重難點專題02立體幾何中的截面、交線問題

【題型歸納目錄】

題型一：截面作圖

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

題型三：截面切割幾何體的體積問題

題型四：球與截面問題

題型五：截面圖形的個數(shù)問題

題型六：平面截圓錐問題

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題

題型八：截面有關(guān)的空間角問題

題型九：交線問題

【方法技巧與總結(jié)】

解決立體幾何截面問題的解題策略.

1、坐標(biāo)法

所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，為解決立體幾何問

題增添了一種代數(shù)計算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點￡、F、G、〃共面，P為空間任意點，則有：

結(jié)論1：若西與麗不共線，那么麗的+〃麗；

結(jié)論2：屋=2而+〃而+〃兩(2+〃+〃=1).

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點位置、依次連接這些點，從而

得到過三點的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

【典型例題】

題型一：截面作圖

【例1】如圖在正方體48c2中，RQ是所在棱上的中點.

(1)求平面4P。與平面4BCD夾角的余弦值

(2)補(bǔ)全截面/尸。

【變式1-1］已知正方體N2C。-4月GQ的棱長為2,E,尸分別為N8,8c的中點,

(1)求異面直線4E與BF所成角；

(2)畫出過￡,F,A三點的截面，保留作圖痕跡;

【變式1-2］如圖所示，在長方體/BCD-48cA中，/8=5,8。=3,84=4,尸為矩形43￡2內(nèi)一點,

過點尸與棱8c作平面c.

（1）直接在圖中作出平面1截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證

明；

⑵設(shè)平面an平面43cA=/.若截面圖形的周長為16,求二面角/-/-B的余弦值.

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長問題

【例2】如圖，正方體中，E、尸分別是2C、上的中點，尸是4G上的動點.下列結(jié)

A.存在點P,使得EP〃平面448田

B.DBJEP

C.平面4GE截正方體所得截面為等腰梯形

D.平面4斤平面

【變式2-1］如圖，正方體/BCD-44GA的棱長為1，尸為BC的中點，。為線段CG上的動點，過點

/、P、0的平面截該正方體所得的截面記為S,給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)0<CQ<；時，S為四邊形；

②當(dāng)時，s為等腰梯形；

③當(dāng)C0=1時，S的面積為逅；

-2

31

④當(dāng)C0=W時，s與CD的交點R滿足。述=§.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

C.3D.4

【變式2-2】已知正方體/BCD-44G2的邊長為1,現(xiàn)有一個動平面a,且a〃平面4助，當(dāng)平面a截

此正方體所得截面邊數(shù)最多時，記此時的截面的面積為S,周長為/,則()

A.S不為定值，/為定值B.S為定值，/不為定值

C.s與/均為定值D.s與/均不為定值

題型三：截面切割幾何體的體積問題

【例3】在正四面體尸-4BC中，M為尸/邊的中點，過點M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面

半徑為七最小的截面半徑為％則￡=；若記該正四面體和其外接球的體積分別為匕和匕，則

匕--------

【變式3-1】一個球體被平面截下的一部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，

剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的體積/=］兀(3E-〃)〃2,其中R為球的半徑，〃為球缺的

高.如圖，若一個半徑為尺的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為善=2,則體積之比

匕

【變式3-2］在正四面體/-中，￡為BC邊的中點，過點￡作該正四面體外接球的截面，記最大的截

面面積S,最小的截面面積為T,則《=；若記該正四面體內(nèi)切球和外接球的體積分別為匕和

匕，則t=.

v\

題型四：球與截面問題

【例4】如圖，是邊長為2石的正三角形N8C的一條中位線，將A4DE沿DE翻折至△4?！?，當(dāng)三棱

錐C-48E的體積最大時，四棱錐4-8CDK外接球。的表面積為；過EC的中點M作球。的

截面，則所得截面圓面積的最小值是_______.

【變式4-1】已知三棱錐Z-BC。的各頂點都在球。上，點M,N分別是ZC,的中點，平面

BCD,CD=2AB=2BC=4,AD=2a,則下列結(jié)論正確的是.

①CD_L平面ABC；

②球。的體積是8a兀；

③二面角-C的余弦值是g；

77r

④平面AW被球。所截的截面面積是行

【變式4-2】如圖所示，某工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部

分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為2萬，則該球的體積是.

