2023-2024學年湖南省益陽市安化縣高一（下）期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,—1）,則.2=（）

A.IB.72C.2D.2\/2

2.已知兩條不同的直線/,僅和兩個不同的平面a,3下列四個命題中正確的是（）

A.若〃"n,mGa,貝!H〃aB.若〃/a,mGa,則〃/zn

C.若aJ_0,Ica，貝D.若/〃a,Z±/3,貝Ua_L。

3.下列說法中不正確的是（）

A.三棱錐是四面體，正四面體是正三棱錐

B.平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形

C.平行的線段在直觀圖中仍然平行

D.在同一個圓中，圓心和圓上兩點可確定一個平面

4.在△ABC中，若a=7,b=8,cosB=-,則N4的大小為（）

?7RC7R_5TT一江―27r

A-6B-3C-D?9或與

5.根據氣象學上的標準，如果連續5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬.現將連續5天的日平均氣溫（單

位：°C）的記錄數據（記錄數據都是自然數）作為一組樣本，則下列描述中，該組數據一定符合入冬指標的

有（）

A.平均數小于4B,平均數小于4且極差小于或等于3

C.平均數小于4且標準差小于或等于4D.眾數等于6且極差小于或等于4

6.正△ABC邊長為3,M、N為線段的三等分點，則詢.力#=（）

231326

A.—B.2C.—D.—

429

7.△48。的三個內角/,B,。的對邊分別為a,b,c,若a=2ccosB,ccosB+bcosO=則△48。

的形狀是（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

8.在棱長為6的正方體—A13ao1，中，M是3C的中點，點尸是正方體的表面。包括邊

界）上的動點，且滿足/4PO=NA/P。，則三棱錐P—BCD體積的最大值是（）

A.12\/3B.36C.24D.isV3

第1頁，共16頁

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.從1,2,3,…，9中任取三個不同的數，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（）

A.“三個都為偶數”和“三個都為奇數”

B.“至少有一個奇數"和''至多有一個奇數”

C.“至少有一個奇數”和“三個都為偶數”

D.“一個偶數兩個奇數”和“兩個偶數一個奇數”

10.已知向量記=（3,—4）,T=（2,1），則下列結論正確的是（）

A.同=西|了|B.才〃（3才+27）

C.b1.（5才—26）D.cos，7^—1）＞=一4；；°

11.如圖，在棱長為1的正方體48。。一4_81。山1中，點E,F,G分別功

是棱CCi，CB,CD的中點，尸為線段上的一個動點，平面a〃平面

EFG,則下列說法中正確的是（）

A.不存在點尸，使得CPL平面斯G

B.三棱錐P—EFG的體積為定值

C.平面a截該正方體所得截面的面積的最大值為

D.平面a截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.現有一組數據按照從小到大的順序排列如下：4,6,7,7,8,9,11,14,15,19,則這組數據的上四

分位數為.

7

13.已知△AB。中，AB=4,AC=7,為邊上的中線，若40=則80=.

14.三棱錐P—ABC中，P在底面的射影。為△ABC的內心，若AB=4,BC=3,PO=5,

則四面體PABC的外接球表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知△48。的內角B,。所對的邊分別為a,b,c,向量求=（a,\行b）,7?=（cosA,sinB）,且N〃廳.

第2頁，共16頁

(1)求角N;

⑵若&=通，求6+c的取值范圍.

16.(本小題15分)

如圖所示，在圓錐。。中，。為圓錐的頂點，。為底面圓的圓心，AB是圓O的直徑，C為底面圓周上一點,

四邊形NODE是矩形.

(1)若尸是3C的中點，求證：OF〃平面/CE；

7T

⑵若43=2，^BAC=AACE=-,求三棱錐4—BC。的體積.

O

17.(本小題15分)

某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同

的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮

率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為?,納(5=1,2,…10).試驗結果如下：

試驗序

12345678910

號i

伸縮率

545533551522575544541568596548

0

伸縮率

536527543530560533522550576536

Vi

記的=?—%(，=1,2,???,10),記Zi,Z2,…，zio的樣本平均數為,樣本方差為$2.

