2024年甘肅省西北師大附中高三一模診斷考試試卷

數學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1.已知復數一3+2是方程2/+12x+q=°的一個根，則實數4的值是()

A.0B,8C.24D.26

【答案】D

【解析】

【分析】代入方程，即可得參數值.

【詳解】由復數-3+2i是方程2/+12x+q=0的一個根，

得2(—3+2i『+12(—3+2i)+q=0,

解得4=26,

故選：D.

2.設平面向量2=(1,3),⑸=2,且團一3|=而，則儂+見彳-3)=()

A.1B.14C.714D.V10

【答案】B

【解析】

【分析】根據2=(1,3),求出同，把團-B|=麗兩邊平方，可求得￡%=2,把所求展開即可求解.

【詳解】因為￡=(1,3),所以同=而，又⑸=2,

貝|］舊一3/=12—2展3+廬=14—2晨3=10,

所以Q=2，

則(25+B)(g_B)=2萬2_晨很_32

=20-2-4=14,

故選：B.

3.已知2sina-sin夕=G，2coscr—cos/?=1,貝ijcos(2a-2尸)=()

A1RV15r1n7

8448

【答案】D

【解析】

【分析】先對兩式進行平方，進而可求出cos(a-尸)的值，根據二倍角公式求出結論.

【詳解】解：因為2sina—sinQ=G，2costz—cos/?=1,

所以平方得，(2sina-sin')?=3,(2cosa-cos/?)2=1,

即4sin2a-4sinasin夕+sin2/?=3,4cos2a-4coscrcos^+cos2^=1，

兩式相加可得4—4sinasin萬一4cosacos尸+1=4,

即cosacosff+sinasin，=一,

4

故cos(a-0=:，

i7

cos(2a-2/)=2cos2(a-^)-l=2x—-1=--.

故選：D.

4.2023年的五一勞動節是疫情后的第一個小長假，公司籌備優秀員工假期免費旅游，除常見的五個旅游熱

門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，若每個部門從六個旅游地中選擇一個旅游地,

則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有()

A.1800B.1080C.720D.360

【答案】B

【解析】

【分析】分恰有2個部門所選的旅游地相同、四個部門所選的旅游地全不相同兩類，再應用分步計數及排

列、組合數求至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數.

【詳解】①恰有2個部門所選的旅游地相同，

第一步，先將選相同的2個部門取出，有C；=6種;

第二步，從6個旅游地中選出3個排序，有A：=120種，

根據分步計數原理可得，方法有6x120=720種；

②四個部門所選的旅游地都不相同的方法有A：=360種，

根據分類加法計數原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共

有720+360=1080種.

故選：B

22

5.設橢圓C：.+會=1（。〉6〉0）的半焦距為6離心率為e,已知圓。：/+/=02與。有四個公共

點，依次連接這四點組成一個正方形，則e?=（）

A.V3-1B.2-73C.V2-1D.2-V2

【答案】D

【解析】

rv2V2）

【分析】方法1：連接這四點組成一個正方形，根據橢圓和圓的對稱性知點在橢圓C上可得

（22J

答案;方法2：設圓O與橢圓C在第一象限的公共點為設C的左、右焦點為片,F,,\MFx\=m,\MF^=n,

利用勾股定理、橢圓定義可得答案.

【詳解】方法1：連接這四點組成一個正方形，根據橢圓和圓的對稱性知，

（血血、c2c2

點---C,--C在橢圓C上，則——-H=1,

I22J2a22b2

將b2=a2-c2代入并化簡得e4-4e2+2=0,

因為0<e<l,解得e?=2—

方法2：設圓O與橢圓C在第一象限的公共點為M設C的左、右焦點為片、月，|"4|=加，I"乙|=〃，

正/—

所以加2+=4c2，m+n=2a,mn=—ex2c=V2c2，

2

2222

又因為（加+”）2=m+n+2mn,所以4a?=4C+2A/2C，

2

c1

所以二=-----r=2—V2.

a24+2V2

故選：D.

6.以下四個命題，其中正確的個數有（）

①經驗回歸直線y=bx+a必過樣本中心點（%,歹）；

②在經驗回歸方程9=12-0.3x中，當變量x每增加一個單位時，變量/平均增加0.3個單位；

③由獨立性檢驗可知，有99%的把握認為物理成績與數學成績有關，某人數學成績優秀，則他有99%的可

能物理優秀；

④在一個2x2列聯表中，由計算得/=13.709,則有99.9%的把握確認這兩個變量間有關系（其中

P（/>10,828）=0.001）.

