專題03導數及應用（選填題）

五年考情?探規律

考點五年考情（2020-2024）命題趨勢

2024全國甲卷I卷

考點1利用導2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

數求函數單調

2021甲卷I卷

性，極值最值2020I卷III卷

構造函數利用導數求函數單調性

從而進行比較大小，利用導數求函

數的極值點以及最值問題收高考

考點2構造函2023甲卷

必考題型

數利用導數求2022甲卷I卷II卷

單調性比較大2021乙卷II卷

小2020IIIIII卷

2021上海卷II卷

考點3導數綜2022天津卷2023天津卷零點含參問題的討論是導數綜合

合應用2021I卷北京卷題型的重難點

分考點、精準練工

考點01利用導數求函數單調性，極值最值

一、單選題

1.（2024?全國?高考甲卷）設函數龍,則曲線y=/（x）在點（0,1）處的切線與兩坐標軸所圍成

的三角形的面積為（）

【答案】A

【分析】借助導數的幾何意義計算可得其在點(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標軸交點坐標，即可得其

面積.

(e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx).2x

【詳解】尸(切=

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin6)x0

則/'⑼=

(M5

即該切線方程為V-l=3x,即y=3x+l,

令x=0,則y=l,令y=o,貝！］x=-g,

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=：xlx二=3

236

故選：A.

2.(2023年全國新高考II卷)已知函數/(x)=*-lnx在區間(1,2)上單調遞增，則a的最小值為().

*23-1

A.eB.eC.eD.「

【答案】C

【分析】根據/'(x)=ae-120在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/'(x)=ae-：N0在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以xe-

設g(x)=m，,x《l,2),所以g<x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增,

g(x)>g(l)=e,故eW,，即"2，=片1,即a的最小值為

ae

故選：C.

3.(2023年全國高考乙卷數學(文)試題)函數/(司=/+如+2存在3個零點，則。的取值范圍是()

A.(-8,-2)B.(-8,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】寫出/'(x)=3/+。，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】f(x)=xi+ax+,2,則/〈X)=3x?+a,

若/(x)要存在3個零點，則/(無)要存在極大值和極小值，則a<0,

令廣00=3幺+°=0,解得x=或

、

且當X,+°0時,/'（X）>0,

,小）＜0,

-a

故/（X）的極大值為了,極小值為了

a

+2>0

3

若“X）要存在3個零點，則＜,即,解得。<-3,故選：B.

+2<0

3

4.（2023年全國高考甲卷數學（文）試題）曲線＞=/在點［1,e

處的切線方程為（）

eeeee3e

A.y=-xB.y=-xC.y=—xH—D.y=-xH---

424424

【答案】C

【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方

程即可求解.

氣在點（用處的切線方程為y-5e

【詳解】設曲線y==左（工-1）,

x+12

X

,ex（x+l）-■xe

因為y=J，所以V二二一「

x+1X+1）2（x+以‘

工在點八,;處的切線方程為了=ee_

所以左產?所以y_|=5（xT）所以曲線了=-x-\—.故選：C

x++11\2）44

5.（2022年全國高考甲卷數學（文）試題）當x=l時，函數〃x）=alnx+2取得最大值一2,則/'⑵=（）

1

A.-1B.—cD.1

2-T

【答案】B

【分析】根據題意可知/（1）=-2,/⑴=0即可解得a,6,再根據尸卜）即可解出.

【詳解】因為函數“X）定義域為（0,+司，所以依題可知，/（1）=-2,/（（1）=0,而/，（x）=q一A，所以

XX

b=—2,a—b=。,即a=-2/=-2,所以（（力=—4+彳，因此函數/（%）在（0,1）上遞增，在（1,+8）上遞減,

xx

x=l時取最大值，滿足題意，即有了'（2）=-l+；=-g.故選：B.

6.（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）設若％=。為函數=『（x-b）的極大值點,

則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否變號，結合極大值點的性質，對"進行分

類討論，畫出/(K)圖象，即可得到6所滿足的關系，由此確定正確選項.

