試題PAGE1試題2024北京一零九中高二（下）期中數學一、選擇題1.（）A.65 B.160 C.165 D.2102.已知函數，設是函數的導函數，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.43.在二項式的展開式中，的系數為（）A.-60 B.60 C.-30 D.304.已知，，等于A. B. C. D.5.將六位教師分配到3所學校，若每所學校分配2人，其中分配到同一所學校，則不同的分配方法共有（）A.12種 B.18種 C.36種 D.54種6.設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A.B.C.D.7.甲口袋中有3個紅球，2個白球，乙口袋中有4個紅球，3個白球，先從甲口袋中隨機取出1球放入乙口袋，分別以，表示從甲口袋取出的球是紅球?白球的事件；再從乙口袋中隨機取出1球，以表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則（）A. B. C. D.8.已知函數，則不等式的解集是（）A. B. C. D.9.某校一場小型文藝晩會有6個節目，類型為：2個舞蹈類?2個歌唱類?1個小品類?1個相聲類.現確定節目的演出順序，要求第一個節目不排小品類，2個歌唱類節目不相鄰，則不同的排法總數有（）A.336種 B.360種 C.408種 D.480種10.已知定義域為的函數，其導函數為，且滿足，，則（）A. B.C. D.二、填空題11.的展開式中的常數項為______.12.已知，則______.13.從0，1，2，3，4這5個數中任選3個數，組成沒有重復數字的三位數的個數為______．14.將五個學生代表名額分配到四個班級，每班至少有一人，則有______種不同的分配方案．(用數字作答)15.設某學校有甲、乙兩個校區和兩個食堂，并且住在甲、乙兩個校區的學生比例分別為和；在某次調查中發現住在甲校區的學生在食堂吃飯的概率為，而住在乙校區的學生在食堂吃飯的概率為，則任意調查一位同學是在食堂吃飯的概率為________．如果該同學在食堂吃飯，則他是住在甲校區的概率為________．（結果用分數表示）三、解答題16.袋中有大小相同，質地均勻的3個白球，5個黑球，從中任取2個球，設取到白球的個數為X．（1）求的值；（2）求隨機變量X的分布列和數學期望．17.已知函數．（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間．18.如圖，在三棱柱中，側面為正方形，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19.已知函數.（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數a的值；（2）當時，求證：；（3）若函數在區間上存在極值點，求實數a的取值范圍.20.已知橢圓的一個頂點為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設為原點．直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），與直線交于點，直線分別與直線交于點．求證：．21.已知函數．（1）求的單調區間；（2）若對恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：若在區間上存在唯一零點，則．

參考答案一、選擇題1.【答案】C【分析】根據排列數、組合數的公式計算可得.【詳解】.故選：.2.【答案】A【分析】利用導數的運算法則求出導數，再代值計算作答.【詳解】函數，求導得：，所以.故選：A3.【答案】B【分析】先求出二項展開式的通項公式，再令x的指數為4求解.【詳解】∵二項式的展開式的通項公式為：；令可得：；故選：B.【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式，屬于基礎題.4.【答案】C【詳解】試題分析：根據條件概率的定義和計算公式：把公式進行變形，就得到，故選C.考點：條件概率.5.【答案】B【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數.【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有種分法，故不同的分配方法共有種，故選：B.6.【答案】C【分析】根據導函數的圖象可得的單調性，即可結合選項求解.【詳解】由的圖象可知：當和時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，結合選項可知，只有C中函數符合要求，故選：C7.【答案】A【分析】分別求出，，再根據全概率公式求出，再根據條件概率公式即可得解.【詳解】，，，.故選：A.8.【答案】A【分析】利用導數及導函數的單調性判斷極小值點在，再由函數的單調性及可得不等式的解集.【詳解】因為單調遞增，且，，所以存在唯一，使得，所以當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，且，所以由可得，故選：A9.【答案】C【分析】先求第一個節目不排小品類不同的排法種數，再求第一個節目不排小品類且2個歌唱類節目相鄰的排法種數，再相減即可.【詳解】利用間接法：第一個節目不排小品類，共有種不同的排法，第一個節目不排小品類且2個歌唱類節目相鄰，共有種不同的排法，所以第一個節目不排小品類，2個歌唱類節目不相鄰，有種不同的排法，故選：C.10.【答案】D【分析】構造函數，由得，進而判斷函數的單調性，判斷各選項不等式.