數學

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題六圖形變化問題欄目導航折疊變化類型一旋轉變化類型二例1折疊問題是我們常見的數學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相關問題.數學活動課上，同學們以”矩形的折疊“為主題開展了數學活動.【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D'處，MD'與BC交于點N.折疊變化(8年2考：2022·25，2017·15)類型一典例精析典例精析【猜想】MN＝CN.【驗證】請將下列證明過程補充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，∴∠CMD＝________________.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的對邊平行).∴∠CMD＝______________(________________________).∴________________＝______________(等量代換).∴MN＝CN(____________).∠CMD'∠MCN兩直線平行，內錯角相等∠CMD'∠MCN等角對等邊【應用】如圖2，繼續將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點A落在點A'處，點B落在點B'處，折痕為ME.(1)猜想MN與EC的數量關系，并說明理由；解：EC＝2MN，理由如下：∵由四邊形ABEM折疊得到四邊形A'B'EM，∴∠AME＝∠A'ME.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的對邊平行).∴∠AME＝∠MEN(兩直線平行，內錯角相等).∴∠A'ME＝∠MEN.∴MN＝EN(等角對等邊).∵MN＝CN，∴MN＝EN＝NC.又∵EC＝EN＋NC，∴EC＝2MN.第一步：根據折疊的性質得到∠AME＝∠A'ME；第二步：根據矩形的性質推出∠AME＝∠MEN，則∠A'ME＝∠MEN；第三步：根據等角對等邊可得MN＝EN，結合MN＝CN即可得解.(2)若CD＝2，MD＝4，求EC的長.

第一步：根據矩形的性質、折疊的性質得出∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD'＝4；第二步：設MN＝NC＝x，則ND'＝4－x，根據勾股定理求解即可.

針對訓練

(2)問題探究：如圖2，當∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數，并求出此時m的最小值；

(3)拓展延伸：當∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值.

例2(2024棗莊)一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于點M，EN⊥DF于點N，如圖1.旋轉變化(8年2考：2023·25，2020·25)類型二(1)求證：BM＝EN；

利用等腰直角三角形與含30°角的直角三角形的性質可得結論.(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點A與點D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉α后，延長BM交直線DF于點P.①當α＝30°時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；證明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°.∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°.∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°.∴四邊形CNPM為矩形.由(1)知BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN.∴四邊形CNPM是正方形.第一步：證明∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，可得∠ACN＝90°；第二步：證明∠PMC＝∠BMC＝90°，可得四邊形CNPM為矩形；第三步：結合BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，可得CM＝CN，從而可得結論.②當30°＜α＜60°時，寫出線段MP，DP，CD的數量關系，并證明；當60°＜α＜120°時，直接寫出線段MP，DP，CD的數量關系.

2.(2023貴州25，12分)如圖1，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為B，點P在CB上.針對訓練(1)【動手操作】如圖2，若點P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，根據題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數為_________度；解：畫出圖形如答圖1.135

(2)【問題探究】根據(1)所畫圖形，探究線段PA與PE的數量關系，并說明理由；解：PA＝PE，理由如下：過點P作PM∥AB交AC于點M，如答圖2，∴∠MPC＝∠ABC＝45°.∴△PCM是等腰直角三角形.∴CP＝CM，∠PMC＝45°.∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE.∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠AP