更多更新資料詳情加微：xiaojuzi9598或zhixing16881專題12基本作圖與尺規(guī)作圖問題一、單選題1．（2023·福建·中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作圖過程可得：，再結合可得，由全等三角形的性質可得即可解答．【詳解】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；不能確定,故C選項不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關鍵．二、解答題2．（2024·福建·中考真題）如圖，已知直線．(1)在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)的面積為1或．【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：（1）先作出與的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；（2）分；；三種情況，結合三角形面積公式求解即可【詳解】（1）解：如圖，直線就是所求作的直線．（2）①當時，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據圖形的對稱性可知：，，．②當時，分別過點作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當時，同理可得，．綜上所述，的面積為1或．3．（2022·福建·中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求的值．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據題意，作出圖形，設，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據勾股定理建立方程求解，再判定，根據，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據題意，作出圖形如下：設，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數，利用三角函數得出線段長建立方程是解決問題的關鍵．4．（2021·福建·中考真題）如圖，已知線段，垂足為a．（1）求作四邊形，使得點B，D分別在射線上，且，，；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設P，Q分別為（1）中四邊形的邊的中點，求證：直線相交于同一點．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據，點B在射線上，過點A作；根據等邊三角形性質，得，分別過點A、B，為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據等邊三角形的性質作CD，即可得到答案；（2）設直線與相交于點S、直線與相交于點，根據平行線和相似三角形的性質，得，從而得，即可完成證明．【詳解】（1）作圖如下：四邊形是所求作的四邊形；（2）設直線與相交于點S，∵，∴，∴設直線與相交于點，同理．∵P，Q分別為的中點，∴，∴∴，∴，∴，∴，∴點S與重合，即三條直線相交于同一點．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉化思想，從而完成求解．5．（2020·福建·中考真題）如圖，為線段外一點．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點，，的中點分別為，求證：三點在同一條直線上．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）按要求進行尺規(guī)作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關系，得到，即可說明三點在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形就是所求作的四邊形．（2）∵，∴，，∴，∴．∵分別為，的中點，∴，，∴．連接，，又∵，∴，∴，∵點在上∴，∴，∴三點在同一條直線上．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質、相似三角形的性質與判定等基礎知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉化思想．一、單選題1．（2024·福建廈門·二模）綜合實踐課上，小明畫出，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形為平行四邊形．（1）~（3）是其作圖過程．（1）分別以點B，D為圓心，大于長為半徑作弧，相交于兩點，作過這兩點的直線交于O；（2）連接并延長，再以O為圓心，長為半徑作弧，交延長線于點C；（3）連接，，則四邊形即為所求．在小明的作法中，可以直接用于判定四邊形為平行四邊形的依據是（

）

A．（兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等C．一組對邊平行且相等 D．對角線互相平分【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．根據作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據圖1，得出的中點，圖2，得出，可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，判定四邊形為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：D．2．（2024·福建廈門·三模）如圖，在中，．以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交，于點，．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點．畫射線與交于點，點是上一點，連接．根據以上作圖，下列結論正確的是(

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A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作角平分線；由作圖可知，是的角平分線，故，即可得到答案．【詳解】解：由作圖可知，是的角平分線，，故B正確，符合題意；而選項A，C，D都不一定正確，不符合題意；故選：B．3．（2024·福建福州·三模）如圖，在中，，．閱讀以下作圖步驟：①以點為圓心，的長為半徑作圓弧，交于點；②分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點；③作射線交于點．則下列說法錯誤的是（

）A．是的高 B．是的中線C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質，高線的畫法，等邊三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握這些性質與概念是解題的關鍵．先通過畫法確定是線段垂直平分線，再利用直角三角形依次進行判斷即可．【詳解】解：由作圖步驟可得，，∴是的高，選項A正確，不符合題意；∵，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∵在中，，∴，∴，∴是的中線，∴選項B正確，不符合題意；∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴選項C正確，不符合題意；在中，，∴，∴選項D錯誤，符合題意．故選：D．4．（2024·福建廈門·二模）如圖，已知中，，閱讀以下作圖步驟：①分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②連接交于點G；③以點G為圓心，的長為半徑作弧交于點P，連接．根據以上作圖步驟，下列推理正確的是（

