專題16.6二次根式全章五類必考壓軸題

【人教版】

必考點1卜二次根式的雙重非負性的運用

1.已知尤、y為實數，且y=W-2023+,2023-％+1,貝卜+y的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數是非負數求出工的值，代入求得y的值，代入

代數式求值即可.

【詳解】解：???x-202320,2023-%>0,

???x-2023=0,

???x=2023,

.?.y=1，

?,?%+y=2023+1=2024,

故選：C.

2.已知己%—11—|7一%|+J十一9'=3y—2,貝（J2%—18y2的值為（）.

A.22B.20C.18D.16

【分析】直接利用二次根式的性質將已知化簡，再將原式變形求出答案.

【詳解】解：解：一定有意義，

.,.%>11,

/.V%—11—|7—x|+jQr-9）2=3y—2,

yjx—11+7—x+x—9=3y—2,

整理得：Vx-11=3y,

'.x-11=9y2,

貝U2x-18y2=2x-2（x-11）=22.

故答案為：22.

3.已知化簡J（a+》2-4++4的結果為_.

【分析】根據題意得到a-工>0,a+-<0,根據完全平方公式把被開方數變形，根據二次

aa

根式的性質計算即可.

【詳解】解：原式=[a2+2+^-4+小2-2+尚+4=Ja2-2+^+/a24-2+^-=

+

4.右實數a,b,c1兩足關系式4a-199+V199—ct-M2a+b—c+7b—6,

【分析】根據二次根式有意義條件求得〃=199,然后由非負數的性質求得。、的值.

【詳解】解：根據題意，得《［199=1，

解得〃=199,

則V2a+b—c+7b—6=0,

所以｛2X1”-=。，

解得口二3

故答案為：404.

5.已知整數尤，y滿足乂后+-，2022x-J2022y+72022孫=2022,則Jx_y_7

的最小值為.

【分析】原式可變形為巧（衣+7y）-V2022（Vx+招）+y/2022xy-V202：=o,然后

因式分解為（乃+V7+42022）（而-V2022）=0,從而得到歷-V2022o,進而分析

得出

x=337,y=6,則答案可得.

【詳解】解：萬4+yC-V2022x-J2022y+j2022xy=2022,

變形為位（五+77）-V2022（V%+Vy）+j2022xy-V20222=0,

；?（?+77+,2022）（歷-V2022）=0,

—A/2022=0,

?\xy=20222x3x337,

Vx,y均為整數，x—y—7>0,

:々x—y—7最小值時％=337,y=6,

：7x-y-7最小值為V337-6-7=V324=18.

故答案為：18.

6.已知實數x,y,。滿足等式J3x+5y-3—m+（2x+3y—m）2=

-x-y,求Sn+4的值.

【分析】根據二次根式的性質，分別計算等式的左右兩邊，根據非負數之和為0,列三元一

次方程組，進而求得m的值，再將m代入求解即可.

【詳解】依題意得:2—x—y>0x+y—2yj3x+5y—3—m+(2x+3y—m)2=0

又53%+5y—3—m>0,(2%+3y—m)2>0

3%+5y—3—m=0

得2%+3y—m=0

式+y=2

解得久=1,y=l，m=5,

???yjm+4=V5+4=3.

必考點2Z二次根式的規律探究

+￡+J1+翥1+全1+J1+專11

1.若A=1+H----2--F…+/1H-------2--F，則⑷=（）

i22324J2021220222

（其中［4表示不超過A的最大整數）

A.2019B.2020C.2021D.2022

111n+l

【分析】根據l+2+得出1+n2+(n+l)2n--=i+--—

(n+l)2n+lnn+l

11

將/=+11+/+專+11+京1+專1+“，+11+焉1+1?進行變形為:

1+m+天32422021220222

【詳解】解：對于正整數71,有

1221_2+仁)2="__,

i+4+1+-

n2(n+l)2n.n(n+l)2\nJn\n+l/\nn+l/

i+4+1-n-+--l-------1-=1.-|-.--1-------1-

n2(n+l)2nn+lnn+l

111111

...z=1+翥+/+11+專+專+」1+專+專+“，+11+募+

2232322021220222

11-+(1+|-1111

1+1~2,+1+-I+…+(1d-------------------

3(l-4/\20212022

=2。22-盛

因此，不超過A的最大整數為2021,故C正確.