⑴求2,52；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高.(如果

則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否

V10

則不認為有顯著提高)

第3頁，共16頁

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐S—ABCD中，四邊形是邊長為2的菱形，ZABC=60°，△S/0為正三角形，￡,

/分別為S3的中點.

(1)若平面S4D,平面/BCD,求直線與平面/BCD所成的角的正弦值；

(2)求證：平面4s8,平面SBC.

19.(本小題17分)

雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝

者組，失敗者編入負者組繼續比賽，之后的每一輪，在負者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似,

只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.4、2、C、

D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①N獲得季軍的概率；

②。在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

(2)若/的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當，求。進入決賽且先

前與對手已有過招的概率.

……6—

亞:軍花軍

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：復數Z對應的點的坐標是(1,-1),

貝！J2=1—i>z=l+1，

故=—e)(l+E)=2.

故選：C.

先求出z,再結合共軟復數的定義，以及復數的四則運算，即可求解.

本題主要考查共軌復數的定義，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：兩條不同的直線/,加和兩個不同的平面a,/3,

對于若mGa,貝！J〃/a或/ua，故/錯誤；

對于8,若〃/a,mCa,貝！I/與加平行或異面，故8錯誤；

對于C,若a_L/3,IGa>貝!J/與P相交、平行或Zu。，故C錯誤；

對于。，若I邛,則由面面垂直的判定定理得故。正確.

故選：D.

對于/,〃/a或/Ua；對于3，/與加平行或異面；對于C,/與。相交、平行或/Q0；對于D,由面面

垂直的判定定理得

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間思維能力，是中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：三棱錐是四面體，正四面體是正三棱錐，所以/正確；

平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形，否則不是平行六面體，所以3正確；

平行的線段在直觀圖中仍然平行，正確；

直徑上的兩點與圓的圓心，不能確定一個平面，所以。不正確.

故選：D.

利用棱錐與四面體的關系判斷4平行六面體的性質判斷5直觀圖的性質判斷C；反例判斷。.

本題考查幾何體的簡單性質的判斷，直觀圖的性質的判斷，是基礎題.

4.【答案】B

第5頁，共16頁

【解析】解：a=7,6=8,cosB=-,

sinB=\/1-

.,.由正弦定理可得.，a-smB

smA=-----------

b

■：a<b,N為銳角,

7T

A=

3

故選：B.

由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinB的值，由正弦定理可得sinA，結合大邊對大角可求/為銳

角，利用特殊角的三角函數值可求/的值.

本題主要考查了同角三角函數基本關系式，正弦定理，大邊對大角，特殊角的三角函數值在解三角形中的

應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于舉出反例：0,0,0,0,15,其平均數為3小于4,但不符合入冬標準，/錯誤；

對于3,假設有數據大于或等于10,由極差小于或等于3知，此組數據最小值為大于或等于7”與平均值小

于4矛盾，故假設不成立，8項正確；

對于C,舉出反例：1,1,1,1,11,平均數為3,且標準差為4,但不符合入冬標準，C錯誤；

對于。，舉出反例：6,6,6,6,10,其眾數等于6且極差等于4,但不符合入冬標準，。錯誤.

故選：B.

舉出反例可得/、C、。錯誤，利用反證法可得3正確，綜合可得答案.

本題考查平均數、眾數、極差和標準差的定義，注意平均數、眾數、極差和標準差的計算公式，屬于基礎

題.

6.【答案】C

【解析】解：因為是邊長為3的等邊三角形,

第6頁，共16頁

(法一)由題意，A^=AS+W=A^+=AS+-AS)=|AG+

=A§+m^=AS+冠=A§+:屈—砌=9+押AS-A^=1M福cos60。=I，

由平面向量數量積的定義可得幅-A5=\A5\\A5\COS60°=I，

所以，AA!-A^=

2c592c13

—x9+—x—+—x9=——

99292

所以，刀加病=（。—

故選：c.

法一：用血、前表示向量H/、頷,再利用平面向量數量積運算性質可求得:亦的值；

法二：以2。所在直線為x軸，以3c垂直平分線/。為y軸建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的

坐標運算可求得4點?而的值?

本題考查平面向量的數量積及其性質，屬中檔題.

