空間幾何解答題鞏固練習(xí)三1．（2023·四川成都·樹德中學(xué)校考模擬預(yù)測）直三棱柱中，，為的中點，點在上，.

(1)證明：平面；(2)若二面角大小為，求以為頂點的四面體體積.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）∵三棱柱為直三棱柱，∴平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，平面，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面.（2）因為，為的中點，，所以，

∴為正三角形，如圖建立空間坐標(biāo)系，由（1）易知平面的一個法向量，設(shè)，∵，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，由，解得或（舍去），∵，點到平面距離為，∴以為頂點的四面體體積為.2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四棱臺的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點P，使得？若存在請確定點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【解析】（1）依題意，在正四棱臺中，，所以上底面積，下底面積，設(shè)正四棱臺的高為，則.連接，則，所以，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，由于線面角的取值范圍是，所以.（2）連接，設(shè)正四棱臺上下底面的中心分別為，以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)線段上存在一點，滿足，，，則，，若，則，即，解得，舍去，所以在線段上不存在一點，使得.

3．（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，E是棱上的點（點E與點C，不重合）．

(1)在圖中作出平面與平面ABCD的交線，并說明理由；(2)若正方體的棱長為1，平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為，求線段CE的長．【答案】(1)答案見解析；(2)【解析】（1）

如圖1，分別延長，交于點，連接，則即為所求交線.因為，平面，平面，所以，平面，平面.又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如圖2，以點為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，.則，，，，所以，，，.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以即為平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量，所以，，即，令，則，，所以，是平面的一個法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.4．（2023·河北滄州·校考三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）如圖，連接，因為該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，

，所以，所以，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以.因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，

則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，記直線與平面所成的角為，則，解得（負(fù)值舍去），即.設(shè)平面的一個法向量為，，，則即令，則.所以.因此平面與平面所成角的余弦值為.5．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若點在線段上運動，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，試求的范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)，.【解析】（1）證明：在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：取中點，連接，，，，，，，為二面角的平面角.，，，，.

（3）由（2）知：①當(dāng)與重合時，；②當(dāng)與重合時，過作，且使，連接，，則平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③當(dāng)與，都不重合時，令，，延長交的延長線于，連接，在平面與平面的交線上，在