第1頁(yè)/共12頁(yè)海淀區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)2025.04本試卷共6頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知集合,則?U(A) (B)(C) (D)(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(A) (B)(C) (D)(3)函數(shù)fxA122 (C) (D)(4)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓x2+y2(A)-1 B(C)0 (D)1(5)已知四個(gè)數(shù)a=lg(A)a (B)b(C)c (D)d(6)已知拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M32y0在(A)1 BC3 (7)已知A?紙的長(zhǎng)寬比約為2:1.現(xiàn)將一張A?紙卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面(無(wú)重疊部分).當(dāng)該圓柱的高等于A(yíng)?紙的長(zhǎng)時(shí)，設(shè)其體積為V?，軸截面的面積為S1;當(dāng)該圓柱的高等于A(yíng)4紙的寬時(shí)，設(shè)其體積為V?AV1=VCV1=V(8)已知是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列.若0<q<1,則“an-bn是遞增數(shù)列”(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(9)已知函數(shù)y=3sinωx+φ(ω>0)的部分圖象如圖所示.若A(A)1 B(C)π D(10)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和正整數(shù),若存在滿(mǎn)足n1<n2<?<nk且an1n1=a(A)若an=n2,則數(shù)列(B)若an=n-1+cosnπ,則數(shù)列具有性質(zhì)(C)存在數(shù)列和,使得和均不具有性質(zhì)P2,且an+bn具有性質(zhì)P2025(D)若數(shù)列和均具有性質(zhì),則an+bn具有性質(zhì)第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11)已知x-24=(12)已知雙曲線(xiàn)y2a2-x2b(13)已知向量,,則的最大值為_(kāi)______________;與的夾角的取值范圍是___________.(14)已知函數(shù).若的值域?yàn)閯t的一個(gè)取值為_(kāi)__________；若的值域?yàn)镽，則的取值范圍是__________________.(15)如圖所示，某游樂(lè)場(chǎng)有一款游樂(lè)設(shè)施，該設(shè)施由轉(zhuǎn)輪A和轉(zhuǎn)輪B組成，B的圓心固定在轉(zhuǎn)輪A上的點(diǎn)Q處，某個(gè)座椅固定在轉(zhuǎn)輪B上的點(diǎn)M處.A的半徑為10米，B的半徑為5米，A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂(lè)設(shè)施運(yùn)行過(guò)程中，A與B分別繞各自的圓心逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，A旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)π分鐘，B旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)分鐘.當(dāng)Q在P正下方且M在Q正下方時(shí)，開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)在第t分鐘M距離地面的豎直高度為h(t)米.給出下列四個(gè)結(jié)論：①h②最大值是35;③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；④存在使得t=t0時(shí)M到P的距離等于15米.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)____________三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。(16)(本小題13分)如圖，五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形.(Ⅰ)求證:EF∥CB;(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=EF=1,BF=2,求直線(xiàn)DE與平面BCEF所成角的大小.(17)(本小題13分)在△ABC中，已知2a(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B為銳角，再?gòu)臈l件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的面積.條件①:c=5;條件②：cos條件③：a注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(18)(本小題14分)某工廠(chǎng)有一組型號(hào)相同的設(shè)備，在日常維護(hù)中發(fā)現(xiàn)部分設(shè)備有發(fā)熱的情況，經(jīng)過(guò)查閱歷史數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)設(shè)備是否發(fā)熱與設(shè)備狀態(tài)(完好或損壞)有較強(qiáng)的相關(guān)性，從發(fā)熱和未發(fā)熱情況的數(shù)據(jù)中各自隨機(jī)抽取1000條數(shù)據(jù)，整理如下圖所示：日常維護(hù)時(shí)，對(duì)單臺(tái)設(shè)備有三種可能的操作：保留觀(guān)察、停機(jī)更換或檢查維修，對(duì)單臺(tái)設(shè)備的不同狀態(tài)，這三種操作給工廠(chǎng)帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失如下(單位：千元)：操作經(jīng)濟(jì)損失設(shè)備狀態(tài)保留觀(guān)察停機(jī)更換檢查維修完好0105損壞1257假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且各設(shè)備之間的狀態(tài)相互獨(dú)立.(Ⅰ)已知某設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況，試估計(jì)該設(shè)備損壞的概率；(Ⅱ)該工廠(chǎng)現(xiàn)有2臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況，準(zhǔn)備對(duì)這2臺(tái)設(shè)備都進(jìn)行檢查維修.記檢查維修這2臺(tái)設(shè)備給工廠(chǎng)帶來(lái)的總經(jīng)濟(jì)損失為X千元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；(Ⅲ)該工廠(chǎng)的某車(chē)間現(xiàn)有2臺(tái)設(shè)備，維護(hù)時(shí)發(fā)現(xiàn)其中一臺(tái)出現(xiàn)發(fā)熱情況，另一臺(tái)未出現(xiàn)發(fā)熱情況.下面有三種維護(hù)這2臺(tái)設(shè)備的操作方案：發(fā)熱情況操作方案編號(hào)發(fā)熱未發(fā)熱①檢查維修保留觀(guān)察②停機(jī)更換檢查維修③停機(jī)更換保留觀(guān)察直接寫(xiě)出使得工廠(chǎng)總經(jīng)濟(jì)損失的期望最小的方案的編號(hào).

