相似知識歸納與題型突破（九類題型）

01思維導圖

形狀相同的圖形--相似圖形

邊數相同的兩個多邊形，若對應角相等，對應邊成比例，則這兩個多邊

相似圖形/相似多邊形對的的比--相似比相似比為1時，相似的兩個圖形相等

比例線段：對于四條線段a?b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們長度

的比）與另兩條線段的比相等如a:b=c:d（即ad=be）那么四條線段成比

例線段

定義：對應角相等，三緬t強邊成比例--相似

平行線分線段或比例定理：睡直線被T平行線所截，所得陋應線推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段

段成比例二成比例。

聯1:如果兩個三角形的三組對應邊的比偌，為這兩個三角形相

帆

限2:如果兩個三角形的兩里對應邊的比相等，并且夾角相等，那么

相似三角形陋定一這兩個三角冊目似O

\夷應3:如果一個三角形的兩個角與另T三角形的兩個角對應相等，

第27章相似eI那么這兩個三角形相似。

相似三角形

1、對應角相等，對應邊的比相等；

2、拓展：對應高的比，對應中維比，對應角平分線的比都等于相似

比，

相似三角形的性質33、相似三角形周長的比等于相似比，醐I的比等于相似比的平方。

------------------\（相似多邊碗長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平

|方。）

耀05坡度與坡比的應用

觸06銳角三角函數頻合問題

兩個雕不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖

形叫做位似酬5,這個點叫做位似中心.

位似9如果以原點為位似中心的圖形，使它與原圉形的相似比為k,為降與原

雕上的點（X,y）對應的位似班上的點的坐標為（kx,ky）或（-

kx,-ky）

02知識速記

一、圖形的相似的概念

形狀相同的圖形叫做相似圖形。

1、兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；

2、全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；

二、成比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。

HC

1、若四條線段a、b、c、d成比例，則記作2=上或a?=c：d。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。

bd

2、四條線段a、b、c、d的單位應一致（有時為了計算方便，a、b的單位一致，c、d的單位一致也

可以）3、比例的性質：

ca±bc±d

基本性質：若則ad=6c；反之，也成立。和比性質：若生

bdbd

rtlQb……比什Qcbd

更比性質：若@=?,則一二一；反比性質：右一二一，則nr一二一:

bdcdbdac

皿a+c+…+加_a

等比性質：若q=￡=???=-[b+d—+〃wO),則^-----------

bdnb+d-\---\-n~~b°

4、把線段48分成兩條線段/C和2C,使4O=AB-BC,叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段的黃金

分割點。

三、平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例。

四、相似多邊形的性質與判定

1、相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。

2、相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。

五、相似三角形的判定

判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。

判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似(此知識常用，用時需要證明)。

六、相似三角形的性質

1、對應角相等，對應邊的比相等；

2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。

3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。(相似多邊形周長比等于相似比，相似

多邊形的面積比等于相似比的平方。)

七、利用相似三角形測高

1、利用相似測量的物體的寬度或高度：

(1)在構造型圖求河寬時，需保證B,C三點在同一條直線上，A,E,。三點也在同一條直線

上，通過測量BC,BE,CD的長，即可求出N8,為簡便，通常使DCVAC.

(2)在構造“X，型圖求河寬時，應保證O,C三點在同一條直線上，B,O,。三點也在同一條直線

上.

/-■,

CD

(1)

2、在平行關線的照射下，同一時刻，兩個物體的高度與影長成比例一測量高度.

提示：同一時刻，太陽光線是平行的.

3、觀察物體時人的眼睛的位置稱為視點.

4、測量物體的高度時，水平視線與向上觀察物體的視線間的夾角叫做仰角，水平視線與向下觀察物體的視

線間的夾角叫做仰角.

5、觀察者視線看不到的區域叫做盲區.

6.利用相似三角形解決實際問題常見模型:

圖4圖5圖6

八、位似的概念及性質

1、兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位

似中心.（兩個位似圖形的位似中心只有一個）

2、利用位似，可以將一個圖形放大或縮小.

