湖北省襄陽五中、鐘祥一中、夷陵中學2023-2024學年高三下學期第一次診斷測試數學試題_第1頁
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文檔簡介

湖北省襄陽五中、鐘祥一中、夷陵中學2022-2023學年高三下學期第一次診斷測試數學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若函數的圖象過點,則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.3.從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線,垂足為,且,設拋物線的焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.4.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.105.在中,,,,點滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.76.已知復數滿足(是虛數單位),則=()A. B. C. D.7.已知數列的前n項和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.8.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體9.若實數、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.10.已知等差數列的公差不為零,且,,構成新的等差數列,為的前項和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.1311.已知,則()A. B. C. D.12.的展開式中的系數為()A.5 B.10 C.20 D.30二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知命題:,,那么是__________.14.在平面直角坐標系中,曲線在點處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數的底數.若點,的面積為3,則的值是______.15.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.16.已知實數,滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線的參數方程為(為參數),求直線被曲線截得的線段的長度18.(12分)已知拋物線與直線.(1)求拋物線C上的點到直線l距離的最小值;(2)設點是直線l上的動點,是定點,過點P作拋物線C的兩條切線,切點為A,B,求證A,Q,B共線;并在時求點P坐標.19.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.20.(12分)已知函數(I)當時,解不等式.(II)若不等式恒成立,求實數的取值范圍21.(12分)已知為坐標原點,點,,,動點滿足,點為線段的中點,拋物線:上點的縱坐標為,.(1)求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程;(2)若拋物線的準線上一點滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個定值;若不是,請說明理由.22.(10分)的內角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若,點為邊的中點,且,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】分析:根據復數的運算,求得復數z,再利用復數的表示,即可得到復數對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數z=2i1-i所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數的四則運算及復數的表示,其中根據復數的四則運算求解復數z是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.2.B【解析】

把已知點坐標代入求出,然后驗證各選項.【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數為,四個選項都不合題意,若,則函數為,只有時,,即是對稱軸.故選:B.【點睛】本題考查正弦型復合函數的對稱軸,掌握正弦函數的性質是解題關鍵.3.A【解析】

根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標,進而求出點的坐標,代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為,由題意知,焦點,準線方程,所以,解得,把點代入拋物線方程可得,,因為,所以,所以點坐標為,代入斜率公式可得,.故選:A【點睛】本題考查拋物線的性質,考查運算求解能力;屬于基礎題.4.D【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數的幾何意義為,可行域內點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規劃問題,考查數形結合思想,屬于中檔題.5.D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數量積.【詳解】在中,,,,點滿足,可得則==【點睛】本題考查了向量的數量積運算,關鍵是利用基向量表示所求向量.6.A【解析】

把已知等式變形,再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的基本概念,是基礎題.7.D【解析】

利用數列的遞推關系式判斷求解數列的通項公式,然后求解數列的和,判斷選項的正誤即可.【詳解】當時,.所以數列從第2項起為等差數列,,所以,,.,,.故選:.【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用、數列求和以及數列的通項公式的求法,考查轉化思想以及計算能力,是中檔題.8.C【解析】

根據基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.9.D【解析】

根據約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,求出最優解的坐標,代入目標函數得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯立,得,可得點,由得,平移直線,當該直線經過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故選:D.【點睛】本題考查簡單的線性規劃,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.10.D【解析】

利用等差數列的通項公式可得,再利用等差數列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,構成等差數列可得即又解得:又所以時,.故選:D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎題.11.B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導公式的應用,同角三角函數基本關系式的應用,考查計算能力.12.C【解析】

由知,展開式中項有兩項,一項是中的項,另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知,,因為展開式的通項為,所以展開式中的系數為.故選:C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項,解決這類問題要注意通項公式應寫準確,本題是一道基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.真命題【解析】

由冪函數的單調性進行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因為在上單調遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假,屬于基礎題.14.【解析】

對求導,再根據點的坐標可得切線方程,令,可得點橫坐標,由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點睛】本題考查利用導數研究函數的切線,難度不大.15.【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示長方體對角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學生空間想象能力以及基本計算能力,是一道基礎題.16.【解析】

畫出不等式組表示的平面區域,將目標函數理解為點與構成直線的斜率,數形結合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區域如下所示:因為可以理解為點與構成直線的斜率,數形結合可知,當且僅當目標函數過點時,斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查目標函數為斜率型的規劃問題,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【解析】解:解:將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長度為.……………14分18.(1);(2)證明見解析,或【解析】

(1)根據點到直線的公式結合二次函數的性質即可求出;(2)設,,,,表示出直線,的方程,利用表示出,,即可求定點的坐標.【詳解】(1)設拋物線上點的坐標為,則,時取等號),則拋物線上的點到直線距離的最小值;(2)設,,,,,,直線,的方程為分別為,,由兩條直線都經過點點得,為方程的兩根,,直線的方程為,,,,,共線.又,,,解,,點,是直線上的動點,時,,時,,,或.【點睛】本題考查拋物線的方程的求法,考查直線方程的求法,考查直線過定點的解法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結合正弦定理,可得結果.(Ⅱ)根據,可得,然后使用余弦定理,可得結果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應用,關鍵在于識記公式,屬中檔題.20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據零點分區間法,去掉絕對值解不等式;(2)根據絕對值不等式的性質得,因此將問題轉化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質得:,要使不等式恒成立,則當時,不等式恒成立;當時,解不等式得.綜上.所以實數的取值范圍為.21.(1)曲線的標準方程為.拋物線的標準方程為.(2)見解析【解析】

(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動點P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標準方程,根據平面向量數量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標準方程;(2)設出點P的坐標,再表示出點N和Q的坐標,根據題意求出的值,即可判斷結果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動點的軌跡是以,為焦點的橢圓,又知,,所以曲線的標準方程為.又由題知,所以,所以,又因為點在拋物線上,所以,所以拋物線的標準方程為.(2)設,,由題知,所以,即,所以,又因為,,所以,所以為定值,且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定

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