題型五：截面圖形的個數(shù)問題

【例5】過正四面體尸-/3C的頂點尸作平面a,若a與直線尸N,PB,PC所成角都相等，則這樣的平

面的個數(shù)為（）個

A.3B.4C.5D.6

【變式5-1］（2024?陜西榆林?陜西省榆林中學(xué)校考三模）過正方體/BCD-4片GA的頂點A作平面a,使

得正方體的各棱與平面a所成的角都相等，則滿足條件的平面々的個數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.6

【變式5-2】設(shè)四棱錐尸-/BCD的底面不是平行四邊形,用平面口去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四

邊形,則這樣的平面二

A.有無數(shù)多個B.恰有4個C.只有1個D.不存在

題型六：平面截圓錐問題

【例6】已知圓錐5。的軸截面是邊長為2的正三角形，過其底面圓周上一點/作平面a,若a截圓錐S。

得到的截口曲線為橢圓，則該橢圓的長軸長的最小值為（）.

A.V5B.1C.V3D.2

【變式6-1】用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個圓，用

一個不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角。不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別

是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.記圓錐軸截面半頂

角為a,截口曲線形狀與6,a有如下關(guān)系：當(dāng)。＞a時，截口曲線為橢圓；當(dāng)8時，截口曲線為拋物

線：當(dāng)。時，截口曲線為雙曲線.如圖1所示，其中現(xiàn)有一定線段其與平面廣所

JTJTTTJT

C.當(dāng)。=：時，「是圓D.當(dāng)。=彳,/=:時，「是橢圓

4434

【變式6-2】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1,設(shè)圓錐軸截面

的頂角為2a,用一個平面「去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和「所成角力的變化，截得的曲線的形狀也不

同.據(jù)研究，曲線的離心率為e=0,比如，當(dāng)夕=/時，e=l,此時截得的曲線是拋物線.如圖2,

COS。

在底面半徑為2,高為逐的圓錐S。中，AB.C。是底面圓。上互相垂直的直徑，￡是母線上一點，

CE=2ES,平面4班截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題

【例7】（多選題）如圖，圓錐的軸截面尸都是邊長為2的等邊三角形，平面平面CDF,

點E為母線5c的中點，則（）

jr

B.異面直線ZB和所成角大于§

C.沿該圓錐側(cè)面，由點。到點尸的最小值為20

D.過直線D廠的平面截該圓錐所得截面面積的最小值為出

2

【變式7-1］（多選題）如圖，在棱長為2的正方體/BCD-44C2中，初是42的中點，P（與點G不

重合）是平面BCG片內(nèi)的動點，下列說法正確的是（）

B.若尸=/M4G，則動點尸的軌跡為拋物線的一部分

C.當(dāng)麗=；尸露時，過點尸作該正方體的外接球的截面，其截面面積的最小值為等

D.線段月。繞/。旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，與/G所成角的正切值的取值范圍為

【變式7-2］（多選題）如圖，在長方體-4與。〃中，AB=AD=4,44=6,E,尸分別是棱

的中點，點G在棱。2上，則下列說法正確的是（）

A.存在點G,使得跖，3G

B.點3到平面CEF的距離是生叵

61

C.存在點G,使得平面CEF

D.過以作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是等

41

題型八：截面有關(guān)的空間角問題

【例8】過正四面體/BCD的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，使得截面與底面8co所成角為

75°,這樣的截面共可作出（）個.

A.6B.12C.15D.18

【變式8-1］在棱長為2的正方體-44G2中，初是線段4G上一個動點，則下列結(jié)論正確的有

A.不存在〃■點使得異面直線3AZ與/C所成角為90。

B.存在M點使得異面直線9與/C所成角為30°

C.存在M點使得二面角M-5Z）-C的平面角為45°

9

D.當(dāng)44"=4G時，平面截正方體所得的截面面積為5

【變式8-2］在正方體/BCD-44aA中，E為線段/D的中點，設(shè)平面43。與平面C0E的交線為/,

則直線/與BE所成角的余弦值為()

V15V30

~10~lo-

題型九：交線問題

【例9】閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系。.z中，過點尸(%,%,%)且一個法向量為〃=伍,6,c)的平面e的方

程為a(x-x0)+65-%)+c(z-z°)=O.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面口的方程為

x+y+4z—3=0,直線/是平面，:x+2y—3=0與平面7:2y+z+l=0的交線，則直線/與平面々所成角的

正弦值為()

A.；B.—C.—D.立

2232

【變式9-1］空間中，過點尸(%,%,z。)且一個法向量為方方=(a,6,c)平面a方程為

a(x-Xo)+b(y-%)+c(z-Zo)=0.據(jù)此可知，若平面a的方程為x-y+z+l=O,直線/是兩平面

x-y+2=0與2x-z+l=0的交線，則直線/與平面a所成角的正弦值為()

A.回B.也c?立D.立

353155

【變式9-2】甲烷是最簡單的有機(jī)化合物，其分子式為CH,，它是由四個氫原子和一個碳原子構(gòu)成，甲烷

在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)