3、位似圖形對應邊的比都等于相似比，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

4、位似圖形是具有特殊位置關系的相似圖形.位似一定相似，相似不一定位似.

5、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

6、位似圖形具有（1）相似圖形的所有性質；（2）位似圖形的對應邊平行或共線.

7、在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比

為k,那么與原圖形上的點（X,y）對應的位似圖形上的點的坐標為（kx,ky'）或Jkx,-ky）.

03題型歸納

題型一圖形的位似及其性質

例：如圖，在平面直角坐標系中，已知點幺（-1,2）、5（-3,-1）,以原點。為位似中心，相似比為2,把“8。

放大，則點N的對應點4的坐標是（）

A.(-6,-2)B.(-2,4)C.(-6,-2)或(6,2)D.(-2,4)或(2,-4)

2.如圖，ZUBC與△44G是以點。為位似中心的位似圖形，若OB\=gBB>s4ABe=27,貝”△型向=

A.3B.6C.9D.13.5

3.如圖，A/BC三個頂點的坐標分別為4-2,2）,3（-4,1）,C（-l,-l）,以點C為位似中心，在x軸下方作

把△48C放大為原來的2倍的位似圖形A48'C',則點4的坐標為（）

4.如圖，點E（-4,2）,F（-2,-2）,以。為位似中心，將LEFO放大2倍,則點E的對應點4的坐標是.

5.如圖，在平面直角坐標系中，正方形48。與正方形3E尸G是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似

比為g.點4B、E在無軸上，若正方形BEFG的邊長為6,則C點坐標為.

OfA-BE~x

6.如圖，四邊形N3CD與四邊形/夕CD'是位似圖形，點。是位似中心，點4是線段。區的中點，則

7.如圖，在平面直角坐標系中，ZX/BC的頂點坐標分別為工(-4,1),5(-2,0),C(-l,2).

(1)以原點。為位似中心，畫出△4BC的位似三角形，使它與△4BC的相似比為2:1；

(2八48。與其位似三角形的面積比為.

8.如圖，BD,/C相交于點尸，連接48,BC,CD,DA,ZDAP=ZCBP.

(1)求證：“DPSABCP,并判斷△的與ABCP是不是位似圖形？(不必說明理由)

(2)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的長.

9.如圖，在正方形網格圖中，每個小正方形邊長均為1,點。和的頂點均為小正方形的頂點.

BO

(1)以O為位似中心，在網格圖中作A/'8'C',使AHB'C'和△ABC位似，且位似比為1:3.

⑵證明AA'B'C'和AABC相似.

△4BC與關于點P位似，其中頂點A,B,C的對應點依次為

(1)請利用位似的知識在圖中找到并畫出位似中心P；

(2)寫出點尸的坐標為,△48C與A/?。的面積比為,S“BC=

(3)請在圖中畫出，使之滿足如下條件：

①△HB'C"與關于點P位似，且與^A'B'C的位似比為:；

②4A"B"C"與AA'B'C'位于點P的同側.

11.已知，A/BC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點4B,C的坐標分別為(1,0),(4,-1),

(3,2).△4^G與△/8C是以點尸為位似中心的位似圖形.

(2)以點。為位似中心，在y軸左側畫出，A/2C的位似圖形△/2當。2，使相似比為2:1；

(3)若點為A48C內一點，則點〃在△482c2內的對應點的坐標為.

(4)計算與G的面積.(寫出計算過程)

題型二比例的性質

例：已知2a=36(6#0),則下列比例式中正確的是()

13.(1)已知線段。，b,c,。=3,b=9,若c是a,b的比例中項，求c的值.

ahc

(2)已知：y,且a+b—c=6,求Q的值.

14.下列說法中，正確的是()

,a+bc+d.ac/—1—/—

A.如m果--一=―――,那么7=B.y[ab=yja-y/b

baba

C.方程/+工一2=0的根是巧=-1,%=2D.—=x—i

XVz

15.已知一=之=一，且5%-3z=18,求2z-3y+4x的值

352

ace1._0八、.b—2d+3/1

16.若g=77=(a-2c+3ewO),則n——-一個

f2a-2c+3e

_，心。1E,a+b

17.已知7=7,那么i一=

b3b

18.已知a:b:c=2:3'A,且。+26-3。=20,試求a-26+3c的值.