故選：C.

11ii497T11

2.己知A==?2

1+亞+7=;r1+7+3=36-6’31+運+萬=

1+上+無片，其中n為正整數.設立=71+72+73+-一+6則

$2022值是（）

20222022

A.2022—B.2023—C-2。22短D-2。23表

20232023

【分析】根據數字間的規律探索列式計算即可獲得答案.

【詳解】解：由題意，可得

1

Tn=/1+4+rAi=1+C--)，

71Nn2(n+1)2%n+17

1?S2022=7I+72+73T72022

1111111

="i-，)+i+q-p+i+qq+…+”(礪2023)

1111111

1x2022+(1+------------)

NZ33JT20222023,

1

=2022+(1-2023)

2022

=2022—.

2023

故選：A.

3.將一組數據舊，V6，3,2V3,V15,3V10,按下面的方法進行排列：w，V6,3,

2V3,V15；

3V2,V21,2V6,3V3,V30;

若2百的位置記為（1,4）,2班的位置記為（2,3）,則這組數中歷的位置記為（）

A.（6,4）B.（5,3）C.（5,2）D.（6,5）

【分析】由題意可知，每行5個數，數的被開方的規律是3”，由此可得廝是第29個數，進

而判斷而是第6行的第4個數.

【詳解】解：一組數據的排列變形為

V3x1,、3x2,V3x3,V3x4,V3x5；

、3x6,V3x7,V3x8,、3x9,V3x10；

由題意可知，每行5個數，

：87=3x29,

而是第29個數，

V294-5=5…4,

???府是第6行的第4個數,

府的位置記為（6,4）,

故選：A.

4.觀察下列各式:

1+3+專=1+擊①

111

1+7+M1+汨

1+蠢+*=1+擊③

請利用你所發現的規律，解決下列問題:

n=.

【分析】（1）觀察前三個式子特點，找出規律即可解答;

（2）利用（1）的規律解答即可；

（3）利用（1）的規律解答即可.

【詳解】（1）解：???〃+]+—1+白

2

J/1+靛1+(n+11))2=1.+n(n1+l)n+n+l

n(n+l)

n2+n+l

故答案為:

n(n+l)

⑵解：原式=1+亳+1+短+1+言+…+1+2022：2023

1111111

=2022+1------1----------1----------F???H-------------------

2233420222023

2022

=2022+——

2023

2°22黑.

故答案為：2022第I；

（3）解：根據題意’得1+a+1+短+1+￡+“，+1+無為=九，

11

...(zn—1)+1---1--.1--1------1-.1--1------1-.1------.1----1------=n——

''22334n-1n5

?11

??幾——=n——

n5

n=5,

經檢驗得n=5是原方程的解.

故答案為：n=5.

5.觀察下面的式子：S1=1+1+攝S2=l+京+全,S3=l+,+1…Sn=l+1+(二)5

(1)計算：同=,乒；猜想居=(用n的代數式表示)；

(2)計算：+J耳+??1+yfSn(用n的代數式表示).

【分析】(1)分別求出S1，S2,…的值，再求出其算術平方根即可；

(2)根據(1)的結果進行拆項得出1+$1+V+…+1+高，求出答案即可.

【詳解】(1).-Si=1+*+/=3‘?,?6?=1；

7

.?s=i+?A蔡6

.?3=1宅+3=言13

12

1I1_(n2+n+l)2.r^r~_n(n+l)+l

；

康+5+1)2=(n+l)2/2，?7%=nfn+1)

⑵解：s《+/野???+端祟

=1+/1+2+1+*+…+1+1

n(n+l)

=n+(1

2T23T34十nn+17

1

=n+1—

n+1

_n2+2n

n+1

必考點34復合二次根式的化簡

1.材料：如何將雙重二次根式Ja±2啊a>0,b>0,a±24b>0)化簡呢？如能找到兩

個數m,n(m>0,n>0),使得+(低產=&，即m+7i=a,且使赤［赤=也，即

m-n—b,那么a±2證=(Vm)2+(Vn)2+2Vm?Vn=(Vm±Vn)2.1.Ja士2證=

|標士迎I，雙重二次根式得以化簡.

