數學試驗高等數學分冊1/36理工數學試驗第2章一元函數微分法

2/36第2章一元函數微分法驗證性試驗試驗一初等函數導數試驗二隱函數與參量函數導數試驗三函數微分試驗四導數應用3/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗試驗一初等函數導數【試驗目標】1.熟悉基本求導公式，掌握初等函數求導方法2.會求函數在給定點處導數值【試驗要求】熟悉，Matlab中求導命令diff4/36輸入方式:（1）求一階導數

dy=diff(y)或：

dy=diff(y,v)（2）求高階導數

dy=diff(y,n)或：dy=diff(y,v,n)1.y是被求導函數,是符號表示式;2.v

是指定對其求導自變量,是符號變量.

若函數表示式中有多個符號變量,最好應指定

其中某個為對其求導自變量,以免犯錯.3.n

指定求導數階數;4.dy

是求導輸出結果,也是符號表示式.注解:5/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗【試驗內容】1.求以下函數導數(1)(2)【試驗過程】

1.（1）>>symsx>>y=exp(x)*(sin(x)+cos(x));>>diff(y)運行結果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x))+exp(x)*(cos(x)-sin(x))

即函數導數為

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第2章一元函數微分法—驗證性試驗（2）>>symsx>>y=log((x^3+1)/(x^2+1));>>diff(y)運行結果：ans=(3*x^2/(x^2+1)-2*(x^3+1)/(x^2+1)^2*x)/(x^3+1)*(x^2+1)即函數導數化簡得7/362.求以下函數在給定點處導數值（1）已知函數，求；2.（1）>>symsx;>>f=1/x;>>f1=diff(f,x);>>ff=inline(f1);>>x=1;>>ff(1)運行結果：ans=-1>>x=-2;>>ff(-2)運行結果：ans=-0.2500

第2章一元函數微分法—驗證性試驗8/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗

試驗二隱函數與參量函數導數【試驗目標】1．掌握隱函數求導方法和步驟2．掌握參量函數求一階導數和二階導數方法和公式【試驗要求】熟悉Matlab中解方程命令solve和求導命令diff9/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗【試驗內容】1.求以下隱函數導數(1)設，求【試驗過程】1.（1）解法一：>>symsxy;>>f=solve('x^2+y^2-R^2=0',y);>>diff(f,x)運行結果：ans=-1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x

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第2章一元函數微分法—驗證性試驗

即

或說明：對于能從方程中求出函數顯示形式題能夠采取這種做法。解法二：>>symsxyR;>>f=x^2+y^2-R^2;>>f1=diff(f,x);>>f2=diff(f,y);>>-f1/f2運行結果：ans=-x/y

即

說明：對于不能從方程中解出函數顯示形式題要采取這種做法。11/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗2.求以下參量函數導數（1）已知，求2.(1)>>symst;>>x=t^2;>>y=4*t;>>f=diff(y,t);f1=diff(x,t);>>f2=f/f1運行結果：f2=2/t

即12/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗

試驗三函數微分【試驗目標】1.知道函數求導與微分關系2.會求函數導數和微分【試驗要求】熟悉Matlab中求導命令diff，賦值命令inline.13/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗【試驗內容】1.求以下函數微分（1）;【試驗過程】1.（1）>>symsx;>>f=log(sin(x));>>f1=diff(f,x)運行結果：f1=cos(x)/sin(x)即：14/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗

試驗四導數應用【試驗目標】1.會寫函數Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函數極值和最值方法3.知道一點處導數幾何意義【試驗要求】熟悉Matlab中求Taylor展開式命令taylor，以及求極值方法15/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗【試驗內容】1.求函數Taylor展開式，并在同一坐標系下畫出函數及函數展開式圖形（1）將函數在處展開到第5項；【試驗過程】1.（1）>>symsx;>>f=sin(x);>>y=taylor(f,pi/2,6)運行結果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^416/36再畫出函數與展開式圖形：>>x=linspace(-2,2,60);>>f=sin(x);>>y=1-1/2*(x-1/2*pi).^2+1/24*(x-1/2*pi).^4;>>plot(x,f,x,y)運行結果：圖2-1函數與其Taylor展開式對比圖

第2章一元函數微分法—驗證性試驗17/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗2.求函數極值;>>symsx;>>y=2*x^3-3*x^2;>>f1=diff(y,x);>>f1=diff(y)運行結果：f1=6*x^2-6*x>>[x0]=solve(f1)18/36

第2章一元函數微分法—驗證性試驗運行結果：x0=01>>f2=diff(f1,x)運行結果：f2=12*x-6>>ff=inline(f2)>>ff(x0)運行結果：ans=-66由此可知：函數在點處二階導數為-6，所以0為極大值；函數在點處二階導數為6，所以-1為極小值。19/363.求圓過點（2，1）切線方程。>>symsxy;>>f=(x-1)^2+(y+3)^2-17;>>f1=diff(f,x);>>f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);>>ff=-f1/f2運行結果：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)>>f3=inline(ff)；>>f3(2,1)運行結果：ans=-0.2500所以切線方程為

第2章一元函數微分法—驗證性試驗20/36第2章一元函數微分法設計性試驗試驗一最優價格問題試驗二效果最正確問題試驗三相關改變率21/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗試驗一最優價格問題【試驗目標】1.加深對微分求導，函數極值等基本概念了解2.討論微分學中實際應用問題3.會用Matlab命令求函數極值【試驗要求】掌握函數極值概念，Matlab軟件中相關求導命令diff22/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗【試驗內容】

某房地產企業擁有100套公寓當每套公寓月租金為1000元時，公寓全部租出。當月租金每增加25元時，公寓就會少租出一套。1.請你為企業月租金定價，使得企業收益最大，并檢驗結論2.若租出去公寓每個月每套平均花費20元維護費，又應該怎樣定價出租，才能使企業收益最大【試驗方案】1.方法一：設每套公寓月租金在1000元基礎上再提升x元，每套租出公寓實際月收入為()元，共租出()套。23/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗

收益R(X)=()()(0≤x≤2500)R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點=750。

R″(x)=

<0，故R(x)在=750處取得極大值。在[0,2500]上只有一個駐點，故R（x）在=750處取最大值。即每套公寓月租金為1750元時，才能使企業收益最大。檢驗：x=1750元，少租出

=30套，實際租出70套，企業有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出時企業租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：設每套公寓月租金為x元，少租出套，實際租出

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第2章一元函數微分法—設計性試驗套收益R(x)=x()(1000≤x≤3500)

R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點=1750(每套公寓租金)檢驗討論如方法一。2.設每套公寓月租金在1000元再提升元，每套租出公寓實際月租金收入是(1000+x-20)元，共租出套收益R(x)=()()(0≤x≤2500)

25/36令R′(x)=0，解得駐點x=760。R″(x)=<0，故R(x)在=760處取得極大值。在[0,2500]上只有一個駐點，故R（x）在=760處取最大值。即每套公寓月租金為1760元時，才能使企業收益最大。【試驗過程】(1)方法一>>f=inline('-(1000+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750x=122500

第2章一元函數微分法—設計性試驗26/36方法二>>f=inline('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fminbnd(f,1000,3500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750x=122500(2)>>f=inline('-(980+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)f=Inlinefunction:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760

第2章一元函數微分法—設計性試驗27/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗試驗二效果最正確問題【試驗目標】1.利用積分概念、函數最大值(最小值)理論，處理實際最優化問題2.掌握符號求導實際應用3.熟悉Matlab命令求函數積分，解代數方程【試驗要求】掌握函數最大值(最小值)理論，Matlab軟件求導命令、解方程命令28/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗【試驗內容】

洗過衣服含有洗衣粉殘液，現用總量為Am3清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有am3洗衣粉殘液。若要求漂洗兩遍，問怎樣分配水兩次用水量，才能使漂洗效果最正確？【試驗方案】

設第一次用水量為xm3，則第二次用水量為(A-x)m3。并設漂洗前衣服上含有am3洗衣粉殘液中洗衣粉占bm3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比為，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比為

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第2章一元函數微分法—設計性試驗將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為兩次漂洗后效果最正確就是漂洗后殘液中洗衣粉含量最小，為此只要求

g(x)=(a+x)(a+A-x)(0<x<A)最大值。g′(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g′(x)=0解得因g″(x)=-2<0，故g()=(a+)2為最大。所以，將Am3清水平分為兩次使用可使漂洗效果最正確。30/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗【試驗過程】>>symsxaA>>f=(a+x)*(a+A-x);>>b=diff(f,x);>>solve(b)ans=1/2*A31/36

第2章一元函數微分法—設計性試驗試驗三相關改變率【試驗目標】1.加深對復合函數、相關改變率了解2.經過實例學習用微分知識處理實際問題3.熟悉Matlab命令求復合