第05講平面向量與復(fù)數(shù)（2022-2024高考真題）

（新高考專用）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024.北京.高考真題）設(shè)a,另是向量，則“他+另）?Q—另）=0”是％=—3或2=3”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量2=0+1,尤）石=（居2）,貝U（）

A.“x=-3”是“21戶的必要條件B.“x=-3”是“2〃戶的必要條件

C.“x=0”是*13”的充分條件D.%=-1+8”是“必/疥的充分條件

3.（2024.全國(guó)?高考真題）已知向量石工滿足同=1,怔+2同=2,5.（6-2a）1b,則同=（）

A.-B,-C.-D.1

222

4.（2024?全國(guó)?高考真題）已知向量2=（0,1）石=（2,尤），若31(b—4a),貝!J%=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023?北京?高考真題）已知向量窗3滿足匯+3=（2,3）,N-一3二（—2,1）,則同2一|山2=（)

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2024?北京?高考真題）已知=—l—i,則z=（）

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

7.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)2=&3則z/=（）

A.-2B.V2C.-V2D.2

8.(2024?全國(guó)?高考真題)若z=5+i,貝亞(2+z)=()

A.lOiB.2iC.10D.2

9.（2024?全國(guó)?高考真題）已知z=—1—i,則|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

10.(2024.全國(guó).高考真題)若3=i+i,則z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

11.（2023?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,百），貝版的共軌復(fù)數(shù)2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

12.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量,=（3,1遙=（2,2）,貝|cos值+-力=（）

13.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量2,3,，滿足Ml=\b\=1,同=或，且Z+3+乙=6,貝UcosQ—5,3—

44

A.B.C.D.

5

14.（2023?全國(guó)?高考真題）已知。。的半徑為1,直線朋與。。相切于點(diǎn)A,直線尸8與。。交于5,。兩

點(diǎn)，。為8C的中點(diǎn)，若|PO|=VL則可?麗的最大值為（）

1+V2n1+2V2

D.-------------

2

C.1+V2D.2+V2

15.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量五=（1,1）花=（1,-1）,若（a+Ab)1(a+/zh),則()

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/1=-1

16.（2023?全國(guó)?高考真題）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

5(“F)=()

17.（2023?全國(guó)?高考真題）

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

18.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)（1€吠5+。（1一山）=2,,則/=（）

A.-1B.0C.1D.2

19.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)z=;惠，則2=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

20.（2023?全國(guó)?高考真題）已知z=W，貝吻一5=()

2+2i

A.-iB.ic.0D.1

21.（2023?全國(guó)?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3—i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22.（2022.全國(guó).高考真題）已知向量五=（3,4）石=（1,0）第=五+而，若＜五,乙＞=＜3無(wú)＞,則t=（）

A.-6B.—5C.5D.6

23.（2022.全國(guó).高考真題）已知向量五=（2,1）,3=（—2,4）,則眄一可（）

A.2B.3C.4D.5

24.(2022.全國(guó).高考真題)已知向量五花滿足|五|=1,|山=月|五一2山=3,則五.1=()

A.-2B.-1C.1D.2

25.(2022?全國(guó)?高考真題)在△ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，BD=2DA.記刀=沅，~CD=n,則而=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

26.（2022?浙江?高考真題）已知ER,a+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

27.(2022?全國(guó)?高考真題)(2+2i)(l-2i)=()

A.—2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

28.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)（l+2i）a+b=2i,其中0b為實(shí)數(shù)，貝lj（）

A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

29.(2022.全國(guó)?高考真題)若z=1+i.則|iz+3z|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

30.(2022.全國(guó).高考真題)若z=—1+Bi,則一—=()

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.—iD.—i

3333

31.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,貝?z|=()

A.1B.5C.7D.25

32.(2022?全國(guó)?高考真題)若i(l一z)=1,貝Uz+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題

33.（2024.上海.高考真題）已知keR,a=（2,5）,B=（6,k）,且力/B,則k的值為

34.（2024.天津.高考真題）在邊長(zhǎng)為1的正方形2BCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=^DE,~BE=ABA+

fiBC,貝/+〃=;F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為4尸中點(diǎn)，則Q?瓦的最小值為

35.（2024.上海.高考真題）已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+：=7n（7neR）,則實(shí)數(shù)加為

36.（2024?天津.高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（逐+i）?（逐-2i）=.