）A．∵平分，∴B．∵垂直平分，∴C．∵點P在以為直徑的圓上，∴D．∵點P在以為直徑的圓上，∴點P在直線上【答案】C【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線及其性質，圓周角定理的應用，根據的線段的垂直平分線與圓周角定理逐一分析即可．【詳解】解：∵為直徑，∴，即，∵，∴平分，故A不符合題意；∵不一定在上，∴錯誤，故B不符合題意；∵點P在以為直徑的圓上，∴，故C符合題意；∵點P在以為直徑的圓上，∴點P不一定在直線上，故D不符合題意；故選C5．（2024·福建龍巖·二模）如圖，依據尺規(guī)作圖痕跡，若，，則的度數為（

）A．50° B．60° C．66° D．80°【答案】C【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，角平分線的作圖，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質．本題先證明，求解，結合角平分線的作圖以及三角形內角和定理可得答案．【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，由作圖可得：是的角平分線，∴；∵，∴故選：C．6．（2024·福建泉州·一模）如圖，在中，，是邊的中線，根據下列作圖步驟：①分別以為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別相交于兩點；②連接并延長，交于點；③連接．則下列結論正確的是（

）A．延長，則垂直平分 B．平分C．是等腰三角形 D．【答案】B【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質，尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，由作圖可知是的垂直平分線，再根據等腰三角形的性質得在同一條直線上，則點為的重心，因此只有當為等邊三角形時，延長垂直平分，據此可對選項進行判斷；根據等腰三角形“三線合一”的性質可對選項進行判斷；根據只有當為等邊三角形時，據此可對選項進行判斷；根據只有當為等邊三角形時，，據此可對選項進行判斷，熟練掌握等腰三角形的性質，尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線是解決問題的關鍵．【詳解】解：如圖：由作圖可知：是的垂直平分線，交于點，∴又∴在同一條直線上，即是邊上的中線，又∵是邊的中線，∴點為的重心，延長，則平分，只有當為等邊三角形時，垂直平分，故選項不符合題意；是邊上的中線，根據等腰三角形“三線合一”的性質得：平分故選項符合題意；∵點為的重心，∴只有當為等邊三角形時，即是等腰三角形，故選項不符合題意；∵點為的重心，∴只有當為等邊三角形時，，故選項不符合題意．故選：B．7．（2024·福建漳州·一模）如圖，在中，．閱讀以下作圖步驟：①分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；②作直線，交于點，交于點，連接．根據以上作圖，下列結論不一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作圖—作垂線、線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定與性質、含角的直角三角形的性質，由作圖可得垂直平分，從而得出，，，即可判斷A；推出，得出為的中點，，從而可以判斷B，再由相似三角形的性質即可判斷D，利用含角的直角三角形的性質可以判斷C，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：由作圖可得：垂直平分，，，，故A正確，不符合題意；，，∴，為的中點，，，，，故B、D正確，不符合題意；當時，，故C不一定正確，符合題意；故選：C．8．（2024·福建南平·一模）如圖，已知，，是高，用尺規(guī)作圖的方法作出的內心O，則下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內心問題，等腰三角形的性質．根據等腰三角形的性質可得平分，再由三角形的內心定義，即可求解．【詳解】解：∵，是高，∴平分，∴要用尺規(guī)作圖的方法作出的內心O，只需作出或的角平分線，即可．故選：C二、填空題9．（2024·福建莆田·一模）如圖，在中平分，按以下步驟作圖：第一步分別以點A、D為圓心，以大于的長為半徑在兩側作弧，交于兩點M、N；第二步，連接分別交于點E、F；第三步，連接，若，，，則的長是．【答案】4【分析】由基本作圖得到垂直平分，則，，，再根據證明得到，則可判斷四邊形為菱形，所以，然后根據相似三角形的判定與性質可計算出．【詳解】解：如圖，由作法得垂直平分，，，，平分，∴，∵，∴，，，∴四邊形為菱形，，，，，，解得：，．故答案為4．