A.1個B.4個C.3個D.2個

【答案】D

【解析】

【分析】由線性回歸方程性質可判斷AB選項正誤；由獨立性檢驗定義可判斷CD選項正誤.

【詳解】A選項，線性回歸方程必過叵,歹），故①正確；

B選項，當變量x每增加一個單位時，變量夕平均減少03個單位，故②錯誤；

C選項，有99%的把握認為物理成績與數學成績有關，是指這種判斷出錯的概率為1%,并不指某人數學成

績優秀，則他有99%的可能物理優秀，故③錯誤；

D選項，由獨立性檢驗知識可知當/2=13.709,尸（力？210.828）=0.001時，可認為99.9%的把握確認這

兩個變量間有關系，故④正確.

故選：D

7.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，對任意的〃eN*,均有S5WS“成立，則”的值的取值范圍是

a6

()

A.(3,+00)B.[3,+00)

C.(-00,-3)U[3,+00)D.(-00,-3]o[3,+00)

【答案】B

【解析】

【分析】根據已知得出為<0,公差d〉0,然后返生=0和生W0(即。5<0)分類計算.

【詳解】由題意知$5是等差數列｛4｝的前〃項和中的最小值，必有為<0,公差d〉0,

若生=0,此時$4=$5，$4，$5是等差數列｛4｝的前〃項和中的最小值，

,,，八，，4名+7d3do

止匕時/=卬+4d=0,即q=—4d,貝！J-二---—3；

a6ax+5aa

若應<0,&〉°，此時S5是等差數列｛%｝的前〃項和中的最小值，

此時/=%+4d<0,。6=%+5d>0,即—5<--<—4,

d

幺+7

則」二^-----=-----=1+-----e(3,+QO),

a6%+5d%+5幺+5

dd

綜上可得：￡的取值范圍是[3,+8),

故選:B.

8.函數歹=log。x++2(。>0且awl)的圖象恒過定點化力),若加+〃=6-左且加>0,〃〉0,

則二9+I一的最小值為()

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】先由函數過定點求出定點坐標，再利用常值代換法，借助于基本不等式即可求得.

【詳解】由歹=log“x+6fT+2的圖象恒過定點化,6),可得左=1,b=3,則加+〃=2；

911,9I、，、I_9nm、I__/9n

因ra—i—二一(—i—)(m+n)=-(Z1IOH------1—)>—(Z10+2J——)=o8，

mn2mn2mn2，加n

當且僅當加=3〃時等號成立，

[m+n=23I

由《c,可解得加=一,〃=一,

m=3n22

3I9I

故當加=9,〃=不時，一+一的最小值為8.

22mn

故選：B.

二.多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分)

9.為深入學習宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽.其中高一

年級選派了10名同學參賽，且該10名同學的成績依次是:70,85,86,88,90,90,92,94,95了00.則下列說

法正確的有()

A.中位數為90,平均數為89

B.70%分位數為93

C.極差為30,標準差為58

D.去掉一個最低分和一個最高分，平均數變大，方差變小

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據平均數、方差、標準差、中位數和極差的概念，逐項進行計算驗證即可求解.

90+90

【詳解】對于A,由題意中位數為-------=90,

2

十g姐生70+85+86+88+90+90+92+94+95+100℃

平均數為--------------------------------------------=89,故A正確;

10

對于B,因為70%xl0=7,

92+94

所以70%分位數為------=93,故B正確;

2

對于C,極差為100-70=30,

方差$2=$[(70—89『+(85—89『+(86—89『+(88—89『+^90_89^

+(90-89)2+(92-89)2+(94-89)2+(95-89)2+(100-89)2]=58,

所以標準差s=屈，故C錯誤;

對于D,去掉一個最低分和一個最高分,

85+86+88+90+90+92+94+95

則平均數為=90>89,

8

22

方差為g］（85—90『+（86—90『+（88_9o）+（90-90）

+（90-90）2+（92-90）2+（94-90）2+（95-90）［=竺<58,

-4

所以去掉一個最低分和一個最高分，平均數變大，方差變小，故D正確.

故選：ABD.

10.如圖，正三棱柱ABC-A^Q的各棱長均為1,點尸是棱8c的中點，點又滿足

瓦法=2瓦二(4點R為3”的中點，點。是棱48上靠近點B的四等分點，貝I]()

A.三棱錐8-C/M的體積為定值

B.。河+8加的最小值為百+1

C.CM//平面尸0?