37.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量出3滿足歸一回=8，忖+司=削一司，則同=.

38.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)常的結(jié)果為.

39.（2022?天津?高考真題）在AaBC中，而=a,CB=九。是AC中點(diǎn)，詬=2配，試用N"表示礪為,

若荏1詼，貝亞4CB的最大值為.

40.（2022?浙江?高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形4H42…%的邊&&上，則而孑+頌+-+PAj

的取值范圍是.

41.（2022?全國(guó)?高考真題）已知向量五=（皿3）范=（1,6+1）.若五13,則機(jī)=.

42.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量出B的夾角的余弦值為右且同=1，間=3,則（2五+司?B.

43.（2022.天津.高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)存的結(jié)果為.

第05講平面向量與復(fù)數(shù)(2022-2024高考真題)

(新高考專用)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?北京.高考真題)設(shè)a,B是向量，則“0+3>0-3)=0”是％=—3或日=亦的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知@+3).(2-3)=0等價(jià)于|團(tuán)=\b\,結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)樯?石)?伍一g=口一留=0,可得彥=弘即同=|同,

可知(江+K)■(a—K)=0等價(jià)于|d|=同，

若N=3或N=-3,可得悶=同,BP(d+h)■(d—fe)=0,可知必要性成立；

^(a+6)?(a—fo)=0>BP|a|=\b\,無(wú)法得出N=3或日=一方，

例如a=(i,o)1=(o,D，滿足|團(tuán)=同，但a力另且,4-3,可知充分性不成立；

綜上所述，“值+3)?值—3)=o”是%豐石且a豐—小的必要不充分條件.

故選:B.

2.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)向量,=(久+l,x),3=(x,2),貝U()

A.“x=-3”是91疥的必要條件B.%=-3”是%〃疥的必要條件

C.“x=0”是41"的充分條件D.“x=-1+百”是方〃戶的充分條件

【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【解答過(guò)程】對(duì)A,當(dāng)21%時(shí)，貝展j=0,

所以久?(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0)5=(0,2),故3i=0,

所以21丸即充分性成立，故C正確；

對(duì)B,當(dāng)切不時(shí)，則2(x+l)=/,解得刀=1土舊，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=-1+舊時(shí)，不滿足2(x+l)=/,所以到加不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2024.全國(guó)?高考真題)已知向量日日滿足同=1,忖+2同=2,且(5―24)1另，貝［1同=()

A.-B.—C.—D.1

222

【解題思路】由-22)1另得『2=2港京結(jié)合同=1,B+2同=2,得i+4五?京+4留=1+6定=4,

由此即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉乱?司15,所以(3—2可不=0,即京=2之不，

又因?yàn)橥?l,|a+26|=2,

所以1+4a-b+4b2=1+6b2=4,

從而同=當(dāng)

故選：B.

4.(2024?全國(guó)?高考真題)已知向量N=(0,1)1=(2,x),若31(另一4砂，則久=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【解答過(guò)程】因?yàn)槭?(6-4a),所以3-(b-4a)=0,

所以中—42?3=0即4+/—4尤=0,故x=2,

故選：D.

5.(2023?北京?高考真題)已知向量2,3滿足2+3=(2,3),N—3=(—2,1),則忻『一?瓦2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【解答過(guò)程】向量d1滿足2+b=(2,3),a-b=(-2,1),

所以同2一?山2=(5+b)■(a-fa)=2x(-2)+3x1=-1.

故選：B.

6.(2024?北京?高考真題)已知三=-l-i,貝Uz=()

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【解題思路】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.

【解答過(guò)程】由題意得z=i(-l-i)=1-i.

故選：C.

7.(2024.全國(guó).高考真題)設(shè)z=/i,則z?2=()

A.-2B.V2C.-V2D.2

【解題思路】先根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義寫(xiě)出2,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.

【解答過(guò)程】依題意得，z=-V2i,故z2=-2i2=2.

故選：D.

8.(2024?全國(guó)?高考真題)若z=5+i,貝Ui(2+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【解題思路】結(jié)合共軌復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.

【解答過(guò)程】由z=5+i=2=5—i,z+2=10,則i(5+z)=10i.

