2024-2025學年八年級下學期開學摸底考試卷

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無

效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.二十四節氣，是歷法中表示自然節律變化以及確立“十二月建”的特定節令，蘊含著悠久的文化內涵

和歷史積淀，請你用數學的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作

品，其中是軸對稱圖形的是（）

2.下列等式從左到右的變形是因式分解的是（)

222

A.x+3x=x（x+3）B.(%+y)(x-y)—x-y

C.，+2孫+『-1=（x+y）2-1D.6xy—3x*2y

3.下列計算正確的是（）

A.（J）B.a*a—a^C.a-2ra—aD.(3〃)2=6tz2

1

4.要使分式有意義，則X需滿足的條件是（）

A.xW2B.xW-2C.九W±2D.%W0

5.如圖，在四邊形ABC。中，AC為對角線，AB=DC,如果要證得△ABC與△CD4全等，那么可以添加

的條件是（）

A.AD//BCB.NB=NDC.NB=NACDD.ZACB=ZCAD=90°

6.如圖，在△ABC中，8。是AC邊上的高，CE是/ACB的平分線，BD,CE交于點F.若/AEC=

80°,NB尸C=128°,則NABC的度數是（）

7.如圖，為估計池塘岸邊A,2兩點的距離，小方同學在池塘的一側選取一點。，測得。4=14初，OB=

9m,則點A,B間的距離不可能是（）

A.5mB.10mC.15mD.20m

m_2

8.若關于x的方程Q-彳立1的解為負數，則根的取值范圍是（）

A.m<2B.m<3C.機<2且3?iWlD.m<3且

9.如圖，將AABC沿著DE翻折，使2點與夕點重合，若Nl+N2=80°,則的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

10.如圖，直線展/2表示一條河的兩岸，且現要在這條河上建一座橋，使得村莊A經橋過河到

村莊8的路程最短，現兩位同學提供了兩種設計方案，下列說法正確的是（）

將點A向上平移d得到4;連接AB交（于點M；②過點

②連接A3交于點③M作交于點

過點M作交辦于點N.AW即橋的位置.

N,即橋的位置.

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

如圖，若乙4=70°,ZACD=130°，則N2=

12.在平面直角坐標系中，若點P（2,n）與點。（m,-3）關于y軸對稱，則《?+〃=

13.分解因式：2（x-3）+x（3-尤）=.

14.如果整式J+妨匕+16”是一個完全平方式，那么常數上的值為.

15.分式X-212G的值為0,則x的值是.

16.如圖，ZB=ZC=90°,點E是8c的中點，OE平分/AOC,若/D4B=60°,CD=3,則AD的

長度為.

AB

三、解答題（本題共9小題，共72分。解答應寫成文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分4分）（12。4-8a3+4a2）+（2a）2.

包=1，

（本小題滿分4分）解方程：x-22-X

^~2）^~2-----

（本小題滿分6分）先化簡，再求值：a*--l—+1a'-2a+l,其中。=3.

20.（本小題滿分6分）已知：如圖，NB=/ADB=NADE,ZC=ZE.求證：AC^AE.

B

21.（本小題滿分8分）如圖，ZsABC三個頂點的坐標分別為A（1,1）,B（4,2）,C（3,4）.

（1）請畫出△ABC關于x軸對稱的△AiBCi；

（2）寫出△4與G各頂點坐標；

（3）試在x軸上求作一點P,使點P到A、B兩點的距離和最小，請標出P點,并寫出點P的坐

標

22.（本小題滿分10分）列方程解應用題：

港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，是被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁

大國走向橋梁強國的里程碑之作.開通后從香港到珠海的車程由原來的180千米縮短到50千米，港珠

澳大橋的設計時速比按原來路程行駛的平均時速多40千米，若開通后按設計時速行駛，行駛完全程時

J.

間僅為原來路程行駛完全程時間的百，求港珠澳大橋的設計時速是多少.