【詳解】若。=6,則/(外=。卜-。)3為單調函數，無極值點，不符合題意，故/b.

.??/(X)有x=a和x=6兩個不同零點，且在x=a左右附近是不變號，在x=b左右附近是變號的.依題意，

x=a為函數/(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點，，在x左右附近都是小于零的.

當"。時，由x>b,/(x)<0,畫出/(X)的圖象如下圖所示：

由圖可知6<a,a<0,故仍>/.

當。>0時，由x>6時，/(%)>0,畫出“X)的圖象如下圖所示:

由圖可知〃>。，a>0,故仍>/.

綜上所述，斜>/成立.故選：D

7.(2021年全國新高考I卷)若過點(。,。)可以作曲線y=e'的兩條切線，則()

ba

A.e<aB.e<b

C.Q<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定

結果；

解法二：畫出曲線>=產的圖象，根據直觀即可判定點(。力)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.

【詳解】在曲線y=e”上任取一點尸(/]),對函數y=求導得V=e，，

所以，曲線了=，在點P處的切線方程為y—e'=e'(xT),即歹=6小+(1-。/，

由題意可知，點(。,6)在直線V=e'x+(l-/)e'上，可得b=ae'=(。+17)或，

令/?)=(0+lT)e',則廣⑺=(a—)d.

當/<a時，/'。)>0,此時函數單調遞增，

當f>a時，此時函數/(。單調遞減，

所以，〃心=%)=心

由題意可知，直線了=6與曲線了=/?)的圖象有兩個交點，則1mx=e"，

當/<a+l時，/(0>0,當f>a+l時，/(0<0,作出函數/⑺的圖象如下圖所示:

由圖可知，當0<6<e"時，直線，=6與曲線y=的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數曲線y=e，的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點(。力)在曲線下方和x軸上方時才可以作

出兩條切線.由此可知0<6<e。.

故選：D.

8.(2020年全國高考I卷)函數/(x)=--2x3的圖像在點(1,/⑴)處的切線方程為()

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【分析】求得函數了=/(x)的導數/'(x),計算出/⑴和/'⑴的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡

即可.

43

【詳解】V/（X）=X-2X）/力―r（l）=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2（x-l）,即y=-2x+l.

故選：B.

【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題

9.（2020年全國高考III卷）若直線/與曲線片石和乂2+丫2=!都相切，貝I]/的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+yC.y=yx+1D.y=yx+

【答案】D

【詳解】設直線/在曲線>=&上的切點為卜。,肉），則%>0,

函數>=正的導數為了=M，則直線/的斜率后

設直線/的方程為y一瓦=^^（工一%）,即x-2后y+x0=0,

cc1%1

由于直線/與圓X+y=]相切，則產^二為,

兩邊平方并整理得5片-4X（）-1=0,解得%=1,x0=-1（舍）,

則直線/的方程為x-2y+l=0,即>=；x+g.故選：D.

10.（2019年全國高考III卷）已知曲線yuae^+xlnx在點（l,ae）處的切線方程為y=2x+6,則（）

A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a-e~x,b=1D.a-e~x,b--1

【答案】D

【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得。，將點的坐標代入直線方程，求得6.

【詳解】詳解:/=ael+lnx+l,

-1

k=y'|x=1—ae+1—2,a=g

將（1』）代入y=2x+b得2+6=1,6=—1,故選D.

【點睛】本題關鍵得到含有a,6的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系.

二多選題

11（2024?全國?高考I卷）設函數/■（尤）=（尤-l）2（x-4）,則（）

A.x=3是/⑴的極小值點B.當0<x<l時，/（x）</（x2）

C.當l<x<2時，一4</（2、-1）<0D.當一1<%<0時，/（2-x）>/（x）

【答案】ACD

【分析】求出函數/(X)的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數/(x)在

(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【詳解】對A,因為函數7'(x)的定義域為R,而r(x)=2(x-l)(x-4)+(x-l『=3(x-l)(尤-3),

易知當xe(1,3)時，/,(x)<0,當尤或xe(3,+e)時，/,(x)>0

函數/⑺在(-雙1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增，故x=3是函數/(x)的極小值

點，正確；

對B,當0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,所以1八>一>0,

而由上可知，函數在(0』)上單調遞增，所以/(切>/任)，錯誤；

對C,當l<x<2時，1<2%-1<3,而由上可知，函數“X)在(L3)上單調遞減，

所以/()>/(2尤一1)>/(3),即一4<〃2x7)<0,正確；

對D,當T<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,

所以f(2-x)>/(x),正確；

故選：ACD.

三填空題

12.(2024?全國?高考I卷)若曲線y=e、+x在點(0,1)處的切線也是曲線了=皿尤+1)+。的切線，則

【答案】In2

【分析】先求出曲線y=e，+x在(0,1)的切線方程，再設曲線y=ln(x+l)+。的切點為+求

出了，利用公切線斜率相等求出看,表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解.

【詳解】由y=e*+士得y'=e*+1,y'|t=()=e°+1=2,

故曲線尸e—x在(0,1)處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y=----,

X+1

設切線與曲線V=ln(x+l)+a相切的切點為(Xo，ln(xo+1)+。)，

由兩曲線有公切線得V=L=2,解得/=-g，則切點為+

切線方程為V=++4+1"；=2x+1+tz-In2,

根據兩切線重合，所以aTn2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

13.(2023?全國乙卷)設〃￡(0,1),若函數〃#=優+(1+”在(0,+”)上單調遞增，則。的取值范圍是.

【答案】

【分析】原問題等價于/'(x)=a1na+(l+a)Mn(l+a)ZO恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可

得*，)、,由右側函數的單調性可得實數。的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數。的

IaJIn(1+4)

取值范圍.

【詳解】由函數的解析式可得/(%)=優1!14+(1+〃)"111(1+4)20在區間(0,+。)上恒成立,

則(l+a)"n(l+a)Z-優Ina,即(7)2-靖彳在區間(0,+巧上恒成立,

故、,而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

\a)In(I+a)

ln(tz+l)>-lii6z故0

故<a<\

0<a<1即肥;7

結合題意可得實數”的取值范圍是存

故答案為:

14.(2022全國乙卷)已知尤=再和x=%2分另U是函數/(%)=2〃"一?/(Q〉0且owl)的極小值點和極大值

點.若％1<馬，則。的取值范圍是.

【答案】g,l)

【分析】法一：依題可知，方程21na-優-2ex=0的兩個根為占,三，即函數y=lnea，與函數>=ex的圖象

有兩個不同的交點，構造函數g(x)=lnad,利用指數函數的圖象和圖象變換得到g(x)的圖象，利用導數

的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點

因為/''(x)=21nad-2ex,所以方程21nad-2ex=0的兩個根為三,馬,

即方程Inad=ex的兩個根為4%，

即函數y=lna-a”與函數y=e尤的圖象有兩個不同的交點，

因為分別是函數/(尤)=2，-ex?的極小值點和極大值點，

所以函數“X)在(-00,西)和伉,+8)上遞減，在(再,％)上遞增,

所以當時(-8,王)(％,+00),/,(x)<0,即了=6圖象在y=lna.a，上方

當工?再廣2)時,f^x)>0,即了=6圖象在y=lnad下方

。〉1,圖象顯然不符合題意，所以

令g(x)=ln〃，貝1Jg'(%)=In?a.詭,0<a<1,

設過原點且與函數>=g(x)的圖象相切的直線的切點為(x°,lna-*),

2Y,)