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．10．（2024·福建廈門·二模）如圖，是平行四邊形的對角線，在和上分別截取，使，分別以E，F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點G，作射線交于點P，若，平行四邊形面積為24，則的面積是．【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質和尺規(guī)作圖，先由平行四邊形的性質得到，再由作圖方法可知，平分，則由角平分線的性質得到，再根據三角形面積計算公式得到，則，即可得到．【詳解】解：∵平行四邊形面積為24，∴，設點P到線段的距離分別為，由作圖方法可知，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．11．（2024·福建福州·一模）如圖，在等腰直角中，，尺規(guī)作圖如下：以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交邊于點D，分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧分別交于點E，F，連接與分別交于點G，H，則．【答案】/135度【分析】本題考查了作圖?基本作圖，線段垂直平分線的作法與性質，等腰直角三角形的性質，熟記線段垂直平分線的作法與性質是解題的關鍵．由作圖可知，垂直平分，由等腰直角三角形的性質結合三角形外角的性質即可得出結果．【詳解】解：由作圖可知，垂直平分，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：．12．（2024·福建泉州·二模）如圖，在平行四邊形中，以點為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交邊于點、，分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，作射線，交邊于點．若，則的周長是．【答案】10【分析】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，綜合運用各個知識是解題的關鍵．首先根據平行線四邊形的性質得到，然后由角平分線的作圖得到，進而得到，然后求得，進而利用平行四邊形的性質求解即可．【詳解】∵四邊形是平行四邊形∴∴由題意可得，平分∴∴∴∵∴∴的周長．故答案為：10．三、解答題13．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，在中，．(1)求作分別與，相切，使得圓心O落在上，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，，求的值．【答案】(1)畫圖見解析(2)【分析】（1）作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，則即為所求；（2）由（1）得：，，，結合，，由面積可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，作于M，由角平分線的性質可得：到的距離為圓的半徑，∴是的切線，即，由作圖可得：是的切線，∴即為所求．（2）解：由（1）得：，，，∵，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是作角平分線，作垂線，作圓，切線的判定，角平分線的性質，銳角的正切的含義，熟練的作圖是解本題的關鍵．14．（2024·福建莆田·一模）（1）如圖，在銳角的外部找一點，使的面積與的面積相等且點在以為直徑的圓上，請用尺規(guī)作圖的方法確定點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（）中，若以為直徑的圓上與相交于點，若，且，求弧的長．【答案】（）作圖見解析；（）．【分析】（）先作的垂直平分確定的中點，再以點為圓心，為半徑作圓，然后作交于點；（）連接，先證明為等腰直角三角形得到，再由（）作法得，利用三角形內角和計算出，則可判斷為等邊三角形，所以，然后根據弧長公式計算；本題考查了尺規(guī)作圖，等邊三角形和等腰三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，弧長計算公式，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（）如圖，點為所求；（）連接，如圖，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，由（）作法得，∵，∴，∵，∴為等邊三角形,∴，∴弧的長度，故答案為：．15．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，已知：在正方形中，M是邊的中點，連接．

