第二章第9講[A級基礎達標]1．下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，它最可能的函數模型是()A．一次函數模型 B．冪函數模型C．指數函數模型 D．對數函數模型x45678910y15171921232527【答案】A【解析】根據已知數據可知，自變量每增加1函數值增加2，因此函數值的增量是均勻的，故為一次函數模型．2．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()A．118元 B．105元 C．106元 D．108元【答案】D【解析】設進貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3．(2017屆合肥調研)某工廠6年來生產某種產品的情況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變，則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系圖象正確的是()【答案】A【解析】前3年年產量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖象符合要求，而后3年年產量保持不變，故選A．4．將出貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應定為()A．85元 B．90元 C．95元 D．100元【答案】C【解析】設每個售價定為x元，則利潤y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，∴當x＝95時，y最大．5．我國為了加強對煙酒生產的宏觀管理，除了應征稅收外，還征收附加稅．已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶；若每銷售100元國家要征附加稅x元(叫做稅率x%)，則每年銷售量將減少10x萬瓶，如果要使每年在此項經營中所收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值為()A．2 B．6 C．8 D．【答案】A【解析】由分析可知，每年此項經營中所收取的附加稅額為104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)，令104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值為2.6．(2017屆長春模擬)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經過8min后發現容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．【答案】16【解析】當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2).容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經過16min.7．西北某羊皮手套公司準備投入適當的廣告費對其生產的產品進行促銷．在一年內，根據預算得羊皮手套的年利潤L(萬元)與廣告費x(萬元)之間的函數解析式為L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)，則當年廣告費投入________萬元時，該公司的年利潤最大．【答案】4【解析】由題意，得L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝eq\f(43,2)，當eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4時取等號，即x＝4時，L取得最大值21.5.故當年廣告費投入4萬元時，該公司的年利潤最大．8．如圖所示，已知邊長為8m的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4m，CD＝6m．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，(1)設MP＝x，PN＝y(單位：m)，將y表示成x的函數，求該函數的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．【解析】(1)如圖，作PQ⊥AF于點Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．(2)設矩形BNPM的面積為Sm2，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是關于x的二次函數，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調遞增．所以當x＝8m時，矩形BNPM的面積取得最大值，為[B級能力提升]9．有濃度為90%的溶液100g，從中倒出10g后再倒入10g水稱為一次操作，要使濃度低于10%，這種操作至少應進行的次數為(參考數據：lg2≈0.3010，lgA．19 B．20 C．21 D．【答案】C【解析】操作次數為n時的濃度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1<10%，得n＋1>eq\f(－1,lg\f(9,10))＝eq\f(－1,2lg3－1)≈21.8，∴n≥21.10．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14【答案】A【解析】由三角形相似，得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180.∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.11．某種病毒經30min繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規律為y＝ekt(其中k為常數，t表示時間，單位：h，y表示病毒個數)，則k＝________，經過5h,1個病毒能繁殖為________個．【答案】2ln21024【解析】當t＝0.5時，y＝2，∴2＝eeq\f(1,2)k.∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2.當t＝5時，y＝e10ln2＝210＝1024.12．某建材商場國慶期間搞促銷活動，規定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優惠，按右表折扣分別累計計算.可以享受折扣優惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關于x的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤800，,5%x－800，800<x≤1300，,10%x－1300＋25，x>1300.))若y＝30元，則他購物實際所付金額為________元．【答案】1350【解析】若x＝1300元，則y＝5%(1300－800)＝25(元)<30(元)，因此x>1300.∴由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元)．13．(2016年佛山一模)某工廠生產某種產品，每日的成本C(單位：萬元)與日產量x(單位：噸)滿足函數關系式C＝3＋x，每日的銷售額S(單位：萬元)與日產量x的函數關系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋50<x<6，,14x≥6，))已知每日的利潤L＝S－C，且當x＝2時，L＝3.(1)求k的值；(2)當日產量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值．【解析】(1)由題意，可得L＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋2，0<x<6，,11－x，x≥6，))因為x＝2時，L＝3，所以3＝2×2＋eq\f(k,2－8)＋2，解得k＝18.(2)當0＜x＜6時，L＝2x＋eq\f(18,x－8)＋2，所以L＝2(x－8)＋eq\f(18,x－8)＋18＝－[2(8－x)＋eq\f(18,8－x)]＋18≤－2eq\r(28－x·\f(18,8－x))＋18＝6.當且僅當2(8－x)＝eq\f(18,8－x)，即x＝5時取得等號．當x≥6時，L＝11－x≤5.所以當x＝5時，L取得最大值6.所以當日產量為5噸時，每日的利潤可以達到最大值6萬元．14．有一種新型的洗衣液，去污速度特別快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度y(g/L)隨著時間x(min)變化的函數關系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－x)－1，0≤x≤4，,7－\f(1,2)x，4<x≤14.))若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4g/L時，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k個單位的洗衣液，當2min時水中洗衣液的濃度為3g/L，求k(2)若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可達幾分鐘？(3)若第一次投放2個單位的洗衣液，10min后再投放1個單位的洗衣液，則在第12min時洗衣液是否還能起到有效去污的作用？請說明理由．【解析】(1)由題意知keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－2)－1))＝3，∴k＝1.(2)因為k＝4，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(96,8－x)－4，0≤x≤4，,28－2x，4<x≤14.))當0≤x≤4時，由eq\f(96,8－x)－4≥4，解得－4≤x<8，所以0≤x≤4.當4<x≤14時，