23.（本小題滿分10分）數學活動課上，老師準備了若干個如圖（1）的三種紙片.甲種紙片是邊長為a

的正方形，乙種紙片是邊長為人的正方形，丙種紙片是長為b、寬為。的長方形.

【觀察發現】

用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成如圖（2）的大正方形.觀察圖（2）的面積關

系，寫出正確的等式：.

【操作探究】

若要拼出一個面積為（a+b）（a+2b）的長方形，則需要甲種紙片張，乙種紙片張，

丙種紙片張.（所拼圖形不重疊無縫隙）

【拓展延伸】

兩個正方形ABC。、AEFG如圖（3）擺放，邊長分別為x,y,連接CE,DF.若，+丁=52,DG=2,

求圖中陰影部分的面積.

24.（本小題滿分12分）閱讀材料，并解決問題：

我們知道，分子比分母小的分數叫做“真分數”，分子大于或等于分母的分數，叫做“假分數”.類

似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，

我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”.如x+1,X+1這

3_2l_7_小（即塔帶

樣的分式就是假分式;再如GT,x；：+i這樣的分式就是真分式.假分數W可以化成

分數的形式，類似的,假分式也可以化為帶分式（整式與真分式的和或差）的形式.

Q=2x+2-5=2(x+l)q上

如：x+1x+1x+1x+1'x+1\

a"+3a'-1+4a“T4

再如：a^-1a^-1a2T1

解決問題:

（l）分式x+2是；（填“真分式”或“假分式”）

2a2+7

（2）將分式a2+1化成帶分式；

2a2+7

（3）當。為何值時，分式a'+l有最大值？最大值是多少？

25.（本小題滿分12分）在△A2C中，

（1）如圖①所示，如果NA=60°，NABC和么ACB的平分線相交于點P,那么N2PC

1

（2）如圖②所示，NABC和NAC。的平分線相交于點尸，試說明

（3）如圖③所示，NC2L（和NBCE的平分線相交于點尸，猜想/2PC與NA的關系并證明你的猜想.

2024-2025學年八年級下學期開學摸底考試卷

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無

效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.二十四節氣，是歷法中表示自然節律變化以及確立“十二月建”的特定節令，蘊含著悠久的文化內涵

和歷史積淀，請你用數學的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作

品，其中是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖

形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A,C,D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，

2選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所

以是軸對稱圖形.

故選：B.

2.下列等式從左到右的變形是因式分解的是（）

A.x'+'ix—x（尤+3）B.（x+y）（x-y）—x-y2

C.f+2孫+y2-1=（x+y）2-1D.6xj2=3x*2y2

【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解

因

式，據此進行判斷即可.

【解答】解：，+3x=x（x+3）符合因式分解的定義，則A符合題意；

（W）（x-y）是乘法運算，則2不符合題意；

2

，+2盯+『-1=(x+y)-1中等號右邊不是積的形式，則C不符合題意；

6x『=3x?2/中6孫?是單項式，則。不符合題意；

故選：A.

3.下列計算正確的是()

A/2、4_8n5_2_10c6.2_3n、2—乙2

A.\Cl)—Clo.(19CL-ClC..Cl~CL—ClD.\3d)—067

【分析】根據同底數塞的乘除法、哥的乘方與積的乘方法則進行解題即可.

【解答】解：4(/)4=。8,故該項正確，符合題意；

B、a'a=a,故該項不正確，不符合題意；

C、/+°2=04,故該項不正確，不符合題意；

D、(3a)2=9a2,故該項不正確，不符合題意；

故選:A.

]

4.要使分式x"-4有意義，則X需滿足的條件是()

A.xW2B.x#-2C.x#±2D.xWO

【分析】分式的分母不為零，即/-4W0.

【解答】解：由分式有意義的條件可知：尤2-4W0,

：.x^±2,

故選：C.