則切線的斜率為g'(x())=ln2a.a"。，故切線方程為y-lna=lna-a-(x-x0),

則有-Ina-*=-Xoln2a./,解得/=白，貝U切線的斜率為1n20=eln2a

因為函數了=lna-a'與函數V=ex的圖象有兩個不同的交點，

所以eln/ave，解得一<a<e,又0<a<l,所以一<。<1,

ee

綜上所述，a的取值范圍為

［方法二］:【通性通法】構造新函數，二次求導

/'(X)=21nq?q”-2ex=0的兩個根為國,馬

因為占,馬分別是函數/(x)=2,-e/的極小值點和極大值點，

所以函數/'(X)在(-℃,西)和(%2，+00)上遞減，在(再戶2)上遞增，

設函數虱x)=r(x)=2(aIna-ex),貝!Jg<x)=2優(Ina)?-2e,

若a>l,則g'(x)在R上單調遞增，此時若g'(x0)=O,則尸(x)在

100,尤0)上單調遞減，在(%,+00)上單調遞增，此時若有X=X］和X=X2分別是函數

/(x)=2a*-ex2(a>0且awl)的極小值點和極大值點，則西>%,不符合題意；

若0<a<l,則g'(x)在R上單調遞減，此時若g'(x°)=0,則/'(x)在(-8,x。)上單調遞增，在(%,+⑹上單

調遞減，令8'(%)=0,則儼=(高2，此時若有x=X］和x=x?分別是函數/卜)=2/-夕2(°>0且awl)的

，x

極小值點和極大值點，且玉<馬，則需滿足/'(/)>0，/(x0)=2(a°ln<7-ex0)=2f-^--ex0j>0,即

x0<Y~,尤olna>l故=無olna=ln^^>l,所以!<q<l.

15.(2022年全國新高考I卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是

【答案】(―8,T)U(O,E)

【分析】設出切點橫坐標％,利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于％的方程,

根據此方程應有兩個不同的實數根，求得。的取值范圍.

【詳解】Vy={x+a)Qx,y'=(x+\+a)Qx,

設切點為)，則為=伉+。)e*，切線斜率上=d+1+a)ex°,

XoXo

切線方程為：j-(xo+?)e=(xo+l+(z)e(x-xo),

.切線過原點，，—(/+a)e"=(x0+l+a)e'。(―/),

整理得：Xg+ax0-a=0,

:切線有兩條，,A=a?+%>0,解得a<-4或a>0,

a的取值范圍是(F,-4)U(O,+⑹，

故答案為：(-^-"ue'+oo)

16.(2021?全國甲卷)曲線y=0三V—」1在點處的切線方程為__________

x+2

【答案】5x-y+2=0

【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當尸-1時，尸-3,故點在曲線上.

,_2（尤+2）—（2尤一I）5

求導得:）（x+2）2寧‘所以"i=5.

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

17.(2021年全國新高考I卷)函數〃x)=|2x-l|-21nx的最小值為

【答案】1

【分析】由解析式知/(X)定義域為(0,+8),討論o<xv］、1<X<1,X>1,并結合導數研究的單調性,

22

即可求〃x)最小值.

【詳解】由題設知：/^)=|2工-1|-211^定義域為(0,+8),

.?.當時，/(x)=l-2x-21nx,此時/(幻單調遞減；

12

當時,/(x)=2x-l-21nx,有廣(x)=2--40,此時/(%)單調遞減;

2x

2

當x>l時，/(x)=2x-l-21nx,有外>)=2——>0,此時/⑸單調遞增；

x

又/(X)在各分段的界點處連續，

.?.綜上有：0<尤41時，/(X)單調遞減，尤>1時，/(X)單調遞增；

故答案為：1.