型，如圖，四個氫原子分別位于正四面體的頂點處，碳原子位于正四面體的中心。處.若正四面體

N3C。的棱長為1,則平面。48和平面OCD位于正四面體內(nèi)部的交線長度為()

邊

【變式9-3］已知正方體/BCD-4臺￡2,平面ABC與平面。〃GC的交線為/,貝U(

A.U/AXDB.IHB.DC.1//QDD.IHDXC

【過關(guān)測試】

I.如圖，正四面體/-BCD的棱長2,過棱上任意一點尸做與2C都平行的截面，將正四面體分

成上下兩部分，記力尸=M0<x<2）,截面上方部分的體積為%（x）,則函數(shù)y=%（x）的圖象大致為（）

A

2.如圖所示，在正四棱臺/2CD-44G2中，上底面邊長為4,下底面邊長為6,體積為次H,點E

3

為中點，過點E的平面a與平面D/C平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊

形的周長為（）

A.473B.3行C.2V3+3V2D.4肉3加

3.已知圓錐的母線長為4,過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8,則該圓錐底面半徑

的取值集合為（）

A.{2碼B.（0,2qC.（0,4）D.128,4）

4.如圖，在四面體N8C〃中，AB=CD=4^，AC=AD=BC=BD=45>若用一個與48,CD都平行的

平面夕截該四面體，下列說法中錯誤的（）

A

A.異面直線48與CD所成的角為90。

B.平面e截四面體N3CD所得截面周長不變

C.平面口截四面體N3CD所得截面不可能為正方形

D.該四面體的外接球半徑為逅

2

5.在正方體N5CD-中，點尸為線段8口上的動點，直線優(yōu)為平面與平面與。尸的交線，現(xiàn)

有如下說法

①不存在點尸，使得臺片//平面4。尸

②存在點尸，使得耳尸，平面4。尸

③當(dāng)點p不是82的中點時，都有根〃平面44co

④當(dāng)點尸不是8。的中點時，都有加_1■平面

其中正確的說法有（）

A.①③B.③④C.②③D.①④

6.（多選題）如圖，是邊長為2的正方形，AAX,BBX,CQ,都垂直于底面N3CA,且

33

DDl=^AAi=-CCl=3BBl=3,點E在線段CQ上，平面交線段/人于點尸，則（）

Dy

AB

A.4，4，Q,2四點不共面

B.該幾何體的體積為8

C.過四點4，G，B,。四點的外接球表面積為1271

D.截面四邊形尸的周長的最小值為10

7.（多選題）在棱長為1的正方體NBC。-481G2中，E,尸分別為/瓦8c的中點，貝U（）

A.異面直線。2與4尸所成角的正切值為:

B.當(dāng)三棱錐片-8E尸的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為3兀

C.過點A，￡,R的平面截正方體ABCD-44。"所得的截面周長為岳+顯

2

D,點尸為正方形4月GA內(nèi)一點，當(dāng)。尸//平面與即時，DP的最小值為謹(jǐn)

4

8.（多選題）在正方體/BCD-44G2中，AB=6,P,。分別為G2和。，的中點，”為線段qc上一

動點，N為空間中任意一點，則下列結(jié)論正確的有（）

A.直線平面4G。

7TTT

B.異面直線/“與4。所成角的取值范圍是

C.過點昆尸,。的截面周長為6屈+3近

D.當(dāng)/N_L2N時，三棱錐4-NSC體積最大時其外接球的體積為72亞兀

9.（多選題）如圖，在棱長為2的正方體NBC。-中，M是棱4A上一動點，P是側(cè)面2?！昶瑑?nèi)

的動點，。是空間內(nèi)任意一點，下列說法中正確的是（）

A.存在點使M4+MC[=30

B.若P4=2PC,則動點尸的軌跡為圓的一部分

C.當(dāng)=時，過點尸作該正方體的外接球的截面，其截面面積的最小值為三

42

D.Zn4D[=ZQ4Dl,直線40與/q所成角的正切值的取值范圍為[3-2a,3+2及]

10.（多選題）如圖，在棱長為1的正方體/BCD-44GA中，","分別是/3,/。的中點，P為線段

G2上的動點，則下列說法正確的是（）

A.尸4c一定是異面直線

B.存在點尸，使得TWLPM

C.直線NP與平面8CG用所成角的正切值的最大值當(dāng)好

5

D.過”,N,尸三點的平面截正方體所得截面面積的最大值地

4

11.（多選題）根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線

（其中是底面圓的直徑，各截面都過點M第一個圖中截面平行于底面；第二個圖中截面與底面有且只

有/這一個公共點；第三圖中截面平行于圓錐的軸。尸，且與底面的交線是線段。2的垂直平分線；第四個

圖中截面與底面的交線過底面圓心且與垂直）.若圓錐的高P0=2,底面圓的半徑為4,M為母