題型三比例線段和成比例線段

例：下列四組線段中：①Q=1,b=母,c=V2，d=2,②Q=百cm,b=2cm,c=Jlcm,

d=V6cm,③。=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,@a=3cm,b=4cm,c=9cm,d=15cm；其中

a,b,c,d是成比例線段的有.(請填寫序號)

20.一幅地圖上，用9cm的線段表示9km的實際距離，它的比例尺是()

A.1:100000B.1:10000C.1:1000D.1:100

21.已知線段即是線段45,C。的比例中項，AB=3,CD=4,則石廠的長為()

7

A.6B.12C.-D.2y[3

22.下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.a—\,b=2,c=3,d=4B.a—l,b-V2,c=y/3,d—y[6

C.a=5,b—6,c=1,d=8D.a—4,b=6,c=6,d=8

23.在比例尺為1:10000的地圖上，相距10厘米的兩地實際距離為千米.

24.已知兩條線段的長為1cm和4cm,則它們的比例中項線段長為cm.

25.數b是數。和數c的比例中項，若。=2,c=8,則數b的值為

題型四黃金分割

例：秋天紅透的楓葉，總能牽動人們無盡的思緒，所以詩人杜牧說：“停車坐愛楓林晚，霜葉紅于二月花”,

實際上，很多葉片本身都蘊含著黃金分割的比例，在大自然中呈現出優美的樣子.如圖，點P是的黃金

分割點（/尸>成），如果48的長為（4石+4）cm,那么a的長為cm.

27.線段上一點把線段分成兩部分，如果較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與線段整體長度之

比，那么該點就叫做線段的黃金分割點.主持人主持節目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體.如圖,

若舞臺的長為20米，一名主持人現在站在/處，則她至少走多少米才最自然得體？（）

I?

AB

A.（10逐-10）米B.（6+10）米C.（30-106）米D.（10-石）米

28.有以下命題：①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有:=②如果點C是線段N8的中

點，那么③如果點c是線段48的黃金分割點，且ZC>8C,那么=45.3。；④如

果點C是線段42的黃金分割點，AC>BC,且”=2,則/。=石-1.其中正確的判斷有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

29.若點C是線段4B的黃金分割點，AB=2,AC>BC,則NC的長為.

30.如果一個矩形的寬與長的比值正好是黃金比，人們就稱它為“黃金矩形”.現需設計一扇符合黃金矩形的

窗戶，若窗戶的長為2米，則窗戶的寬為米（結果保留根號）.

31.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，尸是的

黃金分割點（/P>8P）,若線段N2的長為10cm,則m的長為_cm.

題型五相似多邊形及其性質

例：如圖，矩形4BCD的邊48=4,點E,廠分別在邊2C，AD±,且四邊形小F為正方形.若矩形CZWE

與矩形/BCD相似，則的長為

AD

BC

E

33.下列四組圖形中一定相似的是（）

A.正方形與矩形B.正方形與菱形

C.等邊三角形與等邊三角形D.矩形與矩形

34.如圖，下列網格中各個小正方形的邊長均為1個單位長度，陰影部分的圖形分別記作甲、乙、丙、丁,

35.在如圖所示的三個矩形中，相似的是（

4

①

A.①②D,都不相似

36.如圖，在矩形中，AB=6,AD=S,截去矩形4B尸E,若剩下的矩形DEFC與矩形/BCD相似,

則DE等于（

B.3.5D.4.5

37.東方美學鐘愛“白銀分割日常生活中隨處可以見至獷白銀分害的身影，比如日常用到的A4紙（圖

①），對折后得到兩個全等的A5紙并與A4紙相似（圖②），則圖中/4紙長與寬的比值為（）

圖①圖②

A.V5-1B.V2+1C.V2D.V5

38.如圖所示，小林在一塊長為6m,寬為4m的矩形小花園4BC。周圍栽種蘭花來裝飾（小花園的一邊靠

墻），蘭花的邊框寬均為20cm,邊框內外邊緣所圍成的兩個矩形相似嗎？請說明理由.