7.【答案】D

浮浮_八2

【解析】解：因為a=2ccos_B,所以Q=2CX----------，整理得b=c，

2ac

又ccos_B+bcos。=A/2C?所以sinCCOSB+sinBCOSC=V2sinC，

即sin(B+C)=sin4=A/2sin。，即a=A/^C，

/2

又Q=2CCOS_8,所以，=2ccosB,得cos_B=-^-，

7r7T*7T

因為_Be(0,7r),所以B=w，所以。=z，A=2,

故△46。為等腰直角三角形.

故選：D.

第7頁，共16頁

由ccosB+bcos。=利用正弦定理邊角互換可得a=\/^c，代入a=2ccos_B可得5,然后利用余弦

定理代入a=2ccos3可得b=c，然后可得答案.

本題主要考查了余弦定理，和差角公式在三角形形狀判斷中的應用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?在棱長為6的正方體

48。。一4131。1。1中，”是2c的中點,

點尸是面OCGOi所在的平面內的動點，

且滿足/APD=AMPC,

.-.RtAADF^ARtAPMC,

ADPDc

,------=------=2,

1,MCPC

即PD=2PC,

設。。=/，。。=八，作。。，。。，

x//+城=2J(6—a;)?+垓,化簡得：3/?=—3/+48%—144,0(立W6,

根據函數單調性判斷：/=6時，3層最大值為36,

月最大值=2遮＞

?.?在正方體中P0上面BCD,

二.三棱錐P—的體積最大值：jx|x6x6x2\/3=12遍.

故選：A.

根據RtZVLDPs^Rt^PMC,PD=2PC,利用體積公式求解得出P。，。。，求解。尸最值，根據勾

股定理得出3必=—3/+482—144，0W/W6,再由二次函數的單調性求產。的最大值，代入棱錐體積

公式得答案.

本題考查了空間幾何體中的最值問題，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算

求解能力，考查數形結合思想，是中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：從1?9中任取三數，按這三個數的奇偶性分類，有四種情況：

⑴三個均為奇數；⑵兩個奇數一個偶數；（3）一個奇數兩個偶數；⑷三個均為偶數，

所以選項/、。是互斥但不是對立事件，選項C是對立事件，選項3不是互斥事件.

故選：AD.

第8頁，共16頁

根據互斥事件和對立事件的概念判斷即可.

本題考查互斥事件和對立事件的概念等基礎知識，是基礎題.

10.【答案】CD

【解析】解：對于/，因為記=(3,—4),了=(2,1)，

所以|"a>|=J32+(-4)2=5,|6|=\/22+1=A/5>所以國|=\/5|b\>故/錯誤；

對于8,因為才=(3,—4),~b=(2,1),所以3才+27=3(3,—4)+2(2,1)=(11,—10),

因為3*(-10)-(一4"11=11刈，所以才與(32+2萬)不平行，故3錯誤;

對于C因為記=(3,—4),T=(2,1),所以5才一2了=5(3,—4)—2(2,1)=(11,-22),

所以了.(5力—2了)=2x11+1義(一22)=0，所以了，(5力一27)，故C正確;

對于。，因為方=(3,-4),了=(2,1)，所以才—了=(3,—4)—(2,1)=(1,-5)，

所以cos<7'育一屋;二P2x1+1x(-5)33A/130,,十丁均

>故。正確.

V5xV26loU

故選：CD.

由平面向量的坐標運算逐一判斷各選項即可.

本題考查平面向量的坐標運算涉及共線，垂直，夾角等，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對/選項，根據三垂線定理及線面垂直的判定定理易證。4,

平面EFG,

又C41與直線ADi是異面直線，又P為線段上的一個動點，

.?.不存在點P使得CP1平面EFG,選項正確；

對2選項，易知A0J/FE,.?.可得AOi〃平面EFG,

又尸為線段上的一個動點，」.P到平面跖G的距離為定值，

又AEPG的面積也為定值，.?.三棱錐P—EFG的體積為定值，,選項正確；

對C選項，當平面a截該正方體所得截面的面積的最大時，截面為圖中邊長為避的正六邊形

2

.?.最大截面面積為6x1x邈x遮x遇=心芻，.?.。選項錯誤；

22224

對。選項，如圖，平面a截該正方體所得截面可能是三角形場。14或六邊形的二。選項正確.