例如化簡：73±2V2,

因為3=1+2且2=1X2,

3±2V2=(V1)2+(V2)2±2V1xV2V3±2V2=|1±V2|,

由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成立后的形式，且能找到小，n(m>0,n>

0)使得TH+ri=a,且m??!=/?,那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式.

請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：

(1)填空：75±2^/6=,V12±2V35=；

(2)化簡：，9±6近;

(3)計算：73-V5+72±V3.

【分析】(1)仿照閱讀材料，把被開方數變形成完全平方式，即可得答案；

(2)把6位變形成2可，仿照閱讀材料的方法可得答案；

(3)將病變形成2次變形成2再把被開方數變形成完全平方式，即可算得答案.

【詳解】(1)解：(5±2旄=J(舊土/(=百土或,

J12±V2V35=J(V7±V5)2=V7±V5,

故答案為：V3±V2,V7±V5；

(2)V?±6V2=V?±2718=(V6±V3)2=V6±V3；

(3)V3-V5+V2+V3

V10+V6

2

同理可得VIF+=何呼-2遮

2.閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,

如3+2/=(1+/),善于思考的小明進行了以下探索：

2

若設a+Z)V2=(m+nV2)=m2+2n2+2mnV2(其中a、b、m>八均為整數)，則有a=

m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+6魚的式子化為平方式的方法，請

你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

2

(1)若a+力夕=(m+九夕)，當a、b、九均為整數時，用含加、幾的式子分別表示a、b,

得：a=,b=；

⑵若a+6V3=(m+nV3),且a、m、n均為正整數，求a的值；

⑶化簡下列格式：

①，5+2逐

②，7-2V1U

③/-J10+2?+/+J10+2底

【分析】(1)利用完全平方公式展開可得到用相、”表示出。、b；

(2)利用(1)中結論得到6=2nm,利用。、m、"均為正整數得到m=1,n=3或爪=3,

n=1,然后利用Q=62+3"計算對應〃的值；

(3)設14-710+2V5+J4+710+2V5=t,兩邊平方得到產=4-J10+2花+4

+V10+2V5+2^16-(10+275),然后利用(1)中的結論化簡得到產=6+2遙，最后

把6+寫成完全平方形式可得到t的值.

【詳解】(1)設a+by/7=(m+nV7)=m2+7n2+2mny/7(其中a、b、m、孔均為整數),

則有a=m2+7n2,b=2mn；

故答案為：m2+7n2,2mn；

(2)V6=2mn,

mn=3,

?."、m＞九均為正整數，

.,.m=1,n=3或m=3,n=1,

當m=1,n=3時，a=m2+3n2=l2+3x32=28；

當m=3,n=1時，a=m2+3n2=32+3xl2=12；

即〃的值為12或28；

(3)①，5+2連=V3+2+2V3xV2=(V3+V2)2=V3+V2

②,7-2VIU=75+2-2V5XV2=(V5-V2)2=V5-V2

@^4-7io+2V5+J4+710+2V5=t,

則產二4-V10+2V5+4+V10+2V5+2J16-(10+2V5)

=8+2小6-2巡

=8+21(V5-I)2

=8+2(V5-1)

=6+2V5

=(A/5+I)2,

t=V5+1.

3.小明在做二次根式的化簡時，遇到了比較復雜的二次根式J5-2?,通過資料的查詢，

他得到了該二次根式的化簡過程如下

75-2A/6=A/2-2XV2XA/3+3

=J(V2)2-2xV2xV3+(V3)2

=J(V2-V3)2

=|V2-V3|

=V3—V2

(1)結合以上化簡過程，請你動手嘗試化簡，4-2次.

(2)善于動腦的小明繼續探究：當a,b,m,〃為正整數時，若a+2〃=(Vm+Vn)2,則

a+2迎=(m+n)+2而^，所以a=M+%b=7mi,若a+2舊=(而+低?，且小

m,〃為正整數，m>n；求a,m,〃的值.

