試題PAGE1試題2024北京中關(guān)村中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)2024.4本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（共40分）一、選擇題，本部分共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）A.或 B. C. D.4.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.5.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B. C.2 D.6.已知函數(shù)若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A. B. C. D.7.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則m的值為（）A. B. C. D.8.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，其中(單位：是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移，(單位：)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1 B. C. D.9.已知等比數(shù)列滿足，記，則數(shù)列（）A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)10.已知數(shù)列滿足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿足；②數(shù)列的前n項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿足.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②④第二部分（共110分）二、填空題，本題共5小題，每題5分，共25分．11.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____，漸近線方程為_(kāi)_____．12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的虛部為_(kāi)_________,______．13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______，數(shù)列的前項(xiàng)和______．14.已知等邊的邊長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，則_______；若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)______．15.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是______．三、解答題，本題共6小題，共85分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）若成等比數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）設(shè)，直接寫(xiě)出數(shù)列的最小項(xiàng)．17.在中，．（1）求角的大小；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.19.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．20.已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程和離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.21.集合，集合，若集合中元素個(gè)數(shù)為，且所有元素從小到大排列后是等差數(shù)列，則稱集合為“好集合”．（1）判斷集合是否為“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值．

參考答案第一部分（共40分）一、選擇題，本部分共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】分別求解不等式和，得到集合,再求其并集即得.【詳解】由可得，則得；由可得，則得,故故選：C.2.【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可對(duì)選項(xiàng)一一判斷即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.3.【答案】D【分析】由原函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可分析得出其極小值點(diǎn).【詳解】由求導(dǎo)得，，因，由可得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；故在處取得極大值,在處取得極小值.即函數(shù)的極小值點(diǎn)為.故選:D.4.【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)可排除AD,再由時(shí)函數(shù)恒正排除C即可得解.【詳解】因?yàn)椋睿獾没颍涣睿獾茫栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為，故排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，所以恒為正，排除選項(xiàng)C，即只有選項(xiàng)B符合要求.故選：B．5.【答案】D【分析】由題意可證平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積．【詳解】如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設(shè)，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積．故選：．6.【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由在定義域內(nèi)恒成立即可得．【詳解】對(duì)于任意都有，則在定義域內(nèi)是減函數(shù)，，所以在時(shí)恒成立，即，而，所以．故選：B．7.【答案】D【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)以及半徑，由等邊三角形的性質(zhì)可得到圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求出的值即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，故選：D.8.【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)后，由余弦函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】小球的瞬時(shí)速度為，，，因此首次達(dá)到最大值時(shí)，．故選：D．9.【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，，，由知，時(shí)，數(shù)列是遞增的，時(shí)，數(shù)列是遞減的，于是得數(shù)列的最大項(xiàng)為，而n為奇數(shù)時(shí)，，n偶數(shù)時(shí)，，所以和分別是數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).故選：A10.【答案】C【分析】由遞推公式，判斷每個(gè)命題的正誤.【詳解】①，，，所以，由遞推關(guān)系得，①正確；②，，，，則，所以②不正確；③，所以，累加得，，所以，，所以（，），，故成立，③正確；④，，累乘得，，所以，④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】將遞推公式變形為和分別進(jìn)行累加和累乘，得的取值范圍.第二部分（共110分）二、填空題，本題共5小題，每題5分，共25分．11.【答案】①.10②.【分析】由雙曲線方程得到，.再利用雙曲線漸近線方程的公式加以計(jì)算，可得到答案.【詳解】由雙曲線方程為可得，，，即，.∴實(shí)軸長(zhǎng)為.∴漸近線方程為.故答案為：10；.12.【答案】①.②.【分析】根據(jù)點(diǎn)寫(xiě)出復(fù)數(shù)，求出即得其虛部；先求得，再求其模長(zhǎng)即得.