試題PAGE1試題2024北京一六一中高二（下）期中數學本試卷共2頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置．1.數列1，3，7，15，…的一個通項公式是（）A. B. C. D.2.已知和在區間上的平均變化率分別為a和b，則（）A. B. C. D.a和b的大小隨著m，n的改變而改變3.數列的前n項和為，且，，則等于（）A.35 B.48 C. D.934.函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（）A. B.C. D.5.已知等差數列的前n項和為，且滿足，則數列的公差是（）A. B.1 C.2 D.36.函數在內有且只有一個零點，則（）A.3 B.1 C.0 D.7.設，若函數有大于零的極值點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.設數列是等比數列，則“”是“為遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.若函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知.將四個數按照一定順序排列成一個數列，則A.當時，存在滿足已知條件的，四個數構成等比數列B.當時，存在滿足已知條件的，四個數構成等差數列C.當時，存在滿足已知條件的，四個數構成等比數列D.當時，存在滿足已知條件的，四個數構成等差數列二、填空題：本大題共5小題，共25分．把答案填在答題紙中相應的橫線上．11.函數在區間上的最大值是______；最小值是______．12.已知曲線的一條切線的傾斜角為．則切點橫坐標為______．13.等差數列的前n項和為，，，則______．14.剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國古老的民間藝術之一，已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為2的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形內多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作4次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為______．15.對于函數：①，②，③，④．判斷如下兩個命題的真假：命題甲：在區間上是增函數；命題乙：在區間上恰有兩個零點，，且．能使命題甲、乙均為真的函數的序號是______．（請寫出所有滿足條件的函數序號）三、解答題：本大題共6題，共85分．把答案填在答題紙中相應的位置上．16.已知等差數列的公差，且，，的前n項和為．（1）求的通項公式；（2）若，，成等比數列，求m的值．17.如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，若曲線在直線的上方，求實數的取值范圍．19.已知曲線：是焦點在軸上的橢圓．（1）求實數的取值范圍；（2）若，過點的直線與直線交于點，與橢圓交于，點關于原點的對稱點為，直線交直線交于點，求的最小值．20.已知函數()，．（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）當時，若函數在區間內存在唯一的極值點，求的值．21.已知數列的首項，其中，，令集合．（1）若，寫出集合A中的所有的元素；（2）若，且數列中恰好存在連續的7項構成等比數列，求a的所有可能取值構成的集合；（3）求證：．

參考答案一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置．1.【答案】A【分析】由前4項得到，再利用累加法求解即得．【詳解】依題意得，，，由此可得，所以．又也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是．故選：A2.【答案】B【分析】根據函數平均變化率的定義求得和，再比較大小即得.【詳解】依題意，，，所以.故選：B3.【答案】D【分析】根據題意，判斷為等比數列，再根據等比數列前項和公式，即可求得結果.【詳解】根據題意，數列是首項為，公比為的等比數列，故.故選：D.4.【答案】D【詳解】原函數先減再增，再減再增，且位于增區間內，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續分布于軸上下方，則為原函數單調性的拐點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數的正負，得出原函數的單調區間．5.【答案】C【分析】在題設條件的兩邊同時乘以6，然后借助前項和公式進行求解．【詳解】解：，，，．故選：C．【點睛】本題考查等差數列的性質和應用，解題時要注意前項和公式的靈活運用，屬于基礎題．6.【答案】A【分析】對函數進行求導，并分類討論函數的單調性，根據單調性結合已知可以求出的值.【詳解】由函數，求導得，①當時，在上，可得函數在上單調遞增，且，函數在上沒有零點；②當a＞0時，在上的解為，因此函數在單調遞減，在單調遞增，在處取得極小值，又只有一個零點，，所以．故選：A7.【答案】C【分析】求出函數的導數，由函數極值點的定義，結合函數與方程參變分離即可求解.【詳解】由函數，求導得，依題意，有正根，即方程有正根，而當時，，所以的取值范圍為.故選：C8.【答案】B【分析】當時，可得，但此時數列不單調，根據數列的單調性，結合充分、必要條件的判定方法，即可得答案.【詳解】當時，，雖然有，但是數列為擺動數列，并不是遞增數列，所以不充分；反之當數列是遞增數列時，則必有，因此是必要條件，故選：B．【點睛】本題考查充分、必要條件的判斷，數列的單調性，著重考查推理分析的能力，屬基礎題.9.【答案】C【分析】求出函數的導數，利用單調性可得在上恒成立，再借助恒成立問題求解.【詳解】由函數，求導得，由函數在上單調遞減，得在上恒成立，即在上恒成立，因此在上恒成立，而，當時，，，則，所以實數a的取值范圍是.故選：C10.【答案】D【分析】注意到時，符合題目的要求，由此得出正確選項.【詳解】注意到時，，且的值為，構成公差為的等差數列.由此判斷出D選項正確.故選D.【點睛】本小題主要考查等比數列、等差數列的定義，考查分析求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共5小題，共25分．把答案填在答題紙中相應的橫線上．11.【答案】①.5②.【分析】求出給定函數的導數，探討在指定區間上的單調性，求出最大值、最小值.