2023-2024學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市新邵縣高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，共46分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足11”"：一"，是虛數(shù)單位?,則：（）

A.1tB.21?C.-2-1D.2?J

2.在\1'<中，“1小，”是“-H!.1，”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為乙譯出密碼的概率為（）;則密碼被破譯的概

率為（）

A.(IllB.(),SC.07D.0.2

4.若"7、"、/表示不同的直線，-t>，表示不同的平面，則下列推理正確的是（）

A.若1""，r<",則……B.右.....11-?,則…,

C.若…」，J,貝!JmrD.若I"…>',則-1

5.下列命題正確的是（）

A.對(duì)于任意非零向量，「、/；、，，若向量,「、在向量，?上的投影向量相等，則十：

B.若/,*,,,,則一定成立

C.向量.［不與.?力是共線向量，貝UN、B、C、。四點(diǎn)一定共線

D.若了，…，且.，，「，：，貝！I，與了.「所在直線的夾角是,W

6.在；1小中，〃川，若Vi?“「八，則：的值為（）

A.「B.C.~D.

3232

。是的內(nèi)心，若其中

7.在.中，=7,W*b,「八11,

".I,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）

4111v'6IIv6c「

A.DB.C.|3D.6、

33v

8.球缺指的是一個(gè)球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設(shè)球的半徑

為R,球缺的高為人，則球缺的體積「圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直徑

3

的球在圓錐外的體積為（）

第1頁(yè)，共15頁(yè)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，.，…，，,，其中，.是最小值，「是最大值，貝!1()

A.「，，h,「，「，的平均數(shù)等于一，，?，…，「，的平均數(shù)

B.，」，「，「.的中位數(shù)等于J,，…，八的中位數(shù)

C.1,C,一，.1.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于一，心，…，:，的標(biāo)準(zhǔn)差

D.,，一一的極差大于了，匚，…，，，的極差

二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

10.已知向量./=I.Ib,-,2i,貝!1()

A.bB.若(/?'/b，則,r=2

C.若丁_方,則r=[D.ITT-V|>v12

11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形48CD中，點(diǎn)E是45的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是4D上的動(dòng)點(diǎn)，將

1/〃，廠/)/分別沿DE,。尸折起，使4C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G,則下列結(jié)論正確的是()

AP________D

A./"；ir

B.G到平面DEF的距離為2

3

C.若BG//面E"，則二面角“LIP的余弦值為

3

D.四面體IN廠外接球表面積為門(mén)-

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.-:為虛數(shù)單位I

13.已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為.

14.如圖，在平面中，圓。是半徑為1的圓，si2，設(shè)3,C為圓上的一—

任意2個(gè)點(diǎn)，則,13.旗的取值范圍是.

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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

某地區(qū)突發(fā)小型地質(zhì)災(zāi)害，為了了解該地區(qū)受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失，制定合理的幫扶方案，研究人員經(jīng)過(guò)調(diào)

查后將該地區(qū)所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失情況統(tǒng)計(jì)如圖所示.

I求。的值；

」求所有受災(zāi)居民的經(jīng)濟(jì)損失的平均值；

1，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從經(jīng)濟(jì)損失在［1（NMI山的居民中隨機(jī)抽取8人，則在11（MM”川I的居民有多

少人.

16.?本小題15分）

在I/"中，角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若"一廠.v-in|.

I求/;

若“的面積為，,求」〃］的周長(zhǎng).

17.?本小題15分）

已知向量;，廠的夾角為，“，且，；2.0）.

n?若求的坐標(biāo)；

「若；了',，，「，\求，:\'/的最小值.

18.?本小題17分，

某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、

乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類(lèi)推，每

第3頁(yè)，共15頁(yè)

局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽

結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為1,且每局比賽相互獨(dú)立.

2

11求丙每局都獲勝的概率；

求甲獲得比賽勝利的概率.

19.?本小題17分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面/BCD為直角梯形，.1〃=，AB=XI)=1UC=2,

^PAD^^BAD.

IV為PC上一點(diǎn)，且八u\\K',當(dāng)/Y//平面DM3時(shí)，求實(shí)數(shù)、的值；

，設(shè)平面尸40與平面P3C的交線為/,證明，面48CD；

⑶當(dāng)平面產(chǎn)與平面PBC所成的銳二面角的大小為I；時(shí)，求PC與平面/BCD所成角的正弦值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

兩邊同乘以I,2,的共鈍復(fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)運(yùn)算求得，一，進(jìn)而得解.

