高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)專題03立體幾何新定義問(wèn)題解決立體幾何的新定義問(wèn)題，常用的解題思路是：審題、建模、研究模型、解決新定義問(wèn)題。解題要點(diǎn)：根據(jù)題目給出的新定義，建立立體幾何模型，研究模型時(shí)需注意：根據(jù)新定義進(jìn)行由特殊到一般的規(guī)律總結(jié)，最后解決問(wèn)題。題型一新定義坐標(biāo)【例1】空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．(1)若，求的斜坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求．【解】（1），的斜坐標(biāo)為．（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，由，知，由，知：，，解得，則．【跟蹤訓(xùn)練】已知單位向量?jī)蓛傻膴A角均為（，且），若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作．若，，，則三棱錐的表面積為．【答案】【解析】由題意可知，，則，同理可得，，，同理可得，即三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為，其表面積為．題型二新定義形狀【例2】所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側(cè)面是三角形、梯形或平行四邊形，其體積是將上下底面面積、中截面(與上下底面距離相等的截面)面積的4倍都相加再乘以高(上下底面的距離)的，在擬柱體中，平面//平面，分別是的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)四邊形的面積的面積為，面截得擬柱體的截面積為，平面與平面的距離為，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．直線與是異面直線B．四邊形的面積是的面積的4倍C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為D．?dāng)M柱體的體積為【答案】ABC【解析】A：面面，面面，面面，，即共面，不在面上，故不共面，所以直線與是異面直線，正確；B：設(shè)到的距離為，到距離為，同A分析易知，所以四邊形是梯形，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.所以，正確；D：由題意知：擬柱體體積為，錯(cuò)誤；C：挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為，正確；

故選：ABC【解題技法】與集合運(yùn)算有關(guān)的創(chuàng)新問(wèn)題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【跟蹤訓(xùn)練】在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵分別為的中點(diǎn)，則且，∴異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角．∵平面，平面，∴，，∴，同理可得，∴，∴，則,故選C．題型三新定義維度【例3】由空間一點(diǎn)出發(fā)不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點(diǎn)，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，，，

在上取一點(diǎn)，過(guò)在平面內(nèi)作，交于，過(guò)在平面內(nèi)作，交于，連接，則是二面角的平面角，即.設(shè)，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即為，所以.故選：A.【解題技法】本題的關(guān)鍵是利用二面角的定義結(jié)合三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，最后根據(jù)余弦定理有，再代入計(jì)算整理即可.【跟蹤訓(xùn)練】空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問(wèn)題：現(xiàn)給出平面α的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，則直線l與平面α所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)知：平面α的法向量，直線l的方向向量，且平面α與直線l相交于，所以直線l與平面α所成角的正弦值為，故選A1．用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．記圓錐軸截面半頂角為，截口曲線形狀與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．如圖1所示，其中，現(xiàn)有一定線段，其與平面所成角（如圖2），為斜足，上一動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)軌跡是，則（

）

A．當(dāng)時(shí)，是拋物線 B．當(dāng)時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)時(shí)，是圓 D．當(dāng)時(shí)，是橢圓【答案】D【解析】∵為定線段，為定值，∴在以為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐的軸截面半頂角為，與圓錐軸的夾角為，對(duì)于A，，∴平面截圓錐得雙曲線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，∴平面截圓錐得橢圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，∴平面截圓錐得拋物線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，∴平面截圓錐得橢圓，故D正確；故選：D.2．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選B.3．多面體的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)與面數(shù)滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系.請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決問(wèn)題：碳具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示．碳的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由正五邊形面和正六邊形面共32個(gè)面構(gòu)成的凸多面體，60個(gè)碳原子處于多面體的60個(gè)頂點(diǎn)位置，則32個(gè)面中正六邊形面的個(gè)數(shù)是（）A．22 B．20 C．18 D．16【答案】B【解析】由題意可知，，由可得，設(shè)正五邊形的個(gè)數(shù)為，正六邊形的個(gè)數(shù)為，則，因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以足球烯表面的棱數(shù)，聯(lián)立，解得，即32個(gè)面中正六邊形面的個(gè)數(shù)是20，故選B.4．設(shè)是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若向量，向量，則B．若向量，向量，則C．若向量，向量，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，若向量，向量，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若向量，向量，此時(shí)在空間直角坐標(biāo)系中，故B正確；對(duì)于C，若向量，向量，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量，向量，向量，則三棱錐是棱長(zhǎng)為1的正四面體，如圖所示，取中點(diǎn)，連接，在等邊中，易知，,則即為二面角的平面角，在中，由余弦定理得，，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：BD5．閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面”解答問(wèn)題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為C．若四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為，則與平面的夾角為【答案】BC【解析】A：當(dāng)直四棱柱的底面為正方形時(shí)，其在各頂點(diǎn)處的離散曲率都相等，當(dāng)直四棱柱的底面不為正方形時(shí)，其在同一底面且相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率不相等，故A錯(cuò)誤；B：若，則菱形為正方形，因?yàn)槠矫妫矫妫裕灾彼睦庵陧旤c(diǎn)處的離散曲率為，故B正確；C：在四面體中，，，所以，所以四面體在點(diǎn)處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，因?yàn)槠矫妫矫妫裕制矫妫云矫妫制矫妫裕恚制矫妫云矫妫蔆正確，D：直四棱柱在頂點(diǎn)處的離散曲率為,則,即是等邊三角形,設(shè),則即為與平面的所成角,,故D錯(cuò)誤;故選：BC.6．18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家辛卜森運(yùn)用定積分，推導(dǎo)出了現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中柱、錐、球、臺(tái)等幾何體的統(tǒng)一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，我們也稱為“萬(wàn)能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運(yùn)用該公式求解下列問(wèn)題:如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個(gè)平行平面去截球，則夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體的體積為.

【答案】【解析】如圖所示，設(shè)上下截面小圓的圓心分別為，上底面截面小圓上一點(diǎn)，連接，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，解得，所以，又因?yàn)榍遥越孛嫘A半徑,根據(jù)“萬(wàn)能求積公式”可得，所求幾何體的體積為：.

7．三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來(lái)空間直線與平面也有方程．即過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線l的方程為．三個(gè)“臭皮匠”利用這一結(jié)論編了一道題：“已知平面的方程為，直線l是兩個(gè)平面與的交線，則直線l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰(shuí)知“諸葛亮”很快就算出了答案．請(qǐng)問(wèn)答案是．【答案】【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋势浞ㄏ蛄靠扇椋矫娴姆ㄏ蛄靠扇椋矫娴姆ㄏ蛄靠扇椋本€l是兩個(gè)平面與的交線，設(shè)其方向向量為，則，令，則，故設(shè)直線l與平面所成的角為，則，8．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為1，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為；用過(guò)三點(diǎn)的平面去截勒洛四面體，所得截面的面積為.【答案】【解析】空1：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖1，點(diǎn)為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，為該球球心，由正四面體的性質(zhì)可知該該球球心為正四面體的中心，半徑為，連接，則三點(diǎn)共線，此時(shí)，為正四面體的外接球的半徑，由于正四面體的棱長(zhǎng)為1，其可以在棱長(zhǎng)為的正方體中截出，所以正四面體的外接球的半徑即為棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑，即正方體體對(duì)角線的一半，則，故勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；空2：如圖2，根據(jù)勒洛四面體的構(gòu)成可知，過(guò)三點(diǎn)的截面面積為3個(gè)半徑為1，圓心角為的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積，所以所得截面的面積為.9．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．(1)求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；(2)若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間．【解】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD為菱形，由離散曲率的定義知：的離散曲率相等，的離散曲率相等，所以處的曲率為，而處的曲率為，又，所以、兩處的曲率和為，故直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和.（2）由題設(shè)，處的曲率，故，所以直四棱柱底面面積為，故直四棱柱高為1，故體積為，令，，可得，，即，上遞增；令，，可得，，即，上遞減；所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，.10．球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角?邊?面積等問(wèn)題，其在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過(guò)球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)，，，過(guò)任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的和；若球面上，，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面?圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.（1）請(qǐng)寫(xiě)出，，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）求(用，，，表示).【解】（1），，.猜測(cè).（2）因?yàn)椋裕?11．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【解】（1）證明：如圖，過(guò)射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作