【分析】(1)根據閱讀材料和完全平方公式以及二次根式的性質解答；

(2)先將(、標+返)展開，然后與a+2”^對邊得到。=6+幾、17=mn,再根據

a,m,九為正整數，？n>九確定相、〃的值，進而求得〃的值.

【詳解】(1)解:74-2V3

=V1-2XV1XV3+3

I22

=Q(VT)—2xVTxV3+(V3)

=J(V1-V3)2

=|V1-V3|

=V3—1.

(2)解：Va+2V17=+V^)2=m+2y/mn+n

?\a=m+n917=mn

9?a,m,九為正整數，m>n

?\m=17,n=1,a=m+n=174-1=18.

4.閱讀材料：

材料一:數學上有一種根號內又帶根號的數，它們能通過完全平方式及二次根式的性質化去

一層(或多層)根號，如：^j(VT)2+(V2)2—2xVTxV2=J(VT—V2)2=|VT—V2|=V2—

1

材料二：配方法是初中數學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成

完全平方式，利用完全平方式來解決問題，它的應用非常廣泛，在解方程、化簡根式、因式

分解等方面都經常用到.

如：x12+2V2x+3=x2+2-V2-x+(V2)2+1=(x+V2)2+1

V(x+V2)2>0,/.(x+VZ)2+1>1,BP%2+2V2x+3>1

Ax2+2V2x+3的最小值為1

閱讀上述材料解決下面問題：

(1)V4—2A/3=，V5+2A/6=；

(2)求久2+4V3x+11的最值；

(3)已知x=-J13-46,求一：(4+28)/〉2+(百+1)孫一5的最值.

【分析】(1)利用完全平方公式及二次根式的性質即可求解；

(2)利用完全平方公式配方即可求解；

(3)先化簡x,再代入代數式化簡，最后求出其最值即可求解.

【詳解】(1)V4—2V3=/(V3—I)2=|V3—1|=V3-1,Vs+2A/6=J+或—=

|V3+V2|=V3+V2；

故答案為：V3—1；V3+V2

(2)Vx2+4V3x+ll=x2+4V3x+12-1=(久+2V3)2-1>-1

Ax2+4V3x+11的最小值為-1；

1(4+2V3)x2y2+(V3+l)xy—5

=--(4+273)(4-2V3)y2+(遮+1)(V3-l)y-5

4

=—y2+2y—5

二一(y—l)2—4<-4

故—14+2V3)x2y2+(V3+l)xy-5的最大值為-4.

5.閱讀材料：康康在學習二次根式后、發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,

2

如：3+2或=(1+應)，善于思考的康康進行了以下探索：

設a+人魚=(?n+4歷)(其中a、b、m、〃均為正整數)，

則有a+/?V2=m2+2n2+2mnV2(有理數和無理數分別對應相等)，

a=m2+2n2,b=2mn,這樣康康就找到了一種把式子a+6迎化為平方式的方法.

請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：

2

(1)當〃、b、m、〃均為正整數時，若a+力遮=(c+4遮)，用含c、d的式子分別表示4、b,

得：a=,b=；

2

(2)若7-=(e-八⑶，且e、f均為正整數，試化簡：7-4遍；

(3)化簡:^7+J21一廊.

【分析】(1)根據完全平方公式進行計算進行求解；

(2)將7—4Vl變為22-2X2xV3+(百)?即可求解；

(3)將+J21-恂化為J(1+佝2進行求解即可.

2

【詳解】(1)解：：(c+db)=c2+2y[3cd+3d2=c2+3d2+2V3cd,

.'.a-c2+3d2,b-2cd,

故答案為：c2+3d2,2cd；

(2),?7-4V3=4-2X2XV3+3=22-2X2XV3+(V3)=(2-網，

7-4V3=(2-V3)2；

7+1-475+20=7+(1-2V5)2

=J7+2V5-1

=J6+2V5

=Jl+2V5+5

=J(l+V5)2

=1+V5.

必考點4N二次根式運算與求值技巧。I

i.已知《函-?=3M5/-瓜),求簽第.

【分析】先根據所給的式子進行因式分解求出石=3近，然后代入所求式子進行求解即可.