【解答】

解：由題意可得11?2，」14-"12.'10.S.,

.-.2=2+1./J=2-i.

故選：A

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查充分條件和必要條件的判斷，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：在中，1II17」，

由、iu.lvj,得。"“附或⑶

反之，若人＜30,則、iu.l.

故"A＜W是24＜：”的充分不必要條件，

故選：.1.

3.【答案】C

【解析】解：密碼被破譯的概率為1(1-0.4)(1-0^)=0.7.

故選:C.

求得密碼沒(méi)有被破譯的概率，用1減去沒(méi)有被破譯的概率，即為密碼被破譯的概率.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)用.

4.【答案】B

【解析】解：m、〃、/表示不同的直線，〃、，表示不同的平面，

對(duì)于若則機(jī)與“相交、平行或異面，故/錯(cuò)誤；

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對(duì)于3,若…，一n則由線面垂直的性質(zhì)得”，，「，故3正確；

對(duì)于C,若mJ,“I/,則加與“相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于Z),若…”，…，’,則r與J平行或相交，故。錯(cuò)誤.

故選：B

對(duì)于/,加與w相交、平行或異面；對(duì)于8,由線面垂直的性質(zhì)得小：「；對(duì)于C,加與〃相交、平行或異

面；對(duì)于。，，1與，平行或相交.

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于由投影向量定義知3；…"'''八.，‘、,.：,

IcIIcI

則“、廠不一定相等，所以N錯(cuò)誤；

對(duì)于3,若，「7；則有m-兀o,

故“」「不一定成立，所以8錯(cuò)誤；

對(duì)于c,向量[，：與「小是共線向量，

則4,B,C,。四點(diǎn)一定共線，顯然不正確，

可能A8〃CD,即c錯(cuò)誤；

以。/,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,

WJT+f=o?>了一方=瓦(

?/1^|=|j]=1,0*-fe|)

041\()llAl：,

〃是等邊三角形，

:.ZBOA=3.

在菱形O4C2中，對(duì)角線。。平分.”()1,

?1與“所在直線的夾角為.川.

所以。正確.

第6頁(yè)，共15頁(yè)

故選：1)

根據(jù)投影向量的概念即可判斷/錯(cuò)誤；

根據(jù)向量運(yùn)算可以判斷8錯(cuò)誤；

向量公與是共線向量，可能AB〃CD，C錯(cuò)誤；

根據(jù)幾何圖形可以判斷。正確.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：21)\,

(fi(7)-ini-'A1}<75-2|(7；-c.il,

33

,ch_：w/)乂」，(切="'1-

故選：，

利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理得到r/jxcr>i，再與已知對(duì)比得到'，八的值即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查軌跡方程，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以。「為鄰邊的平行四邊形,

其面積為；/面積的2倍是關(guān)鍵.

【解答】

解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以<〃，'，><'為鄰邊的平行四邊形，其面積為’

面積的2倍.

在/.1/"中，設(shè)內(nèi)角力,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

由余弦定理可得“，二i/?「2bccwA，代入數(shù)據(jù)，解得BC=7,

設(shè)/.1〃「的內(nèi)切圓的半徑為r,貝IJ兀?」解得「一人"，

223

而11-2V后7v(i

4￡?>?>

第7頁(yè)，共15頁(yè)

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為

故答案選B.

8.【答案】A

【解析】解：作圓錐的軸截面P43,軸截面與球。內(nèi)接圓錐底面交于兒及,

所求體積即為球缺廠I，1；■與內(nèi)接圓錐八，1的體積之差,

軸截面頂角為.，設(shè)圓錐底面半徑為心

則2--，即，」，則圓錐入的高為:,

則1八，.

8118斤

球缺的高為，，貝八常一375

故選：.1.

作圓錐八，的軸截面P4B,軸截面與球。內(nèi)接圓錐底面交于I/“，分別求出球缺廠!?'：：與內(nèi)接圓錐

的體積，即可求解.