故選：A.

9.(2024.全國(guó).高考真題)已知z=—l—i,則|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【解題思路】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】若z=—1-i,則|z|=V(-l)2+(-1)2=V2.

故選：C.

10.(2024.全國(guó).高考真題)若三=1+i,則z=()

z-1

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.l+i

【解題思路】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?+所以Z=1+工=l—i.

z-1z-1z-1I

故選：C.

11.(2023?北京?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,植)，貝版的共軌復(fù)數(shù)彳=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共軌復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【解答過(guò)程】Z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,75),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-1+V3i,

由共輾復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-V3i.

故選：D.

12.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量N=(3,1)1=(2,2),貝I|COS(N+M2—3)=()

A.工B.旦C.匹D.公

171755

【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得怔+b\,\a-b\,但+3)?0-辦從而利用平面

向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)槲?(3,1)石=(2,2),所以之+3=(5,3),江一另=(1,一1)，

則歸+川=V52+32=V34,|a-6|=V1TT=V2,(五+3)?(五一司=5x1+3X(-1)=2,

(a+K)-(a-5)2V17

所以cos值+6,?—&)=

|a+H||a-5|A/34XA/217,

故選:B.

13.（2023?全國(guó)?高考真題）已知向量匕3,滿足|團(tuán)=\b\=l,|c|=V2,且2+3+3=6,貝Ucos〈2-下工一。=

（）

【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍+3+3=6,所以a+3=-乙

即12+b2+2a-b=產(chǎn)，即1+l+2a-b=2,所以五b=0.

如圖，設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,

由題知,04=OB=1,OC=V2,A6MB是等腰直角三角形，

AB邊上的高0DS，AD=y,

所以CD=CO+0D=^+—=—,

22

tan乙4CD=—=—,cosZ-ACD=—p=,

CD3vio

cos(d—c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

故選:D.

14.（2023?全國(guó)?高考真題）已知。。的半徑為1,直線以與。。相切于點(diǎn)A,直線尸5與。。交于3,C兩

點(diǎn)，。為5c的中點(diǎn)，若|尸。|=魚(yú)，則港?前的最大值為（）

1+V21+2V2

A.-----D.-------

22

C.1+V2D.2+V2

【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得而?麗=|-

ysin（2?-J）,或西?麗=之+?sin（2a+勻然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定西?方的最大值.

【解答過(guò)程】如圖所示，\0A\=1,\OP\=V2,則由題意可知:乙4P。

4

當(dāng)點(diǎn)4D位于直線尸。異側(cè)時(shí)或尸8為直徑時(shí)，設(shè)NOPC=a,0<a<-,

4

貝lj：PA-PD=|瓦?|而|cos(a+?)

=1XV2coscrcos(a+

=V2cosa(占cosa-sina)

=coszcr—sinacosa

1+cos2a1

=-----------二sin2a

22

1V2/7l\

=2—丁sin(2a-/

0<a<-,則一叁W2a—四〈三

4444

.?.當(dāng)2a—；時(shí)，方?訪有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)4D位于直線P。同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPCa,0<a<-,

4

則：~PA-~PD=|西.|麗|cos("§

^

=1xV2coscrcos(a—7

^

V-2

=V2coscrcosa+2

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1

=---------------1--sin2a

22

1.V2..71\

=-+-sm(2a+-),

0<a<~,貝『W2a+^<^

4444

當(dāng)2a+W=］時(shí)，刀?前有最大值萼.

綜上可得，西?麗的最大值為等.

故選：A.

15.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量2=(1,1)石=(1,一1),若(2+泥)10+4)，則()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/z=-1

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出2+兀幾a+fib,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【解答過(guò)程】因?yàn)镹=(1,1),b—(1,—1),所以2+A.b-(1+A,1—A),a.+fib-(1+〃,1—〃),

由Q+Ab)1(a+可得，Q+Ab)-(a+而)=0,

即(1+4)(1+“)+(1—4)(1-4)=0,整理得：=-1.

故選：D.

16.(2023?全國(guó)?高考真題)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解題思路】由題意首先化簡(jiǎn)2+i2+2i3,然后計(jì)算其模即可.

【解答過(guò)程】由題意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

則|2+i2+2i3|=|1-2i|=y/12+(-2)2=V5.