三、雙空題

18.(2022年全國高考H卷)曲線>=山|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【詳解】［方法一］:化為分段函數，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為(x°,lnx。)，求出函數#導函數，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出看,即可求出切線方程，當x<0時同理可得；

解：因為了=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設切點為(％,In%),由_/=,，所以/「。=工，所以切線方程為丁-山/=’(尤-x0),

又切線過坐標原點，所以-ln%=’(r。)，解得x0=e,所以切線方程為k即y=L；

%oee

當尤<0時y=ln(r),設切點為,由y'=L所以"「=工，所以切線方程為

X再

y一山(一芭)=—(x-xj,

xi

又切線過坐標原點，所以Tn(rJ=^(f),解得X］=-e,所以切線方程為y-1=L(x+e),即尸-L；

陽—QQ

故答案為：y=-x；>=一1尤

ee

［方法二］:根據函數的對稱性，數形結合

當x>0時y=lnx,設切點為由；/=,，所以了|『,=’，所以切線方程為夕-山七=’(無-%),

又切線過坐標原點，所以Tnx。=-1■(-/),解得x0=e,所以切線方程為y_l='(x_e),即了=」犯因為

%oee

y=ln國是偶函數，圖象為：

,尸1中|尸山

所以當X<0時的切線，只需找到y=關于y軸的對稱直線y=-即可.

ee

［方法三］:因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設切點為(％,In%),由_/=,，所以了|f=’，所以切線方程為夕-山/=’(無-%),

XX。X。

又切線過坐標原點，所以解得x°=e,所以切線方程為”1=_L(x-e),即y=L；

當x<0時y=ln(-x),設切點為(X1,ln(-xj),由j/=L所以了」=，,所以切線方程為

X再

y-皿一再)=—(x-再)，

又切線過坐標原點，所以-皿-%)="/),解得玉=-e,所以切線方程為了一i=-L(x+e),即尸-L；

再—ee

故答案為：y=~x；y=--x.

ee

考點02構造函數利用導數求單調性比較大小

一、單選題

1.(2023年全國高考甲卷數學(文)試題)已知函數〃x)=e-g/.記〃=/］等)力=/［手］(

則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.

【詳解】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對稱軸為x=l,

因為半1-y-="①.,m(V6+V3)2-42=9+672-16=672-7>0,

附”"1fl6］""476V3

所以一；--1-1--=-------->0,即-----1>1----

21212222

由二次函數性質知g佟)<g。，

因為1—^~~2'=~~2~~~^2'+V2)2—42=8+473—16=4/3—8=4(/15—2)<(,

nnA/6V2gr-pi,V6>［?.

即石"-1<1--—>所以g(《-)>g(;-)，

產LA/2V6,V3

綜上，gZ(丁<gZ(H<g(丁，

又y=6、為增函數，故a<c<6,即6>c>a.

故選：A.

2.(2022年全國高考甲卷數學(文)試題)已知9"'=10,a=10"'-11/=8"'-9,則()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知加=log910>l,再利用基本不等式，換底公式

可得機log89>m,然后由指數函數的單調性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數函數性質)

由9m=10可得加=loggl0=盟>1,而lg91gli<(lg9；gll)=［等j<1=(gio)2,所以翳〉圖,

即加>lgll,所以。=10加一11>10m-11=0.

又lg81gl0<［lg8；gl°)<(.,所以Bpiog89>m,

所以b=8m-9<8嗨9-9=0.綜上，a>Q>b.

［方法二］:【最優解】(構造函數)

由9"'=10，可得加=log910e(l,L5).

根據。)的形式構造函數〃x)=/-x7(x>l),則八=

令/'(x)=0,解得％=優占，由切=log910e(l,1.5)知/€(0,1).

f(x)在(1,+s)上單調遞增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因為/(9)=9蚓°-10=0,所以。>0>6.

故選：A.

【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。,6的形式構造函數/■(x)=x'"-x-l(x>l),根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該

題的最優解.

3.(2022年全國新高考I卷數學試題)設。=0.1e°』,6=g,c=-ln0.9，貝I]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】構造函數/。)=111(1+尤)-工，導數判斷其單調性，由此確定。,6,c的大小.