故選：ABD.

第9頁，共16頁

作出圖形，根據三垂線定理及線面垂直的判定定理，線面平行的性質及三棱錐的體積公式，面面平行的判

定定理，即可分別求解.

本題考查立體幾何的綜合應用，三垂線定理及線面垂直的判定定理，線面平行的性質及三棱錐的體積公式,

面面平行的判定定理，屬中檔題.

12.【答案】14

【解析】解：因為這組數有10個，所以10x75%=7.5,

這組數據的上四分位數的為值為第8位的數14.

故答案為：14.

根據百分位數的概念進行估計即可.

本題主要考查百分位數的概念，屬于基礎題.

13.【答案】9

【解析】解：設8。=2①，因為。是5。中點，所以RDuCOnj：,

_15

492“2

AD2+BD2-AB2_y+xT6一丁

在△4B0中，由余弦定理得cos/ADB

2AD-BD77x

2x-x

2

72147

同理,在△A。。中，=乙4，

7x

因為,可得cosN40B=—cosN4O。,

159￡解得/=會舍負），可知8。=2/=9.

所以/x

~T:

7x—7x

故答案為：9.

設8。=2立，則8。=。。=/,分別在與△40。中利用余弦定理，結合

cos/4OB=—cos/4。。建立關于x的方程，解出x的值，即可得到2C的大小.

本題主要考查三角函數的誘導公式、余弦定理及其應用等知識，屬于基礎題.

14.【答案】417T

第10頁，共16頁

【解析】解：三棱錐底面為直角三角形，。為內心,

由43=4，BC=3,48rBe可得4。=5，

以3為坐標原點，BA,8c分別為x,y軸建立平面直角坐標系，如下圖所示:

設。內切圓半徑r,易知△46。的周長為/=12，面積為S=萬x3x4=6,

由等面積可得S=]2r,解得r=l,

設四面體P48c外接球球心為。，

所以易知0'在平面/8C射影為NC中點。，易知0（l,l）,Q（2，t）,則OQ=M5,

22

設O'P=O'C=R，

則O'Q2+QC2=凡2,

且（P0-，岳—Q02）2+（彳）2=4，即（5—/夫2—爭2+|=JR2,

解得屈=學，

4

則四面體尸/8C的外接球表面積為4TFR2=417r.

故答案為：417T.

根據三棱錐P-的幾何特征可知△AB。內切圓半徑為r=1,所以可得四面體P/3C外接球球心為。

在平面/3C射影為ZC中點0,根據勾股定理找出等量關系可解得外接球半徑，即可求出結果.

本題考查了四面體外接球的表面積計算，屬于中檔題.

15.【答案】解：⑴因為方=（a,/jb）,it=（cosA,sinB）,且N〃必，

所以asinB=\/36cosA>由正弦定理得sinAsinB=\/3sinBcosA>

第H頁，共16頁

因為△AB。中，Be(0,7r),可得sinB〉O,

7T

所以sinZ=A/^COS4可得tanj4=A/^，結合AGQTT),可知4=可；

o

(2)根據余弦定理，得。2=62+。2—2bccos五7T=3,整理得(6+c)2=3+3bc,

由基本不等式，得兒((號)2,當且僅當b=C時，等號成立.

Q

所以(6+c)2(3+-(b+c)2,解得b+cW2\/3,

結合△ABC中，b+c＞a=V3＞可得、用＜b+c(2\/5，即b+c的取值范圍是2通］.

【解析】(1)根據市〃必，利用兩個向量平行的條件建立關系式，根據正弦定理與同角三角函數的關系，化

簡得tan/=g，進而求得角/的大?。?/p>

(2)利用余弦定理列式，化簡得到(6+c)2=3+3bc,然后利用基本不等式解出b+c(28，結合''三角

形兩邊之和大于第三邊”，求出b+c的取值范圍.

本題主要考查兩個向量平行的條件、正弦定理與余弦定理、基本不等式及其應用等知識，屬于中檔題.

16.【答案】⑴證明：依題意，連接OR

因為。、/分別是/8、5c中點，

所以。尸〃，

又因為ORC平面NCE,ACU平面/CE,

所以OF〃平面/CE,

因為四邊形是矩形，ODUAE,

同理有0。〃平面/CE,

又。FnOO=。，OF,oou平面。)凡

所以平面。。F〃平面ZCE,

又DFCZ平面ODF,

所以。F〃平面40E.