故選：C.

17.(2023?全國(guó)?高考真題)「：”),、=()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.

3

【解答過(guò)程】5(l+i)

(2+i)(2-i)

故選：C.

18.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)。€1<(￡1+。(1一山)=2,,則0=()

A.-1B.0C.1D.2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)?a+i)(l—ai)=a—azi+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以｛if;；］。,解得：a=L

故選：C.

19.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)z=gL，則2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解題思路】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軌復(fù)數(shù)的定義確定其共軌復(fù)數(shù)即可.

【解答過(guò)程】由題意可得z=瀉9=占=粵=4=1_21,

1+12+15l-l+lI2-1

則2=1+2i.

故選：B.

20.(2023?全國(guó)?高考真題)已知z=±L貝吻一2=()

A.-iB.iC.0D.1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共軌復(fù)數(shù)的概念得到2,從而解出.

-2i

【解答過(guò)程】因?yàn)閦=三4-所以2=3,即z—2=T

2(l+i)(l-i)4

故選：A.

21.(2023?全國(guó)?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)?1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

22.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量五=(3,4)石=(1,0),5=五+石，a,c>=<b,c>,貝It=()

A.—6B.—5C.5D.6

【解題思路】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

【解答過(guò)程】解：，即=苔，解得

c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<6,>,=卷51cl竺|c|t=5,

故選：C.

23.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量五=(2,1),3=(-2,4),則眄一司()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】先求得五-隹然后求得恒-即

【解答過(guò)程】因?yàn)槲逡?=(2,1)—(一2,4)=(4,—3),所以怔一同=〃2+(-3)2=5.

故選：D.

24.(2022.全國(guó).高考真題)已知向量五,3滿足同=1,向=遍,恒一2升=3,則鼠3=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】\-\d-2b\2=回2—前小+4間2,

又?.?同=1,|山=y/3,\a-2b\=3,

.*.9=1-4a-+4X3=13-4a-fa,

.".d-b=1

故選：C.

25.(2022?全國(guó)?高考真題)在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，=2n4.記刀=沅，而=元，則方=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【解題思路】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA,所以而=2礪，即麗一瓦=2(8？-麗)，

所以而=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

26.(2022?浙江?高考真題)已知氏匕67?,￡1+31=(匕+/6為虛數(shù)單位)，貝!]()

A.a=l,b=-3B.a=—l,b=3C.a=-1,b=-3D.a=l,b=3

【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求Q*.

【解答過(guò)程】a+3i=—1+bi,而a,b為實(shí)數(shù)，故a=—l,b=3,

故選：B.

27.(2022.全國(guó).高考真題)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【解答過(guò)程】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

28.(2022?全國(guó)?高考真題)設(shè)(l+2i)a+6=2i,其中a,b為實(shí)數(shù)，貝U()

A.a=1,b=—IB.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍,b€R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故選：A.

29.(2022?全國(guó),高考真題)若z=1+i.貝U|iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共趣復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出.

【解答過(guò)程】因?yàn)閦=l+i,所以iz+32=i(l+i)+3(l—i)=2—2i,所以|iz+32|=7￥不4=2V2.

故選：D.

30.(2022.全國(guó).高考真題)若z=—1+Bi,則告=()

zz-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-i+—iD.-i--i

3333

【解題思路】由共朝復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

【解答過(guò)程】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)=1+3=4.

z-1+V3i1V3

--------=-------------=-------1-----i

zz-1333

故選：c.

31.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【解答過(guò)程】由題意有z=上里=空興*=-4-3i,故|z|=，一鏟+(—3)2=5.

11-(-1)

故選:B.

32.(2022?全國(guó)?高考真題)若i(l—z)=l,貝!Jz+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法可求Z,從而可求z+N

【解答過(guò)程】由題設(shè)有1—z=；=3=—i,故z—1+i,故z+z—(1+i)+(1—i)—2,

故選：D.

二、填空題

33.(2024?上海?高考真題)已知keR,d=(2,5),3=(6,k),且2〃點(diǎn)則k的值為15

【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【解答過(guò)程】a//b,21=5X6,解得k=15.

故答案為：15.