本題考查了球缺和圓錐體積的計(jì)算，屬于中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)/：設(shè)「，口，心，「的平均數(shù)為〃?，口，.「，???，八的平均數(shù)為〃，

(>112

因?yàn)闆](méi)有確定211I-一，」?【?，「”的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷他，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得mn=3.5：

第8頁(yè)，共15頁(yè)

例如1,1,1,1,1,7,可得…1,H,，，，，；

例如1,2,2,2,2,2,可得W2."，?,/"；故/錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橐皇亲钚≈担氖亲畲笾担?/p>

則八，1,」，,、的波動(dòng)性不大于『，，，??,，，，的波動(dòng)性，即了，一，一,7的標(biāo)準(zhǔn)差不大于了，

，/，的標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù),，'i7-1.fi-s-in.I：-,

6

標(biāo)準(zhǔn)差

10,則平均數(shù)…；］.,—、+Ill)=7,

4,6,8,

標(biāo)準(zhǔn)差/

顯然.、「',即、「立；故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)5：不妨設(shè)一->'''-JI,

可知「.，。，「I,「的中位數(shù)等于「，/」，???，「的中位數(shù)均為‘」‘，故5正確；

?>

對(duì)于選項(xiàng)。：不妨設(shè)「

則打J1「,一，當(dāng)且僅當(dāng)，,,，，時(shí)，等號(hào)成立，故。錯(cuò)誤.

故選：B

根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的計(jì)算，是中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量平行和垂直的判斷.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于/,向量(l,r-=(JT,2)，若丁?丁，則有｛:二;.2，無(wú)解，則必有.//?，4正確;

對(duì)于￡若丁"，則有2—…li,解可得J-2或-1,3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若■,,,則「",.,IIII，解可得,二，C正確；

第9頁(yè)，共15頁(yè)

對(duì)于。，了，:：[,,貝I]-K」=21/-.2；,2,必有Ii-正確;

故選：

11.【答案】ACD

【解析】解:由題意可得CE（；12，連接ERBD,設(shè)“P

EFCBD=H,

由正方形的對(duì)稱(chēng)性可得以為防的中點(diǎn)，則//（；//,/".〃/）,//%「.二:7

所以/./平面助G,即有//“（；，故4正確；次

由題意可得/〃；LC/「，IX；1（；h,即有平面GE/，』/"'、、///

VD-GEF■：X4X：*2X2■:BF

設(shè)G到平面DEF的距禺為d,由、」/-2%2-\lb-i26,

所以1」，」?I.1,?11/4、（i,解得〃-?故5錯(cuò)誤；

o*>

若/“；〃面EFP,平面/“；。平面￡廠八=「〃，可得/",【/〃，

由〃"I!,可得廠〃I/./，又EF工DH，則NPHD為二面角。II八的平面角.

由正方形4BCD可得〃/）一4V2，即有〃〃一V2，0〃3\2，

而霽■器，0G=4,可得皿》=3,

________IX4-3—9

又，"=/PE1-￡m=4+1-2=V5，則COBND〃〃：，故C正確；

2x3/2xv3??

由于（/「（；_2,EF=2?，可得GELGF，又GE1G。，GF1GD，

可把三棱錐（，/〃「補(bǔ)成以GE,GF,G。為棱的長(zhǎng)方體，

可得四面體、/〃：/外接球的半徑":\:，2-I、Z,

則四面體。/比.，,外接球表面積為|距,'1,故。正確.

故選：

由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷/;由等積法和棱錐的體積公式可判斷3;由線面平行的性質(zhì)和二面角的定

義，結(jié)合余弦定理可判斷C;可將四面體1/，/f補(bǔ)成以GE,GF,G。為棱的長(zhǎng)方體，可判斷/L

本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，以及點(diǎn)到平面的距離、二面角和球的表面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)

算能力、推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】0

第10頁(yè)，共15頁(yè)

【解析】解：由題意得，

」的周期為4,

則?+，：+J-'"16|，十，?'十J十，"filMii,-I-?-I)0.

故答案為：I).

利用i的指數(shù)幕的周期可計(jì)算得出所求代數(shù)式的值.

本題考查7?的指數(shù)塞的周期等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

【解析】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,

由題意可得，2:2Li.I,

解得/=2，

所以該圓錐的母線長(zhǎng)為？

故答案為：？

利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，列式求解即可.

本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，半

徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】[-2.6]

【解析】解：若。為8C中點(diǎn)，令上〃「夾角為"，如下圖示，

-*HT'\:-2又⑷廣ii.2,且「5〃-1,

：'-2|S?|=："<2,

此時(shí)，當(dāng)」時(shí)最小值為-2；

由，，八〃-I,貝///：J!!<'<111(''-'2/!('■、/“；-?，’2；

21'?2

此時(shí)，當(dāng)」時(shí)/?；最大值為6；

第H頁(yè)，共15頁(yè)

綜上，充.就的取值范圍是［-2,同.