39.如圖，四邊形48cos四邊形Z'8'C'。.

D

8/135AX

A'12B'

（1）Z5=度；

（2）求邊x,y的長.

題型六平行線分線段成比例定理

例：如圖，直線4,4,4分別交直線乙于點4B、C,交直線4于點。、E、F,且《〃“〃兒

/5卜

/'q4

（1）如果E尸:?！?5：3,48=4,求/C的長.

（2）如果48=6,8。=8,。尸=12,求斯的長.

2b°

41.已知線段°、b,求作線段x,x=—,正確的作法是（）

L

AB

42.如圖，直線a〃8〃c,直線/C交a、b、c分別于點4B、C,直線。尸交a、b、。分別于點。，E,

F,則下列等式一定成立的是（）

A坐=m型=變C包=些ABDE

BD.-------

BCBE'BCEF'ACCFEFBC

43.如圖，已知4〃，2〃/3,直線4，4，4分別交直線4于點A、B、C,交直線4于點。、E、F,那么

下列比例式正確的是（）

ABDFDFCF

C.D.

BCEFDEADBCEFEFBE

44.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的,同一條直線上的三個點4B,。都在橫線

上,若線段/8=9,則線段5C的長是()

C.2D.3

45.如圖,直線為5〃。?！ā晔珹C:CE=2:3,BD=3,則。尸的長是.

46.如圖，已知。E〃5C,FE//CD.

(1)若4尸=3,AD=5,AE=4.求的長;

AFAD

(2)求證:

FDDB

題型七相似三角形的判定

例：如圖，在△4BC中，AE分別是邊4B,4C上的點，連接DE,且乙4=63。，ZADE=47。,

ZB=70。.求證：AADEs4ACB.

48.如圖，每個小正方形邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與△/BC相似的是（）

B^

aUB-^FC

49.觀察下列每組三角形，不能判定相似的是()

入

L4/^\6

420E

52.5

c/\1

50.如圖，已知△48C,下列4個三角形中，與△/BC相似的是()

A

M

:5^^D-

A/\B￡\C

ACAC

2

51.如圖所示，給出下列條件：①NB=NACD；@ZADC=ZACB；@—=—;@AC=AD-AB.其

中能夠判定A/BCSAZCD的個數為（）

A

B4----------------^C

A.1B.2C.3D.4

52.如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個條件后,仍無法判定?AADE的是（）

A

二

BDC

ABACABBC

A.NC=NEB.ZB=ZADEC.—

AD-AEAD~DE

53.如圖，在四邊形4BC。中，已知乙4DC=/8/C,添加下列一個條件后，仍不能判定0cs45/。

的是（）

D

BC

A./ACB=/ACDB.AC1=BCCD

ADDC

C./DAC=/ABCD.----=-----

ABAC

54.已知在△/5C中，//=78°,/B=4,/C=6,下列陰影部分的三角形與原△/BC不相似的是（）

AB

A,B

BCAC

A?B

c

BCA'~

55.如圖，尸是△ABC的邊4B上的一點,連接C尸，要使ACBFSAABC,還需要添加一個條件是_____（寫

出一個即可）

c

56.如圖，點C、。在線段48上，是等邊三角形，APLPD,CP±BP.

(1)證明：△ACPsxPDB；

(2)線段AC、CD、8D之間有怎樣的數量關系？請說明理由.

57.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫格點.

分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中畫一個格點。，并作直線

(2)在圖②中畫一個格點E,點E在直線/C上，連接5E,使ABCES"CB.

(3)在圖③中畫一個格點尸，點廠不在直線ZC,連接/尸、BF,使

題型八相似三角形的性質

例：已知兩個等邊三角形的面積比為3:2,那么這兩個等邊三角形的角平分線的長度的比值為

59.已知AABCs^DEF,相似比為1:4,若△4BC的面積為2,則AZ)跖的面積為一.