5.如圖，在四邊形ABC。中，AC為對角線，AB=DC,如果要證得△ABC與全等，那么可以添加

的條件是()

A.AD//BCB.NB=ND

C.ZB=ZACDD.ZACB=ZCAD=90°

【分析】對于選項4根據得/ACB=NCA。，由于AB=r)C,AC=CA,不

符

合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項B,由于AB=DC,AC=CA,NB=

ZD不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項C,由于AB=DC,AC=

CA,不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項D,根據

ZACB=ZCAD=90°得△ABC和△C/M均為直角三角形，由于AB=DC,AC=CA符合全等三角形

的判定條件，進而可對該選項進行判斷，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：對于選項A,

,JAD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

根據AB=DC,AC=CA,ZACB=ZCAD,不能判定△ABC與△CD4全等，

故選項A不符合題意；

對于選項B,

根據AB=￡)C,AC=CA,ZB=ZD,不能判定△ABC與△CZM全等，

故選項B不符合題意；

對于選項C,

根據AB=￡)C,AC=CA,ZB=ZACD,不能判定△ABC與△CZM全等，

故選項C不符合題意；

對于選項D,

?.,/ACB=/C4O=90°,

△ABC和△CZM均為直角三角形，

在RtAABC和RtACDA中,

fAB=DC

lAC=CA,

/.RtAABC^RtACDA(HL),

故選。符合題意，

故選：D.

6.如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，CE是NACB的平分線，BD,CE交于點F.若NAEC=

80°,ZBFC=128°,則/ABC的度數是()

A

A.28°B.38°C.42°D.62°

【分析】根據/BBC的度數以及BOLAC,可求出NACE度數，進而得出/ACS度數，再結合/AEC

度數，求出/A度數，最后利用三角形的內角和定理即可解題.

【解答】解：因為80是AC邊上的高，

所以/B￡>C=90°.

又NBFC=128°,

所以/ACE=128°-90°=38°,

又乙4EC=80°,

則乙4=62°.

又CE是/ACB的平分線，

所以NAC3=2NACE=76°.

故NABC=180°-62°-76°=42°.

故選：C.

【點評】本題考查角平分線的定義及三角形的內角和定理，利用外角求出/ACE的度數是解題的關

鍵.

7.如圖，為估計池塘岸邊A,2兩點的距離，小方同學在池塘的一側選取一點。，測得04=14機，0B=

9m,則點A,2間的距離不可能是（）

A.5mB.10mC.15mD.20m

【分析】三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，由此得到

5<AB<23,即可得到答案.

【解答】解：由三角形三邊關系定理得：14-9<AB<14+9,

：.5<AB<23,

/.A,B間的距離不可能是5%.

故選：A.

m2_

8.若關于x的方程斤一二無】的解為負數，則機的取值范圍是（）

A.m<2B.m<3C.相<2且D.m<3且

【分析】先銀分式方程求得解為x=m-3,再根據方程銀為負數和分式有意義條件列不等式求解即

可.

m_2

【解答】解：X+1X+1,m-2=x+l,x=m-3,

；原方程解為負數，

：?m-3<0,

??3+iwo,

-3+1WO,

??

.".m<3且

故選：D.

9.如圖，將△ABC沿著OE翻折，使3點與夕點重合，若Nl+N2=80°,則的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】根據翻折的性質可得/BEO=/8EO,ZBDE=ZB'DE,結合平角的定義可求解

ZBED+ZBDE的度數，再利用三角形的內角和定理可求解的度數.

【解答】解：由翻折可知：ZBED=ZB'ED,ZBDE=ZB'DE,

VZ1+ZBED+ZB'ED=1SO°,Z2+ZBDE+ZB'DE=180°,

AZl+2ZBED+Z2+2ZBDE=360°,

VZ1+Z2=8O°,

：.2ZBED+2ZBDE=2SQ°,

ZBED+ZBDE=140°,

VZBED+ZBDE+ZB=180°,

.?./B=180°-140°=40°.

故選：C.