D.當2=一時，過點P,4A的平面截正三棱柱ABC-481G所得圖形的面積為組

26

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,利用/即可證明；對于B,將△481G沿&與展開與正方形28名4在

同一個平面內，則當8,M，G三點共線時，GM+8M取得最小值，即可求解；對于c,利用線面平行的判

斷定理即可證明；對于D,根據題中條件首先得到截面圖形，進一步求解計算即可.

【詳解】由題意可知/一GAM=VC,-ABM，設點G到平面ABM的距離為d,

易知平面481G，平面488/1,

所以點G到平面ABM的距離等于點G到線段4A的距離，

又4四=4G=gG=i,所以d=

2

V

所以/CAM=CABM=-S.ABM-d=-AB-AA.-d=-^^—=—^為定值，

故A正確；

將△4B1G沿4片展開與正方形ABB&在同一個平面內，

記此時與G對應的點為。2，

則當民知,。2三點共線時，GM+W取得最小值，即3G，

BC2=1BB；+B[C；-2BB[.瓦。2cos150。=也+G="產，

故C,M+BM的最小值為二十二,故B錯誤；

2

由點R,P分別為al/,BC的中點，得PRIICM,

又以u平面PQR,?平面PQR,

所以CM//平面尸。尺，故C正確；

連接4R并延長交AS】于點S,連接PS,

則過點P,A,R的平面截正三棱柱ABC-481G所得截面圖形為APAS,

因為4P_L,平面CBBg1平面ABC,

平面CBB&c平面ABC=BC,APu平面ABC,所以NP」平面CBB&,

又PSu平面CB81G，所以4PLPS,

取48的中點N,連接兒W,則點。為的中點，又點R為8M的中點，

再以QRUMN,QR=；MN,

當2=；時，點M為4片的中點，所以跖V//8S,

所以所以絲=及=』，

BSAB4

422[4~f5

所以BS=—QR=—MN=_,所以尸5=任+上=2,

333\946

1G55G

故S-s—X---x—=-----故D錯誤.

22624

故選：AC.

11.已知直線/：m—y—加+3=0(加eR)及圓C：(x—2)2+(>—4)2=3,貝1J()

A.直線/過定點

B.直線/截圓C所得弦長最小值為2

C.存在機,使得直線/與圓。相切

D.存在加，使得圓C關于直線/對稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，整理后得到方程組，求出直線所過定點；B選項，求出圓心和半徑，得到當/_LCM時,

直線/截圓。所得弦長最短，由垂徑定理求出弦長最小值；C選項，求出點M(l,3)在圓。內，故C錯誤;

D選項，當直線/過圓心。時，滿足題意，代入計算即可.

【詳解】A選項，由加+3=0n加(％—1)+(3—>)=0,

x-1=0fx=1/、

得《解得〈所以直線/過定點為(1,3),故A正確；

3-v=0[j=3

B選項，由圓的標準方程可得圓心為C(2,4),半徑外=百，直線/過的定點為M(l,3),

當/_LCM時，直線/截圓。所得弦長最短，因為CM=也，

則最短弦長為2"百『-(亞『=2,故B正確；

C選項，(1-2^+(3-4)2<3,故點"(1,3)在圓C內，所以直線/與圓C一定相交，故C錯誤;

D選項，當直線/過圓心C時，滿足題意，此時2加—4—加+3=0,解得加=1,

故D正確.

故選：ABD.

三.填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

logJX,X<1

12.若函數/（x）=5，則不等式/（x）〉2的解集為.

2x-\x>l

【答案】］o,；］u（2,+s）

【解析】

【分析】分x<l和xNl兩種情況，結合指、對數函數的單調性運算求解.

【詳解】因為/（x）〉2,則有：

1C1II

當x<l時，可得logi%>2=log】了，解得o<x<—；

5244

當時，可得2~〉2,則x—1〉1,解得x〉2；

綜上所述：不等式/（x）〉2的解集為［o,；］u（2,+s）.

故答案為：^0,-jU（2,+co）.

13.我國古代名著《張邱建算經》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈.欲斬末為方亭，令上方六尺.問：

斬高幾何？”大致意思是：“有一個正四棱錐的下底面邊長為二丈，高為三丈，現從上面截去一段，使之成為

正四棱臺，且正四棱臺的上底面邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正

四棱臺的體積為立方尺（注：1丈=10尺）

【答案】3892

【解析】

【分析】畫出圖形，由平行線段成比例求出正四棱臺的高，然后由棱臺體積公式直接計算即可求解.