【詳解】方法一：構造法

1y

設/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為/(X)=——1=——，

1+X1+X

當％￡(-1,0)時，f\x)>0,當X￡(0,+oo)時((x)<0,

所以函數〃x)=ln(l+x)-X在(0,+8)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以/(》</(0)=0，所以^1>lny=-ln0.9,即b>c,

191Q--1-L1

所以〃一77)</(°)=0，所以ln；^+；77<0,故匚小小所以

故a<6，

g(x)=xex+ln(l-x)(0<x<1),則g<x)=(x+1)爐+々='十、

令h(x)=3(幺-1)+1,砥x)=e'(r+2x-l),

當0〈尤〈亞-1時，W)<0,函數以動=》a2r1)+1單調遞減,

當亞-1<X<1時，h'(x)>o,函數〃(無)=**-1)+1單調遞增，

又〃(0)=0,

所以當0<x(夜一1時，心)<0,

所以當0<x(收-1時，g'(x)>0,函數g(x)=xe"+ln(l-x)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即O.le-,-In0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=0,k0J,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—u.1

(1)Ina-InZ?=0.1+ln(l-0.1),

令f(x)=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

則r(x)=i--^=^<o,

1-x1-x

故f{x)在(0,0.1]上單調遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即lna-lnZ><0,所以a<b；

②tz-c=O.le01+ln(l-0.1),

令gW=xex+ln(l-x),xe(0,0.1］,

則g'(%)二+ex------=---------------,

')1-x1-x

令k(x)=(1+x)(l-x)ex-1,所以k\x)=(1-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得小)>后(0)>0,即g\x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得g(0.1)>g(0)=0，即c〉0,所以a>c.

故c<a<b.

4.(2021年全國高考n卷數學試題)已知。=10gs2,/7=log83,c=1,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】對數函數的單調性可比較。、6與C的大小關系，由此可得出結論.

【詳解】a=log52<log5y/5--^-log82y/2<log83=ft,即a<c<b.

故選：C.

2

5.(2020年全國高考III卷數學試題)設“=bg32,6=log53,c=§,貝!|()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

3

【分析】分別將。,6改寫為。=；1窕323,^=|log53,再利用單調性比較即可.

112112

【詳解】因為Q=］k)g323<§log39=§=c,b=~^533>3log525=3=C9

所以a<c<A.

故選：A.

【點晴】本題考查對數式大小的比較，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.

“,3111

6(2022?全國甲卷)已知。=一,b=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

ii

【分析】由1c=4tan^結合三角函數的性質可得c〉6;構造函數/(xHcosx+j——i,x￡(o,+。),利用導數可

得，>?即可得解.

【詳解】［方法一］：構造函數

因為當xw(0,；J,x<tanx

Q1n

故7=4tan：〉l,故工>1,所以c〉b；

b4b

、12

f(x)=cosx+—x-1,XG(0,+GO),

f\x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調遞增,

故/申〉〃。尸0,所以通一||>0,

所以b>a,所以。〉6〉〃，故選力

［方法二］:不等式放縮

因為當x6［o，m］，sinx<x,

取x得：cos—=1-2sin2—>1-2f—=—,故人>°

848⑻32

A.11［7~z.(1)甘>(八萬).14

4sm—+cos—=V17sml—+^?I,其中cpGII，S.sm(P=,cos=—j=

、t,“.11/7=?_L1兀F711

當4sm—+cos—=J17時，一+0=—,及(p=-------

444224

止匕時sin—=cos0=-T=,cos—=sin

4V174V17

114?14?1皿

^rcos-=-^=<-i==sin-<4sin-,故6<c

4V17VI744

所以b>a,所以C〉b〉〃，故選Z

［方法三］:泰勒展開

2

設x=0.25,則。=二31=1—上0?二5』"1三+生

322424!

,1

1sm10.2520.254

計算得c〉6〉a,故選A.

4￡3!5!

4

［方法四］:構造函數

因為￡=4tanL因為當x/0，V］,sinx<x<tanx,所以tan,>L即，>1,所以c>b；設

b4<2J44b

/(x)=cosx+^-x2-1,XG(0,+GO),/'(x)=—sinx+x>0,所以/(%)在(0,+s)單調遞增，則/(；)>/(。尸0,

131

所以COS^—記>0,所以"%所以。〉6>〃,

故選：A.