【詳解】解：???日(?一旦)=3后(5折-日),

2__2f—

(V%)-y[xy=15(Vy)_3.,

*'?(V%)+2^/xy-15(7?)=0，

(V%+57?)(V%-377)=0,

V%+5^/y=0或y-36=0,

當代+5行=0時，可以得到％=y=0所求式子無意義，應該舍去，

.'.V%—3行=0,

??—3yJ~^f

x=9y

?2x-y[xy+3y_18y-3y+3y_3

x+y[xy-6y9y+3y-6y,

11

2.矢口x=,—,v-i.

V10-3JV10+3

(1)求/+2%y+y2的值.

(2)求久+4)J(y2+2y+l)值

%(%-2)y(y+i)?

【分析】(1)先將x、y進行分母有理化，再代入式子計算可得;

(2)先將式子化簡再代入x、y進行計算即可.

【詳解】(1)v%=—2—=V10+3,

V10-3

、=總=國-3,

?,?%+y=2V10,x—y=6f

???x2+2xy+y2=(汽+y)2=(2V10)2=40.

(2)vx=V10+3,y=V10—3,

A%—2>0,y+1>0,

7(%2—4%+4)J(y2+2y+1)

x[x—2)y(y+1)

x—2y+1

x(x—2)y(y+1)

_11

xy

11

-V10+3V10-3

=V10-3-V10-3

=-6.

3.己知a=需,6=緇

(1)求小―必+廬的值;

(2)若。的小數部分為相，匕的小數部分為及，求(ZH+幾)(?71—九)的值.

【分析】(1)利用二次根式的加法運算和乘法運算求得Q+b和帥，對所求式子利用完全平

方公式變形，進而整體代入求出即可；

(2)首先利用分母有理化法則求出〃，。的值，根據1〈百＜2,可得出幾的值，進而代入

求值即可.

V3-1+V3+1_(V3-1)2+(V3+1)2_4-2V3+4+2V3

【詳解】V34-1TV3-1-(V3+1)(V3-1)—2

V3-1V3+1y

ab=------------------=j_,

V3+1V3-1

a2—ab+b2

=(a+b)2—3ab

=42-3

=13；

(2)a=^i=2-V3,b=^il=2+V3,

VI<V3<2,-2<-V3<-1,

.,.2-2<2-V3<2-l,2+l<2+V3<2+2,

即0<2-遮<1,3<2+V3<4

...2—75的整數部分是0,小數部分是2-遮，即加=2-百，

2+舊的整數部分是3,小數部分是四一1,即71=8-1,

/.(m+n)(m—n)

=(2-V3+V3-1)(2-V3-V3+1)

=3-2V3.

.—j7p1V3+111yx

4.已知r％i=---，y=----，m=----，n=-+

22xyxy

(1)求TH,71的值；

(2)若VH—A/F=TI+2,y[ab=m,求V^+VF的值.

【分析】(1)由x和y的值求出xy,y—x和x?+y2,將m和n分別變形，從而求值；

(2)根據(1)中m和n的值，將歷一班變形，求出a+b的值，再根據(6+VF/=a+b+

2VHF求出G+傷的值.

【詳解】解：(1)?.”=亨，);=等

..xy=y-x=i,

Ax2+y2=(y—%)2+2xy=2,

(2)\*y/a—Vb=n+2=6,

a+/?—2y[ab=36,

*.*VaF=m=2,

.'.a+h—4=36,即a+b=40,

(yja+V^)2=a+b+2yfab=40+4=44,

又+0,

y[a+Vb=2V11.

5.正數TH,九滿足?n+4A歷沅-—4返+4m=3,求,的值.

Vm+2Vn+2002

【分析】由已知m+4sHri—2y/m—4屈+4n=3可進行因式分解得+2匹—3)(Vm+

2返+1)=0,又m,n為正數，可得標+2訴=3,整體代入要求式中即可解題.

【詳解】原式可變形為(m+47mn+4n)—(2Vm+4Vn)—3=0

{yjm+2yfn)—2(^/m+2y/ri)+3=0

(y/m+2gi—3)(V^n+2匹+1)=0,

又1m,九為正數，

???y[m+2Vn=3.