(1)請用尺規(guī)作圖，在線段上求作一點P，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查作圖相似變換，正方形的性質，勾股定理的應用以及相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）過點作于，點即為所求；（2）利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求．

（2）解：四邊形是正方形，，，，，，，，．16．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【答案】(1)見詳解(2)5【分析】（1）根據尺規(guī)作圖，過點作的垂線，交于點，即可求解；（2）先證明，得到，設，再利用勾股定理可得，解方程即可．【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示．．（2）解：，．又，，．點在以為直徑的圓上，，．又為的切線，．，，，．在和中，．，，設，，，，解得：，的半徑為5．【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質與判定，勾股定理的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．17．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在中，是鈍角．

(1)尺規(guī)作圖：在上取一點，以為圓心，作出，使其過、兩點，交于點，連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，若，，．①求證：是的切線；②求直徑的長．【答案】(1)證作圖見解析(2)①證明見解析；②32【分析】（1）作線段的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作交于點；（2）①連接，證明即可；②證明，推出，由，，得，由相似比，代值解得，推出．【詳解】（1）解：如圖所示：

，點即為所求；（2）①證明：連接，如圖所示：

是直徑，，，，，，，，，，是半徑，是的切線；②解：，，，，，，，，，．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，切線的判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理、正切函數求線段長等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．18．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，是的直徑，過點A作的切線，點P是射線上的動點，連接，過點B作，交于點D，連接．(1)請補全圖形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)證明：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在射線取一點P，連接，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，交于點，再以點為圓心，的長為半徑，畫弧，交于點，最后以點H為圓心，的長為半徑，畫弧，兩弧交于點G，連接并延長，交于點D即可；（2）連接，根據切線的性質求出，根據平行線的性質和等腰三角形的性質求出，根據全等三角形的判定推出，根據全等三角形的性質得出，再根據切線的判定得出即可．【詳解】（1）解：補全圖形如圖所示：（2）解：證明：連接，∵切于A，∴，即，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，全等三角形的性質和判定，切線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質等知識點，能熟記圓的切線垂直于過切點的半徑是解此題的關鍵．19．（2024·福建福州·二模）如圖，在中，D是上一點．(1)在上確定一點O，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，當時，將繞點O旋轉得到，其中，D，E分別是點A，B的對應點，若D是的中點，交于點G，求證：G是的中點．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題主要考查作線段垂直平分線，旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質：（1）連接，作的垂直平分線交于點，此時則點即為所求；（2）由旋轉得，得，，．再證明得，從而得到，故可得結論【詳解】（1）解：如圖，O為所求作的點．（2）證明：∵D是的中點，∴．∵繞點O旋轉得到，D，E分別是點A，B的對應點，∴，，，∴，，．在與中∴，∴，∴，即，∴G是中點20．（2024·福建福州·模擬預測）已知，在中，．將繞點旋轉使點落在直線上的點處，點落在點處，直線與直線相交于點，射線與射線相交于點，連接．(1)當時，用直尺和圓規(guī)作出圖形，并求證：①；②；(2)當點與點的距離為5時，求的長．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）根據題意，意點C為圓心，的長為半徑畫弧交延長線與點D，再分別以點C，點D，為圓心，的長為半徑，畫弧，交于點E，連接并延長，連接，延長分別交延長線于點F，點P即可，①根據旋轉性質，得，進而得到，再根據，推出，即可證明結論；②由，易證，再根據，證明四邊形是平行四邊形．進而證明，由相似的性質即可得出結論；（2）分和兩種情況討論，利用三角形相似的性質，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，為所求證明：①由旋轉性質，得，．，．．．②，，．，四邊形是平行四邊形．，，；（2）解：①當時，點在邊的延長線上．，，．，，解得（負根舍去）．，，即．解得．②當時，點在邊上．同理可得．，，即．解得．綜上所述，或．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，旋轉的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．21．（2024·福建福州·模擬預測）如圖是一張矩形紙片，對角線與相交于點O．(1)在邊上求作一點E，使得沿著折疊后，C和F是對應點，且點F落在線段上（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了矩形與折疊問題，相似三角形的性質與判定，垂線的尺規(guī)作圖：（1）點的對應點為，則有，以為圓心，長為半徑畫弧，交線段于，折痕是對應點的連線段的垂直平分線，作的垂直平分線即可求解；（2）可證，從而可得，即可證明．【詳解】（1）解：如圖所示，是所求作的點；（2）解：如圖，

四邊形是矩形，，，由折疊得：，，，，，∴，即．22．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，在中，，，點D為平面內一動點（點A，B，D三點不共線），且，連接BD．(1)在上確定一點E，連接，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，將繞點A順時針旋轉得到，連接．①求證：；②若直線與直線相交于點G，連接．當的面積最大時，求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析②【分析】（1）作線段的垂直平分線交于即可；（2）①延長至點M，使得，連接，，證明四邊形是平行四邊形．證明，再進一步可得結論；②如圖，證明，，可得點G在以為直徑的的上運動．過點G作于點H，當的面積最大時，點G，O，H在一條直線上，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，線段為所求．．（2）①證明：延長至點M，使得，連接，，則由（1）可知：四邊形是平行四邊形．∴，，由旋轉得：，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴；②如圖，由①可知：，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故點G在以為直徑的的上運動．，過點G作于點H，則∵，，∴，，∴當的面積最大時，點G，O，H在一條直線上，∴，在中，，．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，確定圓的條件，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．23．（2024·福建廈門·二模）如圖，已知，

(1)尺規(guī)作圖：求作點D，使得A，D兩點關于直線對稱（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）條件下，點E在線段上，，，連接，求的長度．【答案】(1)畫圖見解析(2)【分析】（1）先過作的垂線，交于，再在垂線上截取即可；（2）如圖，過作于，證明，可得，，由A，D兩點關于直線對稱，可得，再結合勾股定理進一步求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）如圖，過作于，