34.(2024?天津?高考真題)在邊長(zhǎng)為1的正方形2BCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=抄E,而=4瓦I+

面,則幾+〃=2;F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為2尸中點(diǎn)，則初?尻的最小值為-三

3To

【解題思路】解法一：以｛瓦1近｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求鋸，即可得4+小騎=說(shuō),求

AF,DG,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求而?麗的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求就，即可得

2+〃，設(shè)尸(a,-3a),a€[，0],求猊而，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求都?麗的最小值.

【解答過(guò)程】解法一：因?yàn)镃E=|DE,即CE=：B力，則麗=阮+屈=：瓦5+炭，

可得4=[,〃=1,所以4+〃=]；

由題意可知：|近|=|瓦?|=1,瓦5?前=0,

因?yàn)槭瑸榫€段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)赤=kBE=，瓦？+kBC,ke[0,1])

則方=四+前=通+kBE=Qfc-1)BX+kBC,

又因?yàn)镚為4F中點(diǎn)，則赤=DA+AG=-BC+|AF=j(|fc-1)R4+(|fc-1)BC,

可得而?而=[Qfc-l^'BA+kBC]-[|Q/c—1)或+6-fc-1網(wǎng)

2

-(-1k-1+/cQ/c-l

23

又因?yàn)閗e[0,1],可知：當(dāng)k=l時(shí)，都?而取到最小值一三

18

解法二：以2為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則4(一1,0),8(0,0),C(0,1),0(-1,1),E(-川，

可得府=(-1,0),BC=(0,1),BE=(一31),

因?yàn)榍?4而+〃阮=(一尢〃)，貝山一'=一3,所以4+〃=±；

1/1=13

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段BE:y=-3x,xe[-|,0]±,設(shè)為a,-3a),ae[-|,o],

且G為AF中點(diǎn)，貝！JG(今工一ga),

可得4F=(a+1,-3a),DG=(2!—5a-1)

則M-DG=史盧+(-3a)(-|a-l)=5(a+|)2-^,

且ae[-],。上所以當(dāng)a=—|'時(shí),4F,DG取到最小值為一總；

故答案為：|；一總

3lo

35.(2024?上海?高考真題)已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且2+2=爪(爪6/?),則實(shí)數(shù)加為2.

Z

【解題思路】設(shè)z=1+bi,66R且bH0,直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【解答過(guò)程】設(shè)z=1+hi,bER且力W0.

則2+：=1+萬(wàn)+捻=（魯）+（寡》=6，

b2+3

——=TH,

人,解得m=2,

{l+b2

故答案為：2.

36.(2024?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(有+i)■(V5-2i)=7-V5i

【解題思路】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

【解答過(guò)程】（聲+i）?（6一2i）=5+遙］一2V5i+2=7-V5i.

故答案為：7—遍i.

37.（2023.全國(guó).高考真題）已知向量出方滿足恒-司=百，W+向=|2/一可，則同=W.

【解題思路】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令3=2-孔結(jié)合數(shù)量積的

運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】法一：因?yàn)榭?向=|2--向，即0+司2=（加_12,

222

則12+2a-b+6=4a—4d-b+b9整理得產(chǎn)—2d-b=0,

2

又因?yàn)楹恪?b，即僅一E）=3,

則12-2d-b+b2=b2=3,所以同=V3.

法二：設(shè)3=2—3,則=舊濠+3=3+23,21—3=25+3,

由題意可得：（c+2b）=（2c+b）,則產(chǎn)+4,?3+4中=4產(chǎn)+4*3+左，

整理得：產(chǎn)=衣,即同=同=g.

故答案為：V3.

38.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)空的結(jié)果為4+i.

【解題思路】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以2-3i,然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可.

【解答過(guò)程】由題意可得親(5+14i)(2-3i)_52+13i_4+j

(2+3i)(2-3i)-13

故答案為：4+i.

39.（2022?天津?高考真題）在A/IBC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用五,3表示反為一

三3一三五，若荏，反，貝吐4C8的最大值為-.

226

【解題思路】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出反，以優(yōu)可為基底，表示出屈，屁，由4B1

DE可得3點(diǎn)+彥=4對(duì)區(qū)再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（0,0）,B（l,0）,C（3,0）,4（x,y）,由2B1DE可得點(diǎn)4的軌跡為以

”（-L0）為圓心，以r