)

論；

請你運用其中一種方法，解決上述問題.

AD

(2)小明同學(xué)經(jīng)過對探究題及張老師分析方法的思考，提出以下問題：

如圖3,在ABC中，AB=AC,在DBE中,DB=DE,B,C,E三點在同一直線上，A,。兩點在

BE同側(cè)，且A,D,E三點在同一直線上，若AD=3垃'ZAEB=45°,的面積為7,求破的

長.

(3)在小明同學(xué)的問題得到解決后，張老師針對之前的解題思路提出了下面問題：

如圖4,在四邊形ABCD中，BC//AD,NB=2ND，點E為CD中點,連接AE,若AE_LAB，

AD=2AE=25獎=:，求CD的長.

AB3

皿

【答案】(1)見解析

(2)BE=8

(3)CD=6

【解析】

【分析】(1)解法1：證明四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；解法2：證明四邊形ACPD

為平行四邊形，得出AO=CP,DP^AC,再證明△ABBZXPDE■得出AD=?E，即可得出結(jié)論.

(2)過A作后交于過。作DNL3E交于N,過。作。P〃3石交A"于P,由等腰三角

形的性質(zhì)得出5c=25M,BE=2BN,從而得出CE=2MN,再證明RtAPD是等直角三角形，由

勾股定理求得P￡>=3,然后證明四邊形為矩形，求得CE=2PD=6,設(shè)==貝I

BC=2x,EM=AM=6+x,由三角形面積公式得S詆A"=gx2xx（6+x）=7,求解

得出％=1,即可求解.

（3）延長AB與。C延長線交于點尸，過A作AG,止交于G,過3作產(chǎn)交于“，根據(jù)等腰

三角形的與性質(zhì)得出口="=」。/，F(xiàn)G=DG=-DF,再根據(jù)CE=￡＞石=^CD,從而可證得

2