【詳解】依題意令，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；又，即，即，故C錯誤；因為，即，即，故D正確；故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是根據題意構造函數，利用導數說明函數的單調性，即可比較函數值的大小.二、填空題11.【答案】【分析】利用二項式展開式的通項公式計算,即可得出答案.【詳解】的展開式的通項公式，當即時，故的展開式中的常數項為.故答案為：12.【答案】【分析】賦值法求系數和即可.【詳解】令得，所以.故答案為：13.【答案】【分析】根據題意，結合分步計數原理，先安首位數字，再安第二、三位的數字，即可求解.【詳解】由題意，從0，1，2，3，4這5個數中任選3個數，組成沒有重復數字的三位數的個數，根據分步計數原理，先安首位數字，再安第二、三位的數字，可得.故答案為：.14.【答案】4【分析】由題意轉化為選一個班安排2個名額問題即可得解.【詳解】因為只有一個班2個名額，所以安排方法為種，故答案為：415.【答案】①.②.【分析】根據條件，結合全概率公式，以及條件概率公式，即可求出結果.【詳解】記為事件“該同學住在甲校區”，為事件“該同學在食堂吃飯”，則，，故，如果該同學在食堂吃飯，則他是住在甲校區的概率為，故答案為：；.三、解答題16.【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可.（2）得出的可能取值，求出對應的概率，列出分布列，即可得出數學期望.【小問1詳解】根據題意可知，“”指事件“取出的個球中，恰有個白球”，所以.【小問2詳解】根據題意可知，的可能取值為：．；；．所以隨機變量X的分布列為：則的數學期望．17.【答案】（1）（2）單調遞減區間為，單調遞增區間為.【分析】（1）根據題意，利用導數的幾何意義，即可求得切線方程；（2）求得，結合導數的符號，即可求解函數的單調區間.【小問1詳解】解：由函數，可得，可得，因為切點為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】解：由函數，其定義域為，且，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.18.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據線線平行證明面面平行；（2）向量法求二面角.【小問1詳解】如圖，連接，設，連接．因為在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以為的中點．因為為的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為，，又，平面，平面，所以平面，又因平面，所以．又，所以，，兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標系，則，，，．所以，．設平面的法間量為，則即，令，則，于是．因為平面，所以是平面的一個法向量．所以．由題設，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．19.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）利用導數的幾何意義求解即可；（2）利用導數得出函數的單調性，進而得出其最小值，即可證明；（3）分類討論的值，利用導數得出的單調性，結合題意，即可得出實數a的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以.由題知，解得.（2）當時，，所以當時，，在區間上單調遞減；當時，，在區間上單調遞增；所以是在區間上的最小值.所以.（3）由（1）知，.若，則當時，，在區間上單調遞增，此時無極值.若，令，則.因為當時，，所以在上單調遞增.因為，而，所以存在，使得.和的情況如下：x0極小值因此，當時，有極小值.綜上，a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數證明不等式，導數幾何意義的應用等，屬于中檔題.20.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）結合題意，列出方程組計算即可得；（2）設直線為，聯立橢圓方程可得與橫坐標有關韋達定理，借助、兩點坐標可表示出、，計算可得，即可得解.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設其方程為．則，直線的方程為，由，得，由，得，設，則，直線的方程為，聯立直線和得，解得，同理可得，所以，因為，所以，即點和點關于原點對稱，所以．.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21.【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）討論、，結合導數的符號確定單調區間；（2）由，討論、研究導數符號判斷單調性，進而判斷題設不等式是否恒成立，即可得參數范圍；（3）根據（2）結論及零點存在性確定時在上存在唯一零點，由零點性質及區間單調性，應用分析法將問題轉化為證在上恒成立，即可證結論.【小問1詳解】由題設，當時，，則在R上遞增；當時，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時的遞增區間為R，無遞減區間；時的遞減區間為，遞增區間為.【小問2詳解】由，當時，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當時，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上