10.如圖，直線11、/2表示一條河的兩岸，且現要在這條河上建一座橋，使得村莊A經橋過河到

村莊B的路程最短，現兩位同學提供了兩種設計方案，下列說法正確的是（）

方案二:

?H

MJ

?

將點A向上平移d得到A'；連接AB交/1于點M；②過點

②連接A'B交/1于點③

M作MNJJi，交/2于點

過點M作MNL/i，交2于點N.即橋的位置.

N,MN即橋的位置.

A.唯方案一可行B.唯方案二可行

C.方案一、二均可行D.方案一、二均不可行

【分析】因為河寬是確定的，要使村莊A經橋過河到村莊B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可

利用平移解決問題.

【解答】解：河寬是確定的，要使村莊A經橋過河到村莊2的路程最短，只要A7V+3M最短即可.

：44,垂直于河岸6，44'—d,

連接B4',與另一條河岸相交于作直線小

由平移的性質，知跖V〃A4'，且=d,MA'=NA,

根據“兩點之間線段最短"，BA'最短，即A7V+2M最短.

故方案一符合題意，

故選：A.

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)

11.如圖，若NA=70°,ZACD=130°，則60

D

【解答】解：,/ZA=70o,ZACD=130°,

：.ZB=130°-70°=60°.

故答案為：60.

12.在平面直角坐標系中，若點尸(2,〃)與點Q(m,-3)關于y軸對稱，則機+〃-5

【解答】解：,??點尸(2,〃)與點。5,-3)關于y軸對稱，

m--2,n—~3.

m+n—-2+(~3)—-5.

故答案為：-5.

13.分解因式：2(x-3)(3-x)—(x-3)(2-x).

【解答】解：2(x-3)+x(3-x)

=2(x-3)-x(x-3)

=(x-3)(2-x),

故答案為：(x-3)(2-x).

14.如果整式J+Z6+16川是一個完全平方式，那么常數％的值為±8.

【解答】解：a2+kab+\6b2=(〃±4b)2=a2±8aZH-16/?2,

.".kab=+Sab,

：.k=+S,

故答案為：±8.

x+2

15.分式x-2025的值為0,則X的值是-2.

【解答】解：由題可知，

x+2=0且x-2025W0,

解得x=-2.

故答案為：-2.

16.如圖，NB=/C=90°,點E是BC的中點，DE平分/ADC,若/D4B=60°CD=3,則AD的

長度為12.

【解答】解：延長DE、AB交于產,

VZABC=ZC=90°,

：.ZEBF=ZC=90°,

?.?點E是2C的中點，

：.BE=CE,

在和中，

2EBF=NC

■BE=CE

ZBEF=ZCED,

:.ABEF出ACED(SAS),

：.BF=CD=3,EF=ED,

?:CDaAB,ZDAB=60°,

AZADC=180°-/OAB=120°,

平分NAOC,

2

ZADE=2ZADC=60°,

ZF=ZDAF=ZADF=60°,

??ZEBF=90°,ZBEF=90°-ZF=30°,

:.ED=EF=2BF=6,

：.AD=DF=2ED=12,

故答案為：12.

三、解答題（本題共9小題，共72分。解答應寫成文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分4分）（12°4-8。3+4碓）4-（2a）2.

【解答】解：原式=（12a4-8a3+4a2）4-4G2

=3〃-2〃+1

3-X?I

18.（本小題滿分4分）解方程：x-22-x.

【解答】解：原方程去分母得：3-x=x-2+1,

解得：x=2,

檢驗：當x=2時，x-2=0,

則x=2是分式方程的增根，

故原方程無解

(警■”)子￥^-

19.(本小題滿分6分)先化簡，再求值：a"-la'-2a+l,其中°=3

(擎

【解答】解：a-1a-2a+l

2a+2+a“-l(a-1)”

=(a+1)(a~l),a(,a+1)

(a+1)”(a-1)”

=(a+1)(.a~l)?a(a+1)

aT

=a,

3-12

當。=3時，原式=3=3

20.(本小題滿分6分)已知：如圖，ZB=ZADB=ZADE,ZC=ZE.求證：AC=AE.

