第七章第4講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則PB．由a1＝1，an＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【答案】B【解析】從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B．2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確【答案】C【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤．3．(2016年西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第()A．22項(xiàng) B．23項(xiàng) C．24項(xiàng) D．25項(xiàng)【答案】C【解析】兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5為和為8的第3項(xiàng)，所以為第24項(xiàng)，故選C．4．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P—ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,9) C．eq\f(1,64) D．eq\f(1,27)【答案】D【解析】正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).5．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A．n＋1 B．2n C．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【答案】C【解析】1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；…；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個(gè)區(qū)域，選C．6．給出下列三個(gè)類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①錯(cuò)誤．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4)，故②錯(cuò)誤．由向量的運(yùn)算公式知③正確．7．觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________．【答案】1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)【解析】觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．故第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).8．已知等差數(shù)列{an}中，有eq\f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30,30)，則在等比數(shù)列{bn}中，會(huì)有類似的結(jié)論：__________.【答案】eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30)【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20＝…＝b15b16，所以eq\r(10,b11b12…b20)＝eq\r(30,b1b2…b30).9．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面體A—BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．【解析】如圖所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面體A—BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于點(diǎn)F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC?平面ACD，AD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD．∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).[B級(jí)能力提升]10．已知：①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等；③正方形是矩形．根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論．則這個(gè)結(jié)論是()A．正方形的對角線相等 B．矩形的對角線相等C．正方形是矩形 D．其他【答案】A【解析】根據(jù)演繹推理的特點(diǎn)，正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系，所以結(jié)論是正方形的對角線相等．11．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：…圖1…圖2他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289 B．1024 C．1225 D．1【答案】C【解析】觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.12．如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×eq\f(R＋r,2).所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×eq\f(R＋r,2)為長的矩形面積．請你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A．2πr2d B．2π2r2d C．2πrd2 D．2π2rd2【答案】B【解析】平面區(qū)域M的面積為πr2，由類比知識(shí)可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實(shí)心的車輪內(nèi)胎，旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓(面積為πr2)為底，以O(shè)為圓心、d為半徑的圓的周長2πd為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πr2×2πd＝2π2r2d，選B．13．如圖1，若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形面積之比eq\f(S△OM1N1,S△OM2N2)＝eq\f(OM1,OM2)·eq\f(ON1,ON2).如圖2，若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP，OQ和OR上分別有點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類似的結(jié)論為____________．圖1圖2【答案】eq\f(VO－P1Q1R1,VO－P2Q2R2)＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)【解析】考查類比推理問題，由圖看出三棱錐P1－OR1Q1及三棱錐P2－OR2Q2的底面面積之比為eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2)，又過頂點(diǎn)分別向底面作垂線，得到高的比為eq\f(OP1,OP2)，故體積之比為eq\f(VO－P1Q1R1,VO－P2Q2R2)＝eq\f(OP1,OP2)·eq\f(OQ1,OQ2)·eq\f(OR1,OR2).14．給出下面的數(shù)表序列：表1表2表3113135…44812其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．寫出表4，計(jì)算表4各行中的數(shù)的平均數(shù)，寫出一個(gè)規(guī)律，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．【解析】表4為13574812122032它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列．15．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．【解析】(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝sin2α