更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)專題21特殊的平行四邊形（45題）一、單選題1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．2．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點，菱形的頂點在軸的負(fù)半軸上，頂點的坐標(biāo)為，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（

）

A． B． C． D．4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（

）A． B． C． D．6．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D7．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（）A．6 B．5 C．4 D．39．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．10．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，動點P從菱形的點A出發(fā)，沿邊勻速運動，運動到點C時停止．設(shè)點P的運動路程為x，的長為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點P運動到中點時，的長為（）A．2 B．3 C． D．11．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形中，為其對角線，一動點從出發(fā)，沿著的路徑行進，過點作，垂足為．設(shè)點的運動路程為，為，與的函數(shù)圖象如圖2，則的長為（

）A． B． C． D．12．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．1013．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長為2的正方形的對角線與相交于點．是邊上一點，是上一點，連接．若與關(guān)于直線對稱，則的周長是（

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A． B． C． D．14．（2024·上海·中考真題）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（

）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形15．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．016．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（

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A．4 B．5 C．8 D．1017．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．二、填空題18．（2024·福建·中考真題）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為．

19．（2024·山東威海·中考真題）將一張矩形紙片（四邊形）按如圖所示的方式對折，使點C落在上的點處，折痕為，點D落在點處，交于點E．若，，，則．20．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標(biāo)為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為．21．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為．22．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為；（2）若為的中點，則線段的長為．23．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形中，，，是一條對角線，是上一點，過點作，垂足為，連接．若，則的長為．24．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．25．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，．線段與關(guān)于過點O的直線l對稱，點B的對應(yīng)點在線段上，交于點E，則與四邊形的面積比為26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是．三、解答題27．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．28．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．29．（2024·青海·中考真題）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是、、、的中點，∴、分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點四邊形是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．30．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．31．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設(shè)計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．32．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感(1)求證：四邊形是菱形：(2)若平行四邊形的周長為，求的長．33．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)證明（1）中得到的四邊形是菱形34．（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：①，②．

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；(2)在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．35．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形，圖②中已畫出以為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中，面出四邊形的一條對稱軸．(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點E的的切線．36．（2024·吉林·中考真題）小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在中，，，垂足為點D．若，，則______．（2）如圖②，在菱形中，，，則______．（3）如圖③，在四邊形中，，垂足為點O．若，，則______；若，，猜想與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．【理解運用】（4）如圖④，在中，，，，點P為邊上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（ⅰ）以點K為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊，于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點；（ⅲ）以點為圓心，長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點，K在同側(cè)；（ⅳ）過點P畫射線，在射線上截取，連接，，．請你直接寫出的值．37．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形．(1)尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接．求證：四邊形是菱形．38．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在中，，，，以為邊向外作有一個內(nèi)角為的菱形，對角線交于點O，連接，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出的面積．39．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．40．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．41．（2024·四川遂寧·中考真題）康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．(1)實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；②以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；③順次連結(jié)所得的四點得到四邊形．于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．(2)猜想與證明通過和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

42．（2024·重慶·中考真題）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：(1)如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規(guī)過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知：矩形，點，分別在，上，經(jīng)過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．43．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，．點是