【詳解】依題意，，則，故的虛部為；因，則.故答案為：；.13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)已知條件先求出首項(xiàng)，再利用即可求解；再結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋矗援?dāng)，，當(dāng)，，整理得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故答案為：；.14.【答案】①.②.##【分析】第一空：通過(guò)展開(kāi)整理，帶入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；第二空：設(shè)，通過(guò)展開(kāi)整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.【詳解】;若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，不妨設(shè)點(diǎn)相對(duì)更靠近點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，取最小值，且為.故答案為：；.15.【答案】①..②..【分析】空1：由函數(shù)圖像可以直接讀，進(jìn)一步計(jì)算出；空2：通過(guò)周期及函數(shù)上的點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出的值，可得解析式，然后進(jìn)行平移得到，利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)取最值即可.【詳解】空1：由圖像可知，，即.空2：，即，∴,又過(guò)點(diǎn),∴，即,又在原圖增區(qū)間上，∴，向右平移個(gè)單位可得,又為偶函數(shù)，∴，即，∵，∴.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)周期的大小和函數(shù)上的點(diǎn)，可求出的解析式，再平移得到，然后根據(jù)奇偶性求參.三、解答題，本題共6小題，共85分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置．16.【答案】（1）9（2）（3）【分析】（1）由題設(shè)易得，利用成等比數(shù)列列出方程解之即得；（2）由（1）的結(jié)論和數(shù)列為等比數(shù)列可求出該數(shù)列的通項(xiàng)，繼而求出，利用分組求和法即可求得；（3）將（1）的結(jié)論代入，化簡(jiǎn)得，因是奇數(shù)，不妨設(shè)將右式化成雙勾函數(shù)形式，利用其單調(diào)性即可求得的最小項(xiàng).【小問(wèn)1詳解】由可得，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為2，又，則得，解得，故.因成等比數(shù)列，，即，解得.【小問(wèn)2詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因，則數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比，則，故，于是.【小問(wèn)3詳解】，記，則且是奇數(shù)，設(shè)，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因是奇數(shù)，，故時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的最小項(xiàng)為.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角關(guān)系即可求得；（2）考查①②組合或者①③組合，均因得出，推得三角形不存在；考查②③組合時(shí)，先由求出，由正弦定理求得，再用和角公式求得的值，即可利用三角形面積公式求得.【小問(wèn)1詳解】由和正弦定理可得，，因，則得，因，，則得，解得；【小問(wèn)2詳解】若選①②，由，，和正弦定理，可得，故值不存在，不存在，與題意不符；若選②③，，，，則，由正弦定理，，解得，又,于是，的面積為.若選①③，，，，由正弦定理，，故值不存在，不存在，與題意不符.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得棱的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫矫妫矫妫裕?【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫裕矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由題意可得，，解得，則.19.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析（4）證明見(jiàn)解析【分析】（1）分別求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，寫(xiě)出切線方程即得；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)在的極大值，與端點(diǎn)函數(shù)值比較，取其中較大值即為函數(shù)最大值；（3）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（4）根據(jù)（3）得到的單調(diào)性，可推知在上沒(méi)有零點(diǎn)，而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到至多有一個(gè)零點(diǎn)，再用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明的確存在零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，故，.從而所求切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，故.從而當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí).故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.根據(jù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)有，而當(dāng)時(shí)有.所以對(duì)任意都有，而，故在上的最大值是；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，由于，故①當(dāng)時(shí)，，從而對(duì)和均有，故在和上單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，有，，從而當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí).故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有，從而當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)4詳解】當(dāng)時(shí)，由（3）可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.一方面，對(duì)，有，這表明在上沒(méi)有零點(diǎn).而在上單調(diào)遞增，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn).二者結(jié)合，就可得到至多有一個(gè)零點(diǎn)；另一方面，我們又有，，以及.故由零點(diǎn)存在定理可知，必有一個(gè)上的零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).20.【答案】（1），（2）2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出后可得橢圓方程并可求離心率.（2）設(shè)，，則可用諸參數(shù)表示，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，并利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得斜率的比值.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓的方程為，故離心率為.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)可得的斜率必存在