Vm+2Vn-8_3-8_1

??y/m+2yfn+2002-3+2002—401,

必考點5、卜分母有理化

1.在進行二次根式運算時，我們有時會碰到形如套，夠，高的式子，其實我們還可以將

其進一步化簡：

2_2X-/5_2A/5z-x

泥==M；U

5X3_V15

3X3-3

vfc=(X^-1)==V2-1；③

對于以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，磊還可以用以下的方法化簡;

12-￡(<-^

===(V2+yV2-l)=^_④

V2+1V2+1V2+1V2+1

⑴請參照方法④化簡：方

V7+V5

（2）化簡：熹+J|；

（3）化簡：兩I+高石+西^…+鬲將兩與，（"為正整數）

【分析】（1）分子、分母都乘以近一小，進行化簡即可;

（1）先化為最簡二次根二次根式，再相加即可;

（3）先將各式分母有理化，再進一步計算即可.

【詳解】（1）―

V7+V5

2（V7-V5）

=（V7+V5）（V7-V5）

2（夜一向

(V7)2-(V5)2

2(V7-V5)

二~~7-5-

=V7—V5；

⑵2+13

5A/63X2

府+

V6

-5A/-6+—

4V6

=亍

zx后TV3-1.V5-V3.V7-V5.,V2n+1-V2n^i

(3Q)原式=-----1----------1----------1-----1------------------

2222

_V2n+1-1

二2'

2.閱讀材料，回答問題:

兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互

為有理化因式.例如：因為VHx仿=a,（V2+1）（72-1）=1,所以G與6,四+1與

魚-1互為有理化因式.進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.

（1）百一2的有理化因式是________；化簡：浮|=________；

V3—2

（2）化簡：—F/廠+廠1l+.......+.—1^=

V3+1V5+V3V7+V5V289+Vr287

（3）拓展應用：己知，a=V2020-V2019,b=V2021-V2020,c=V2022-V2021,

試比較a,b,c的大小，并說明理由.

【分析】（1）根據題目中的例子分別確定它們有理化因式即可；

（2）先對分母進行有理化，然后再合并同類項即可；

（3）先分別求出二；,二進行分母有理化，然后進行比較，進而完成解答.

abc

【詳解】（1）解：：（次—2）（舊+2）=-1

/.V3-2的有理化因式是百+2；

.V3+2_(V3+2)(V3+2)_7+4V3_7+4y/3

'*V3-2-(V3-2)(V3+2)-3-4--1—7—4A/3.

故答案為百+2；-7-4V3.

(2)解?———I----------1----------k........-I--------------

'，用午?V3+1V5+V3V7+V5V289+V287

V3-1V5-V3V7-V517-V287

-2-+―2~―2~+……+2

117

------F一

22

=8.

(3)解：a>b>c,理由如下:

11V2020+V2019

々2020+,2019

aV2020-V2019(V2020-#2019)(2020+V2019)

11V2021+V2020

=V2021+V2020

bV2021-V2020(V2021-42020)(42021+V2020)

11A/2022-V2021

__=V2022+V2021

CV2022-V2021(V2022-0021)(42022+V2021)

??111

?-a-b<x—c

.'?a>b>c.

3.先閱讀下面的材料，再解答問題.

I—I—I—I—2r—2

因為(乃+—Vfe)=(Va)—(VF)=a—b,

所以a—b=(Va+Vb)(Va—迎).

特別地，(舊+舊)(舊一舊)=1,

所以品『舊+房

當然，也可以利用14-13=1,得1=14—13,

所以1=14-13(炳2(順2,

V14-V13-V14-V13V14-V13'

_(V14+V13)(V14-V13)

—V14-A/13'

=V14+V13,

這種變形也是將分母有理化.

利用上述的思路方法，計算：

⑴(百i+聲^+…+V2023+V2022)(^2023+1)；

e3_6_2

(J4-V13V13-V73+獷

【分析】(1)根據題意，先把每一部分分母有理化，化簡后合并同類二次根式即可;

(2)根據題意，先把每一部分分母有理化，化簡后合并同類二次根式即可.