【詳解】按如圖所示方式取截正四棱錐，

R

。分別為上、下底面正方形的中心，〃分別為的中點,

正四棱錐尸-Z8CD的下底邊長為二丈，即28=20尺,

高三丈，即PO=30尺；

截去一段后，得正四棱臺48co-45'。。'，且上底邊長為4夕=6尺,

,,,PO'PH'H'B'

所er以---=-----=-----,

POPHHB

X6

PC，30-00'1

所以由一匕=——可知，有

POHB301x20

2

解得。。，=21,

所以該正四棱臺的體積是憶=gx21x(2()2+20x6+6?)=3892(立方尺).

故答案為：3892.

14.已知函數/(x)=cos［①x+；［①〉0)在區間［0,可上有且僅有3個對稱中心，給出下列四個結論:

27r

①。的值可能是3；②/(x)的最小正周期可能是

JT3冗

③/(X)在區間0,—上單調遞減；④/(X)圖象的對稱軸可能是x=—.

168

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

57rit7Ti

【分析】由題意，結合角的范圍可得——4。〃+—<——，求出。的范圍可判斷①，利用三角函數的周期公

242

式可判斷②，利用三角函數的性質可判斷③④.

【詳解】函數/(x)=cos|ft>x+：卜0〉0),

兀兀兀

XG[0,兀],/.COX+—E(D7T+—

444

函數/(%)在區間［0,兀］上有且僅有3個對稱中心,

則：71771

371+—<——，

42

913

,即Q的取值范圍是

44

而--

44,,故①正確;

周期7=",913

，由G)￡一,--

CD44

4487i8兀

得一￡:.Te

?5

0)139'139

2兀

\/(x)的最小正周期可能是,故②正確;

3

兀兀。兀兀

,/XG0,—,/.GX+一￡一，---1

1644164

913CDTI7125兀29兀

CD€——+—e

45T1646464

-29兀7i

又"——<-,

642

兀

\/(x)在區間0,—上單調遞減，故③正確;

16

JThr--

當GX+—二指I,即4,

4x=

co

144

XV-G

CD13'9'

7i4kji兀44兀

xe一百十瓦廣,+丁，比eZ,

37t3兀

當左=1時，xe

13'9

當左=2時,,故④不正確.

故答案為：①②③.

四.解答題(本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

1G

15.已知函數/(x)=耳一sin?<yx+《-sin2<yx,(0〉0)的最小正周期為4兀

(1)求。的值，并寫出/(x)的對稱軸方程;

⑵在V48C中角4瓦。的對邊分別是ac滿足(2a—c)cosB=b-cosC,求函數/(/)的取值范圍.

I2兀

【答案】(1)3=—,x----F2kli,k￡Z

43

(2)r1

【解析】

【分析】(1)利用三角函數的恒等變換化簡函數〃x)=sin(2ox+§,再根據周期求出。的值，利用整體法即

6

可求解對稱軸.

(2)把已知的等式變形并利用正弦定理可得COS5=L,故8=?，故/(/)=sin(1N+B),0<N<M，根據

23263

正弦函數的定義域和值域求出/(/)的取值范圍.

【小問1詳解】

216.c1-cos2cox

f(x)=；—sincox+2

—sin2?x=-+—sin2ft?x-sin?x一_b——sm2JCDX--------------------

222222

=—sin2?x+-cos2rux=sin(20x+3.

22

2K1

VT=—=4兀,：,co=~.

2a)4

故"x)=sin(；x+6

]jrjr27r

令一%+—=—+癡,無eZ,解得x=----\-2kTi.k€Z,

2623

2兀

故對稱軸方程為：x=-^+2kTi,keZ

【小問2詳解】

由(2。—C)COSB=b?COS。得(2sinZ-sinC)cos5=sin5cosC,

2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(3+C)=sinA.

sin4w0,JcosB=—,3c（0,兀），，8=g.

23

“八兀、八A兀

f（4）—si.n/（—l/AH—）,0v4<2—,..T—l<—AI—Tl<T一l,

2636262

；<sin（g+*<l,/（N）e1萬」]

16.在V4SC中，內角4,B,C對應的邊分別是a,b,c,J!LbcosC+ccosB=3acosA.

（1）求cosA；

（2）若V4BC的面積是a=2,求V4BC的周長.