60.如圖，已知矩形48co中，E是/。上的一點，過點E作EFLEC交邊48于點尸，交C8的延長線于

點G.

⑴求證：AAEFsAEGC；

(2)若EF=EC,DE:AE=2:3,則萼=

CG

ABAC

如圖，已知，

61.Z1=Z2,AE~AD

(1)求證：AABCs^AED；

S4

(2)若f亞=6，ED=12,求3c的長.

?AABC，

62.如圖，△4BC是等邊三角形，點。，E分別在邊3C,/C上，ZADE=60°.

(1)求證：AABDS^DCE；

(2)如果BC=9,/E=7,求BD的長.

63.如圖，在RtZXZBC中，ZC=90°,CO是斜邊48上的高.

(1)求證：△/OCsZ\/CB；

(2)若NC=6,AB=8,求40的長.

64.如圖，點尸為線段上一點，在的同側作等腰直角三角形尸/C和等腰直角三角形尸2Z),4D與

BC,尸C分別相交于點E,F,BC馬PD交于點、H.

D

c

E

（1）求證：AAPDsACPB；

⑵求NFEH的度數.

題型九相似三角形的實際應用

例：小明到操場測量旗桿N8的高度，他手拿一只鉛筆邊移動邊觀察（鉛筆始終與地面垂直）.當

小明移動到點。處時，眼睛C與鉛筆頂端M、旗桿的頂端A三點共線，此時測得D8=50m,小明的眼睛C

到鉛筆的距離為0.6m,鉛筆〃N的長為0.16m,求旗桿N2的高度.

66.據《墨經》記載，在兩千多年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成像的實驗，闡釋了光沿直

線傳播的原理.如圖所示的小孔成像實驗中，若蠟燭火焰的高度為4cm,蠟燭火焰的像的高度是8cm,物

距為16cm,則像距是（）

A.18cmB.20cmC.24cmD.32cm

67.高6m的旗桿在水平地面上的影長為8m,如果此時附近的一建筑物在水平地面上的影長為24m,則該

建筑物的高度為m.

68.圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖2是它的側面示意圖，4D與相交于點。，AB//CD,

據圖2中的數據可得x的值為.

69.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔10米種一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根

電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸有兩根相鄰的電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住,

并且在這兩棵樹之間還有一棵樹，那么這段河的寬度為米.

70.學完了《相似形》這一章后，某中學數學實踐小組決定利用所學知識去測量位于良鄉的昊天塔的高

度（如圖1）,測量方法如下：如圖2,從塔的底部8出發，作一條射線即在攻上取E,G兩點，分別

豎立兩根高為3m的標桿E尸和G/7,兩標桿間隔EG為44nl.從標桿處沿出/后退3m到。處，從。處

觀察/點，發現4F,D三點成一線；從標桿G77處沿由/后退6m到C處，從C處觀察/點，發現力,

H,C三點也成一線請根據以上測量數據，幫助實踐小組求出昊天塔的高度.

A

71.在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規律.如圖龍W為一凸透鏡，尸是凸透鏡的焦點.在焦點以外的

主光軸上垂直放置一小蠟燭42,透過透鏡后呈的像為8.光路圖如圖所示：經過焦點的光線通過

透鏡折射后平行于主光軸，并與經過凸透鏡光心的光線4。匯聚于C點.若焦距。尸=4,物距。3=6,小

蠟燭的高度AB=1,求蠟燭的像CD的長度以及像CD與透鏡之間的距離.

72.為了加快城市發展，保障市民出行方便，某市在流經該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市

繁榮之路.小明和小穎想通過自己所學的數學知識計算該橋/月的長.如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河

的對岸選定一個目標作為點力,再在河岸的這一邊選出點2和點C,分別在NC的延長線上取點。，

E,使得5c.經測量，8c=80米，DE=140米，且點E到河岸2c的距離為90米.已知/尸

于點尸，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋4歹的長度.

73.學習了