(后1)1(舊一甸,

【詳解】(1)解:原式=

(V2+1)(V2-1)+(V3+V2)(V3-V2)十…十

(V2023-V2022)'

(V2023+1)=[(V2-1)4-(V3-V2)+…+(V2023-

(V2023+V2022)(V2023-V2022)

V2022)](V2023+1)

=(V2-1+V3-V2+--+V2023-V2022)(V2023+1)

=(V2023-1)(72023+1)

=2023-1

=2022；

(9)解.嚀式—3(4+.)_6(g+⑺2(3-⑺

9用午.好八一(4-VT3)(4+V13)(V13-V7)(V13+V7)(3+夕)(3-g)

_3(4+V13)6(V13+V7)2(3-V7)

=362

=(4+V13)-(V13+V7)-(3-V7)

=4+V13-VT3-V7-3+V7

=1.

4.【材料閱讀】

材料一：在進行二次根式化簡與運算時，有時會遇到形如焉的式子，可以通過分母有理化

進行化簡或計算.如化簡：高.具體方法如下:

2(6-1)

方法一:2=V3—1.

V3+1-(V3+1)(V3-1)

2_2zl__(⑹0_(后1)(后1)

方法二:=V3—1.

V3+1-V3+1-V3+1V3+1

口口匕+c

材料二:我們在學習分式時知道，對于公避+”等可以逆用.即：——=-b+,-c

aaa

【問題解決】

(1)化簡:3

V10-V7

(2)計算：(看康)+…+11

,V3+V2.V100+V99VlOl+VlOO7'

(3)計算：再1^+赤南1+荷而1又+.1

21V20+20VH*

【分析】(1)將分式分母有理化，利用材料一的方法求解即可;

(2)先去括號，利用裂項相消法，只剩第一和最后一個式子，再利用材料一的方法分母有理

化即可;

(3)先分母有理化，再根據材料二的方法，利用裂項相消法，即可求解.

3

【詳解】解：(1)Vio-V7-(Vio-V7)(Vio4-V7)=V10+V7.

故答案為：V10+V7.

⑵11

3+…+.V100+V99V101+

111111

V2+1V3+V2+V3+V2V4+V3

+…+V100+V99Vioi+VIoo

11

-V2+1V101+V100

=V2-1+VT00-V10T

=9+V2-V10T.

11

(3)———|-------------1-----------+?.._|-----i———

2+V23V2+2V34V3+3V421V20+20V21

(2?-您)(3V2-2V3)(473-3V4)++(21V20-20V21)

(2Vl+V2)(2Vi-V2)+(3V2+2V3)(3V2-2-/3)+(4^3+374)(4^3-374)

(21V20+20V21)(21V20-20V21)

2V1-V23V2-2V34V3-3V421例一20VH

=---------------1------------------1------------------1-…-|-----------------------

2612420

_V2V2V3V3V4V20V21

=1-T+^3-+lr+'"+^b2T

歷

=1--------

21

5.閱讀下列材料，然后回答問題：

在進行類似于二次根式方，的運算時，通常有如下兩種方法將其化簡：

V3+Vz

方法1:七=(鼠).誓=舊_/(以上化簡的步驟叫分母有理化)；

V3+V2(V3+V2J(V3—V2J3—2

方抄91=3-2=(⑸2_/)2=(二+&)(_-=)=

“名V3+V2-V3+V2-V3+V2-V3+V2、乙?

請選用適當的方法，解答如下問題:

化簡：丁廣

(1)-V73=-+-1--F~Vj=5~+V3+nV=7"+V5H+V/2019~+V,2021

(2)若。=建，b=葭，。=方4，請你根據以上方法直接寫出a,b,c的大小關系.

V5—v4vo—v5v7-v6

(3)已知zn為正整數，a=b=_&a2+h2+1968a/?+2=2020,求

Vm+l+Vmvm+l-yni

m3+37n2—m—6的值.

【分析】(1)根據題中二次根式的運算進行化簡，即可求解;

(2)根據題中二次根式的運算進行化簡，即可比較大小；

(3)先將a,b化簡，得到a+b=4m+2,ab=lJtAa2+b2+1968ab+2=2020,得到

(2m+l)2=13,再將巾3+3m2—m—6變形即可化簡求解.

【詳解】⑴4+++.?.+―/~

V3+1V5