【答案】（1）-

3

（2）2G+2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結合兩角和的正弦公式求解；

（2）利用面積公式、余弦定理運算求解.

【小問1詳解】

由bcosC+ccosB=3acosA,可得到sinBcosC+sinCcos5=3sin/cosA,

即sin（5+C）=3sin4cosA.

因為5+C=7i—/,所以sin（5+C）=sin/w0,故cosZ=g.

【小問2詳解】

io

由cosA=—,可得sinA=-----，

33

因為S《BC=L'csinZ,所以后=，6csinZ,貝!]be=3.

△ZfZSL22

272

由余弦定理得/=加+。2-2/JCCOS/，即4=6?+C?—=（Z?+C）~~bc,

所以b+c=2G，故V45C的周長是a+b+c=2G+2.

17.如圖，在三棱錐尸—48。中，尸/，平面48C,PA=BC=2,AB=PC=也

p

（1）求點B到平面PNC的距離；

（2）設點￡為線段P8的中點，求二面角/-CE-5的正弦值.

【答案】（1）2；（2）土的.

10

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質，勾股定理及線面垂直的判定定理可得平面PC4,進而即得；

（2）利用坐標法，根據面面角的向量求法即得.

【小問1詳解】

因為平面48C,又48u平面，8Cu平面48C,

所以民上4

又尸/=2,48=石，由勾股定理得PB=百+（后=3，

又BC=2,PC=6PB=3,

所以+?。2=2^2,故

因為BC_LPC5CJ_24,「。。上4=「,「。,上4<=平面尸。4,

所以3C，平面PCA,則BC為點B到平面PAC的距離，

故點B到平面PAC的距離為2.

【小問2詳解】

在平面ABC內過點A作BC的平行線AF,則上4，AC,PA±AF,AC1AF,

以A為坐標原點，以ZC所在直線為x軸，N廠所在直線為V軸，/尸所在直線為z軸建立空間直角坐標系,

由勾股定理得：AC7PC?-PA?75-4=1，

則C(l,0,0),5(1,2,0),P(0,0?2),E[I，1,1

ZA

(1,0,0)0=(020),

設平面ACE的法向量為m=(xl,y1,z1'),

CE-m=Q--xi+Vi+zi=0

則《_，即｛z取％=1,則2]=—1,而=(0,1,—1),

AC-m=Q=0

設平面BCE的法向量為n=(x2,y2,z2)，

CE-n=O,—X)+%+z?=0-

則《即《2222，取々=2,則Z2=1.=(2,O,1),

BC-n=Q,■=0

mn-1Vio

所以cos麗，為二

\in\\n\72x7510

記二面角力—CE—5的大小為6,則sin『=Jl」=獨^

\1010

故二面角A-CE-B的正弦值為亞

10

v22=1伍〉0/〉0)的離心率為與,右頂點A到c的一條漸近線的距離為子

18.已知雙曲線C：JJ

a'

(1)求。的方程;

(2)是y軸上兩點，以。￡為直徑的圓M過點5(-3,0),若直線。Z與C的另一個交點為尸，直線

E4與。的另一個交點為。，試判斷直線與圓M的位置關系，并說明理由.

2

【答案】(1)土-/=1

4-

(2)直線也與圓M相交，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由題意列出關于見“c的方程，求解即可.

（2）設。（0,必）,磯0,%），由點8（—3,0）在圓上,得出%％=-9,由4。的坐標，得出直線/￡＞方程,

將直線方程與雙曲線。方程聯立，得P點坐標，同理可得。點坐標.從而得到直線也方程，通過直線產。

過定點N]],。],ND-NE＜0＞從而得出N點在圓M內，故直線尸。與圓M相交.

【小問1詳解】

因為。的離心率為發，所以｛a2，

2[a2+b2=c2

所以a=2b,漸近線方程x±2y=0,

因為點Z（a,0）到一條漸近線距離為木，所以:=平，解得。=2,6=1,

所以。的方程為土-「=1.

4-

【小問2詳解】

直線尸。與圓M相交，理由如下：

設￡?（0,必）,￡（0,%）,則麗=（3,必）,而=（3,%），

因為點B在以。￡為直徑的圓M上，所以

所以麗?麗=（3,凹卜（3,%）=9+為必=0,

即必必=一9,

1'2

消去X得，--1歹2=上，因為直線￡%,區4與。都有除A以外的公共點,

5）M

2%%+為2+2式5(1-靖/

令》=0得，x=

1-Ji41—弁21f22

即直線尸。經過定點N^,O].