【詳解】由，求導得，而，則當時，，當時，，因此函數在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，函數在處取到極小值，當時，，當時，，則函數在處取到極大值5所以函數在區間上的最大值是5，最小值是.故答案為：5；12.【答案】【分析】根據導數的幾何意義，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】根據題意，設切點橫坐標為，由，可得，故，解得.故答案為：.13.【答案】【分析】根據等差數列前項和的性質，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】根據等差數列前項和的片段和性質可知：也構成等差數列，也即構成等差數列，則，解得.故答案為：.14.【答案】【分析】記第個內接正方形的邊長為，其內切圓的半徑為，找到它們之間的遞推關系：，，這樣就可以直接列舉并求出結果.【詳解】第次剪去正方形內多余部分的面積記為；因為的半徑為2，由其內接正方形對角線為直徑，所以內接正方形的邊長為，即，再作第一個內切圓，其直徑為該正方形的邊長，即，所以第一次剪去部分的面積為，同理：，，，，，，，，，所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面積之和為：，故答案為：.15.【答案】②③【分析】分別分析四個函數的性質，求出它們的單調區間，以及他們在區間上零點的個數，和題目中的兩個條件進行比照，即可得到答案．【詳解】函數①，令，可得，即，解得，故在區間上有無數個零點，命題乙為假，函數①不滿足條件；函數②，在區間上，函數是增函數，函數也是增函數，兩者的和函數也是增函數，命題甲為真；分別畫出與的圖像如圖所示，在時恰有兩個不同的交點，即在區間上恰有兩個零點，，且，有，命題乙為真，函數②滿足條件；函數③，，在區間上，，在區間上是增函數，命題甲為真；在上，，單調遞減；在上，，單調遞增，當時，取得最小值，又，令，解得或，即為的兩個零點，∴在區間上恰有兩個零點，，且，命題乙為真．函數③滿足條件.函數④，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，則有，故在區間上只有一個零點，命題乙為假，函數④不滿足條件；故答案為：②③.三、解答題：本大題共6題，共85分．把答案填在答題紙中相應的位置上．16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據給定條件，列出方程組求出，即可求得數列的通項公式.（2）由（1）的結論，求出前n項和為，結合已知列出方程，即可求解.【小問1詳解】等差數列中，由，得，又，而，即，解得，則，于是所以數列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，則，，，由，，成等比數列，得，即，整理得，而，解得，所以.17.【答案】（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性質定理可得平面，再利用線面垂直的性質定理即可證出.（2）取上的點，使得，證明且，過作于，則平面，連接，則為直線與平面所成角，求解三角形即可得出答案.【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，平面平面，且平面平面，平面，則.（2）取上的點，使得，則且，且，則四邊形為平行四邊形，則且，由，，可得，過作于，則平面，連接，則為直線與平面所成角，在中，求得，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的性質定理、線面垂直的性質定理、線面角，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數的導函數，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）依題意可得當時，恒成立，參變分離可得當時，恒成立，令，，利用導數說明函數的單調性，即可求出的范圍，從而得解.【小問1詳解】當時，，則，所以切線斜率，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】由題意可知，當時，恒成立，即當時，恒成立，設，，則，所以在上單調遞減，所以，所以，即實數的取值范圍為．19.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意將橢圓方程化為標準式，根據焦點的位置及橢圓方程的特征列出不等式組，解得即可；（2）首先得到橢圓方程，設出直線的方程，聯立方程，求得點，的坐標，根據對稱性得到點的坐標，從而得到直線的方程，令，求出點的坐標，得到的表達式，再根據均值不等式進行求解即可．【小問1詳解】因為曲線是焦點在軸上的橢圓，即，所以，解得，則實數的取值范圍為；【小問2詳解】易知直線的斜率存在且不為，不妨設直線的方程為，聯立，解得，即，當時，橢圓方程為，聯立，消去并整理得，解得，則，即，因為點關于原點的對稱點為，所以，此時，所以直線的方程為，當時，解得，即，所以，則，因為，所以，，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最小值，最小值為．故的最小值為．【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調性法；④三角換元法；⑤導數法等，要特別注意自變量的取值范圍.20.【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出的導數，根據函數的單調性得到導函數的零點，求出函數的極值點，求出的值即可．【詳解】（Ⅰ）由已知得，．（ⅰ）當時，恒成立，則函數在為增函數；（ⅱ）當時，由，得；由，得；所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（Ⅱ）因為，則．由（Ⅰ）可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減．又因為，，所以在上有且只有一個零點．又在上，在上單調遞減；在上，在上單調遞增．所以為極值點，此時．又，，所以在上有且只有一個零點．又在上，在上單調遞增；在上，在上單調遞減．所以為極值點，此時．綜上所述，或．【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．21.【答案】（1）4，5，6，2，3，1；（2）{,}；（3）證明見解析.【分析】（1）由，利用遞推關系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，發現a6以后的值與前面項中的值重復出現，由此可知集合A中共有6個元素；（2）設出數列中的一項為，若是3的倍數，則有；若是被3除余1，由遞推關系得到，若被3除余2，由遞推關系得到．說明構成的連續7項成等比數列的公