BD

【解答】證明：VZB=ZADB,：.AB=AD,

在△ABC和△AQE中

rZC=ZE

<ZB=ZADE

AB=AD,

,△ABC四AADE(AAS),

：.AC=AE

21.(本小題滿分8分)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),8(4,2),C(3,4).

(1)請畫出△ABC關于x軸對稱的△481G；

(2)寫出△AbBiCi各頂點坐標；

(3)試在x軸上求作一點P,使點P到A、B兩點的距離和最小，請標出尸點，并寫出點P的坐

標?

【解答】解：（1）如圖，△421。即為所求.

（2）由圖可得，Ai（1,-1）,Bi（4,-2）,Ci（3,-4）.

（3）如圖，連接42,交無軸于點尸，連接AP,

此時PA+PB=PAl+PB=AiB,為最小值，

則點P即為所求.

由圖可得，點P的坐標為（2,0）.

故答案為：（2,0）.

22.（本小題滿分10分）列方程解應用題：

港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，是被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁

大國走向橋梁強國的里程碑之作.開通后從香港到珠海的車程由原來的180千米縮短到50千米，港珠

澳大橋的設計時速比按原來路程行駛的平均時速多40千米，若開通后按設計時速行駛，行駛完全程時

間僅為原來路程行駛完全程時間的%,求港珠澳大橋的設計時速是多少.

【解答】解：設港珠澳大橋的設計時速是x千米/時，按原來路程行駛的平均時速是（x-40）千米/

時.

501180

依題意，得刀下二一如.

解方程，得尤=100.

經檢驗：x=100是原方程的解，且符合題意.

答：港珠澳大橋的設計時速是每小時100千米.

23.（本小題滿分10分）數學活動課上，老師準備了若干個如圖（1）的三種紙片.甲種紙片是邊長為a

的正方形，乙種紙片是邊長為b的正方形，丙種紙片是長為仄寬為。的長方形.

【觀察發現】

用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成如圖（2）的大正方形.觀察圖（2）的面積關

系,寫出正確的等式：.

【操作探究】

若要拼出一個面積為（a+b）（a+2b）的長方形，則需要甲種紙片張，乙種紙片張，

丙種紙片張.（所拼圖形不重疊無縫隙）

【拓展延伸】

兩個正方形ABC。、AEFG如圖(3)擺放，邊長分別為x,y,連接CE,DF.若f+『=52,DG=2,

求圖中陰影部分的面積.

【解答】解：【觀察發現】

觀察圖形可知：圖(2)的面積為：a~+b^+1ab,還可以表不為：(a+b)一

.?.正確的等式為：a+2ab+b1=(a+b)2,

故答案為：a+2ab+b1=(a+b)2；

【操作探究】

(a+b)(a+2b)

22

=a+2ab+ab+2b

o7

=a+3ab+2b,

?,?需要甲種紙片1張，乙種紙片2張，丙種紙片3張，

故答案為：1,2,3；

【拓展延伸】

DG=AD-AG=2,AD=x,AG=y,

??x~y2,

(x-y)2=4,

x-2xy=4f

52-2xy=4f

2孫=48,

xy=24,

(x+y)2=，+,+2孫=52+48=1。0,

...x+y=10或-10(不合題意，舍去)，

.??陰影部分的面積

x2-y2-4-x2y-yx(x-y)

(x+y)(x-y)-y~^x(x-y)

10X2-y-^-x*2

二2

=10X2-y-x

=10X2-(x+y)

=20-10

=10.

24.(本小題滿分12分)閱讀材料，并解決問題：

我們知道，分子比分母小的分數叫做“真分數”，分子大于或等于分母的分數，叫做“假分數”.類

似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，

xTJ

我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”.如:百，不！這

樣的分式就是假分式；再如告