［方法五］:【最優解】不等式放縮

因為￡=4tanLsinx<x<tanx,所以tan，」,即:>1,所以c>6；因為當

b4V2)44b

xe(0，V］,sinx<x,MXx=^Mcos-=l-2sin2->l-2f->|=衛，故人。，所以c>b>a.

I2；848⑻32

故選:A.

【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0,^|,sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關系，屬于最優解.

7.(2021?全國乙卷)設a=21nl.01,6=lnl.O2,c=VL04-1.貝！J()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對的大小作出判定，對于。與c,6與c的大小關系,

將0.01換成x,分別構造函數/(x)=21n(l+x)-&Z7+l,g(x)=ln(l+2x)-而彳+1,利用導數分析其在

0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合/(0)=0,g(0)=0即可得出。與c,b與c的大小關系.

【詳解】［方法一］:

a=21111.01=InJ,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>In1.02=6,

所以方<4；

下面比較c與6的大小關系.

=21n(l+x)-VU4^+l,則/(0)=0,f'(x］=———------,

1+xJl+4x(1+x)J1+4x

由于l+4x-(l+x『=2X—X1=X(2-X)

所以當0<x<2時，1+4X-(1+X)2>0,即Jl+4x>(l+x),#(x)〉0,

所以〃x)在［0,2］上單調遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,BP21nl.01>VT04-l,即a>c；

I-----/、772,(Jl+4x-1-2x)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l，則g(O)=。，g^x)---——言力->

1+2xV1+4x(1+x)J1+4x

由于l+4x-(l+2x『=-4/,在x>0時，l+4x-(l+2x『<0,

所以g'(x)<0,即函數g(x)在［0,+8)上單調遞減，所以g(O.Ol)<g(O)=O,即lnl.02<a5?-l,即6<c；

綜上，b<c<a，

故選:B.

［方法二］:

令/⑺=1“^^］-x-l(x>l)

/(X)JxTj<0，即函數/(x)在(1,+8)上單調遞減

''x2+l

/(A/1+0.04)</(1)=0,:.b<c

3\

令g(x)=21n---J-x+l(l<x<3)

g，a)=g-?37)>0,即函數g(無)在(1,3)上單調遞增

X+3

g(Jl+0.04)(g(1)=0,a,

綜上，b<c<a,

故選：B.

【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數,

利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.

8.(2020年全國新高考I卷)若2"+log2。=4"+210g",則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b1D.a<b2

【答案】B

【分析】設/。)=2、+嘎/，利用作差法結合的單調性即可得到答案.

【詳解】設/。)=2'+唾聲,則/(x)為增函數，因為2'+啕。"+2*6.2”+臉6

26

所以-/(26)=2"+log2。一(2+log226)=2加+logz6-(2妨+log226)=log?g=-1<0,

所以“。)</(26),所以a<26.

/⑷-/(b2)=2"+1嗚所(/+log2m=2"+log26-(產+log2")=22-log26,

當6=1時，/(a)-/(Z)2)=2>0,此時/(a)>/32),有八〃

當6=2時，/(?)-/(&2)=-1<0,此時/(〃)</(〃)，有a<",所以C、D錯誤.

故選：B.

【點晴】本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，是一道中

檔題.

9.(2020年全國高考n卷)若2工-2y<3一，-3一y,貝!J()

A.ln(y-尤+1)>0B,ln(j?-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.In|x-v|<0

【答案】A

【分析】將不等式變為2,-3-，<2〉-3一,根據f(t)=2'-3T的單調性知x<y,以此去判斷各個選項中真數

與1的大小關系，進而得到結果.

【詳解】由2'-2y3、-3中得:2、-3T<2〉-3T,

令/⑺=2'-3'

?.?>=2,為K上的增函數，?=3