故答案為：」

若。為3C中點(diǎn)，令?yuàn)A角為"，由1八。廠―(7將其化為關(guān)于〃「和〃的關(guān)系式,

討論「小心I、「「"2I結(jié)合WII」求目標(biāo)式的范圍.

本題考查向量數(shù)量積的范圍的求解，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

15.【答案】解：1)依題意,(0.00003X2+a+0.00015+0.0002)x2000=1,解得aIIi7"'八

口所有受災(zāi)居民經(jīng)濟(jì)損失的平均值為

1000X0.3+3000x0.4+5000x0.18+7000x0.06+9000x0.06=3360元.

：由川得經(jīng)濟(jì)損失在［152.3”川，和在［(加認(rèn)、，“"11的人數(shù)比例為3:1,

由分層抽樣知，經(jīng)濟(jì)損失在M八的居民有X.’“人.

I

【解析】11根據(jù)直方圖中頻率和為1列方程求參數(shù)；

「，根據(jù)直方圖計(jì)算平均值；

根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)求在ML儀J00)的居民數(shù)量.

本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：1由八、.Inin」，「，、及正弦定理得：

sin,4<x?C+、GMUAMBC=?iiiB+shiC

因?yàn)椤n〃--'iniT—\-(,;—”*(1-sin+c乂sinC,

所以v3、iii.l、】n0<n>A>inf、ih('T)

由于\3.in.l!Iin

所以、in：l-\\,

(i2

XH\”，故.1

⑵由題得ANBC的面積S=4r￡inA=9\8,故6c36①,

2

由余弦定理得：“”卜.，-2k?…6.4,

又“二6,故廠一,二72②，

由①②得：「12,

所以IBC的周長(zhǎng)為a+〈+<?.18.

第12頁(yè)，共15頁(yè)

【解析】1由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式可得、.1由輔助角公式可

得、in.1'1進(jìn)而可得/的值；

62

I2由三角形面積公式及余弦定理可求得八一12,進(jìn)而可得,7"「的周長(zhǎng).

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：111設(shè)力=|：］“J,由|=2，得/了?+，2?即廠-二廠-,

而向量了，的夾角為“，則<一廠……?.廠2.2山川川一），又./<3，

即2y2，解得/1,于是1/-二\：，，即有力?I\X?或人\I.\3I>

所以/；的坐標(biāo)是II.一卜或II.-\31.

⑵由（才+b），（于—b），得（丁+b）?（丁—b）=0，即■丁’，因此|。|=2，

L2?2?ill」，

因此一.一.、」?「:\,〕.」「「'/?VV'J'--'\--''-'v

一八\，\一1.2V，、」「-’7；，，當(dāng)且僅當(dāng)X，時(shí)取等號(hào)，

V241

所以當(dāng)入—I時(shí)，”：、二取得最小值\」

【解析】"設(shè)出，，的坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的定義列式求解作答.

［利用垂直關(guān)系的向量表示求出：,，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律建立函數(shù)關(guān)系，求出最小值作答.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量模的最值的求解，屬中檔題.

18.【答案】解：I根據(jù)題意，丙每局都獲勝即比賽4局結(jié)束比賽，

其中第二、三、四局都是丙獲勝，

則丙每局都獲勝的概率尸=1*1x］=!；

222?

；，根據(jù)題意，甲比賽獲勝，分3種情況討論：

設(shè)甲獲勝為事件/,乙獲勝為事件2,丙獲勝為事件C,

①比賽三局結(jié)束比賽，即甲連勝三局，其概率舄=*1=1；

2228

②比賽五局結(jié)束比賽，有6種可能：

AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,BCAAA,

此時(shí)甲獲勝的概率h_6>J「—」，

。9It；

第13頁(yè)，共15頁(yè)

③比賽七局結(jié)束比賽，有8種可能:

AABCCBA,ACBBCAA,ACBACBA,ACCABBA,BBACCAA,BCAACBA,BCABCAA,BCCBAAA,

此時(shí)甲獲勝的概率已=8*,

216

則甲獲得比賽勝利的概率p=a+凸+R=

o16loo

【解析】本題考查概率的應(yīng)用，涉及互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率，屬于中檔題.

I，根據(jù)題意，丙每局都獲勝即比賽4局結(jié)束比賽，其中第二、三、四局都是丙獲勝，由相互獨(dú)立事件的概

率公式分析可得答案；

，根據(jù)題意，分3種情況討論甲獲勝的情況，由互斥事件的加法公式計(jì)算可得答案.

19.【答案】解：1如圖，連接/C交8。于點(diǎn)N,連接MV,