∵，，∴，∵，，∴，，∵A，D兩點關于直線對稱，∴，∴，∴；【點睛】本題考查的是作已知線段的垂線，軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的乘法運算，熟練的畫圖是解本題的關鍵．24．（2024·福建廈門·模擬預測）如圖，已知經過A，C，D三點，點D在邊上，，．(1)求作；（請保留尺規(guī)作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：是的切線．【答案】(1)圖見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）結合圓周角定理可知，為的直徑．作線段的垂直平分線，交于點，再以點為圓心，的長為半徑畫圓即可．（2）連接，由題意可得，進而可得．結合切線的判定可知，是的切線．【詳解】（1）解：經過，，三點，，為的直徑．如圖，作線段的垂直平分線，交于點，再以點為圓心，的長為半徑畫圓，則即為所求．由作圖可知：點O為的中點，∵∴∴∴經過A，C，D三點．（2）證明：連接，，，，，．，，即．為的半徑，是的切線．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖：作線段垂直平分線，作圓，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，切線的判定，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．25．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，四邊形中，，將線段繞點逆時針旋轉得線段．(1)作出線段（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了全等三角的判定和性質，等邊三角形的判定及性質，旋轉的作圖和性質，準確作圖是解題的關鍵．（1）根據旋轉的性質作圖即可；（2）證明，即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示：線段即為所作線段，（2）證明：如圖，∵，∴是等邊三角形，∵繞點旋轉得線段，∴，∴即在和中，∴∴．26．（2024·福建漳州·二模）學習《相似三角形》后，曾老師開展了一節(jié)《探索黃金分割之旅》的活動課．【背景資料】黃金分割是一種數學上的比例關系．如圖1，點C把線段分成和兩部分，如果那么稱點C為線段的黃金分割點，叫做黃金分割比．黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，在人體、建筑、美學等很多方面都有廣泛應用，蘊藏著豐富的美學價值．幾何圖形中的黃金分割，造就了圖形不一樣的美．如圖2和圖3，都是黃金三角形（腰與底的比或底與腰的比等于黃金比）；如圖4，矩形是黃金矩形（寬與長的比等于黃金比）．【知識探究】直角三角形中的黃金分割活動一：如圖5，在中，，是邊上的高．以為邊，作平行四邊形，使得點E，F分別落在邊上．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．）活動二：在活動一的條件下，若，求證：點F是線段的黃金分割點．【答案】活動一：見解析；活動二：見解析【分析】活動一：作，，如圖，四邊形是所求作的平行四邊形；活動二：利用平行線分線段成比例定理，得到和，推出，再證明，據此求解即可得到，點F是線段的黃金分割點．【詳解】解：活動一：如圖所示，四邊形是所求作的平行四邊形．活動二：證明：∵在中，，∴是菱形，∴，，，∴，，，，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴．∴，∴點F是線段的黃金分割點．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，利用相似三角形得線段比例關系是解題的關鍵．27．（2024·福建寧德·一模）如圖所示，是一張對邊平行的紙片，點，分別在平行邊上．(1)求作：菱形，使點，落在紙片的平行邊上；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，，求菱形的面積．（，，）【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查菱形的性質，勾股定理，尺規(guī)作圖（1）根據菱形的性質可以畫出圖，方法一，先連接，然后以B為圓心長為半徑，與交于點C，再以C為圓心長為半徑，與交于點D；方法二，先連接以為圓心長為半徑，與交于點D，然后作的垂直平分線，可確定點C，再一次連接即可，方法三，先連接，再做出的角平分線，角平分線與的交點為點，然后以為圓心長為半徑，與交于點C，最后連接即可做出菱形，（2）過點作于點，解直角三角形，求得，進一步求解即可；【詳解】（1）解：方法一：方法二：方法三：∴菱形就是所求作的圖形．（2）解：過點作于點，如圖所示．在中，，．，．∵四邊形是菱形，，∴．．28．（2024·福建南平·二模）已知矩形紙片．第1步：先將矩形紙片對折，使點A和點B重合，然后展開鋪平，確定的中點E；第2步：將邊沿翻折到的位置，點的對應點為；第3步：連接并延長，交邊于點．(1)當四邊形為正方形，如圖1．①用尺規(guī)作出點F，G（不寫作法，保留作圖痕跡）；②求證：(2)如圖2，連接并延長，交于點，當恰為的中點時，求的值．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【分析】（1）①以點C為圓心，長為半徑畫弧，以點E為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于F，連接，延長交于G即可；②根據正方形的性質與折疊的性質得，，再證明，得，設，，則，，+，根據勾股定理得：，解得，所以，，即可得出結論．（2）根據矩形的性質與折疊的性質得，則，再由等腰三角形的性質和直角三角形的性質證得，設，，則，根據勾股定理，解得，代入即可求解．【詳解】（1）解：①如圖，點F，G即為所作的點，（答案不唯