(2)解；因為在圓錐。。中，OO_L平面/8C,。0。平面/8?！?

所以平面平面ABC,

因為平面ABOEn平面ABC=AB,

在平面ABC內過點。作CGL4B于點G,

所以CG1平面ABDE,

第12頁，共16頁

7T

在Rt^ABC中，AB=2,NBA0=—,

3

/o

所以4。=1,BC=焉,。6=^，

所以4及L平面/8C,ACU平面/8C,

所以4EUC，

7T

又4。=1，AACE=~,

0

所以AE=A/3，

則VA-BCD=Vc-ABD=1X^X2XA/3X—=:'

所以三棱錐A-BCD的體積為

2

【解析】(1)根據給定條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定性質推理作答.

(2)證明AE_L平面/8C,再利用等體積法求解作答.

本題考查直線與平面的位置關系，三棱錐的體積，解題中需要一定的邏輯推理能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據表中數據，計算a=劫一%(，=1,2,…，10),填表如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率g545533551522575544541568596548

伸縮率Vi536527543530560533522550576536

&=◎-Vi968-8151119182012

計算平均數為z=—〉:Zi=x(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

方差為S2=不才(%—2)2=，[(—2)2+(-5)2+(—3)2+(-19)2+42+02+82+72+92+I2]=61.

2=1

(2)由(1)知，5=11，=2\/61<2\/6^25=5-

所以5'Zi/?，認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.

Vio

【解析】⑴根據表中數據，計算&=?[=1,2,…，10),求平均數已和方差52.

(2)根據￡和21/Z，比較大小即可得出結論.

Vio

本題考查了平均數與方差的計算問題，也考查了數據分析與運算求解能力，是基礎題.

18.【答案】⑴解：因為△S/。為正三角形，且￡為的中點，

所以SEL4D,

第13頁，共16頁

又平面SAD，平面/BCD，平面54。門平面48。。=40，SEU平面S4D，

所以SE_L平面ABCD,

所以/SBE即為直線8S與平面N3CD所成的角，

設菱形ABCD的邊長為2a,則SE=，^a，

在△4BE中，由余弦定理知，BE2=AB2+AE2-2AB-AEcosAD=4a2+a2-2-2a-a-(-j)=7a2,

所以BE=，7a，

在RtASBE中，SB=y/SE2+BE2=，3&2+7a2=VlQa^

故直線BS與平面ABCD所成的角的正弦值為弱.

10

(2)證明：取SC的中點G,連接EG,FG,

因為尸是S3的中點，所以FGHBCUAE,FG=^BC=AE,

所以四邊形/EG尸是平行四邊形，所以4F7/EG,

在菱形/BCD中，ZABC=60°,所以△A。。為正三角形，

因為△SA0為正三角形，

所以△4。。g△S4D,所以CE=SE，

又G是SC的中點，所以EGJ_S。，

所以4E1S。，

因為S4=4D=AB,且歹是S3的中點，所以

又SCCSB=S，所以4FL平面S8C,

因為4FU平面NS3,

所以平面4s8,平面SBC.

【解析】(1)利用面面垂直的性質定理可得SEJ_平面/8CD，從而知/SBE即為所求，再結合余弦定理與

銳角三角函數，求解即可；

⑵取SC的中點G,連接EG,FG,先證四邊形NEG歹是平行四邊形，可得4F7/EG,再證EGLSC，從

而知4F1S。，結合AfUSB,可得平面SBC,然后由面面垂直的判定定理，即可得證.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質定理，線面角的定義與求法是解題

的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

第14頁，共16頁

19.【答案】解：(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%,即概率為;,

①由題意，第一輪比賽/,。一組，B,。一組，

要/獲得季軍，則/進入勝者組，后續連敗兩輪，或/進入負者組，后續兩輪先勝后敗，

所以N獲得季軍的概率為1x(1—3X(1—3+(1—3x[x—=

2222224

②設也表示隊伍。在比賽i中勝利，〃表示隊伍D所參加的比賽i中失敗，

事件