(19)(本小題15分)已知橢圓W：x2a2+y2b2=1(a>b>0),A，B分別是W的左、右頂點(diǎn)，C(Ⅰ)求橢圓W的方程及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn)P在直線(xiàn)AC上,設(shè)直線(xiàn)PM與x軸交于點(diǎn)E,直線(xiàn)BP與直線(xiàn)EC交于點(diǎn)Q，判斷點(diǎn)Q是否在橢圓W上，并說(shuō)明理由.(20)(本小題15分)已知函數(shù)f(Ⅰ)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=-32x,求k(Ⅱ)若為R上的單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；(Ⅲ)若函數(shù)gx=k6x3+x+sin(21)(本小題15分)設(shè)正整數(shù)n≥2,對(duì)于數(shù)列A:a1,a2,?,an,定義變換T，T將數(shù)列A變換成數(shù)列.已知數(shù)列滿(mǎn)足(Ⅰ)若A0:-1,1,1,(Ⅱ)若為奇數(shù)且不是常數(shù)列，求證：對(duì)任意正整數(shù)k，Ak都不是常數(shù)列；(Ⅲ)求證：當(dāng)且僅當(dāng)n=2mm∈N*時(shí)，對(duì)任意A0

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）(1)D (2)D (3)A (4)B (5)C(6)C (7)B (8)D (9)D (10)D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）(11)-7 (12) (13)3，(14)（答案不唯一，只需滿(mǎn)足0<a<1）, （15）①③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（I）由四邊形是正方形，可得.又因?yàn)槠矫?平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以.（II）由四邊形是正方形，可得.又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?所以.在中，因?yàn)椋裕晒垂啥ɡ砟娑ɡ淼萌鐖D，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得.所以，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,所以取 ，得,所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為則.又因?yàn)闉殇J角，所以.（17）（本小題14分）解：（I）因?yàn)?故由可得 ,因?yàn)椋裕谥校烧叶ɡ恚?因?yàn)椋?（II）選條件②解答如下：因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角，所以,又因?yàn)椋?在中，由正弦定理,所以(或者a=3)又因?yàn)樗缘拿娣e.選條件③解答如下：由（I），，且，解得,因?yàn)椋?所以,因?yàn)闉殇J角，所以，又因?yàn)椋运缘拿娣e.（18）（本小題13分）解：（I）設(shè)“一臺(tái)設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況時(shí)該設(shè)備損壞”為事件A，由圖可得.（II）X的取值范圍為，依題意，用頻率估計(jì)概率，一臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況下?lián)p壞的概率為.,X的分布列為：X101214P所以,100501005(III)①(19)(本小題15分)解：(I)由題意，解得所以，橢圓,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(II)由(I)得，,直線(xiàn)的方程為.設(shè),其中，①當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)與 的交點(diǎn)即點(diǎn),所以，在橢圓上.②當(dāng)時(shí),直線(xiàn)，即.令得，，即.直線(xiàn)，即直線(xiàn)，即.聯(lián)立解得即因?yàn)樗裕琎在橢圓W上.綜上，Q在橢圓W上.(20)(本小題15分)解：(I)，因?yàn)榍€(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，所以，解得.檢驗(yàn)：，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為·····4分(II)因?yàn)闉镽上的單調(diào)函數(shù),所以對(duì)任意x,有；或?qū)θ我鈞,有,即恒成立，或恒成立，所以k的取值范圍是.(III)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以只需證明：k存在無(wú)數(shù)個(gè)取值使得在上恰有一個(gè)零點(diǎn).,令，根據(jù)(II),時(shí)，在上是減函數(shù).所以，任意在上是減函數(shù).故存在.｛存在其它取點(diǎn)情況，由可得時(shí),}當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表:x0 2+0-0↑極大值↓故時(shí)，..{存在其它取點(diǎn)情況，時(shí)，由可得時(shí)，}故存在唯一的.于是時(shí)，在上存在唯一的零點(diǎn).于是k存在無(wú)數(shù)個(gè)取值使得恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).(21)(本小題15分)解：(I).(II)證明：設(shè)，其中.假設(shè)存在正整數(shù)k，使得是常數(shù)列，由不是常數(shù)列，不妨設(shè)不為常數(shù)列且為常數(shù)列，記，則 .令當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋遥?故.此時(shí)為常數(shù)列，矛盾.另法：①若，則，有，此時(shí)為常數(shù)列，矛盾.②若，則，有，矛盾.綜上，對(duì)任意正整數(shù)都不是常數(shù)列.(Ill)①首先證明，若,其中 ,則存在項(xiàng)的數(shù)列，使得對(duì)任意的正整數(shù)都不是常數(shù)列.證明：構(gòu)造項(xiàng)的數(shù)列，其中.構(gòu)造項(xiàng)的數(shù)列對(duì)任意的正整數(shù)k，設(shè)，則由(II)得，不是常數(shù)列，故不是常數(shù)列.②其次證明