數學分析知識點強化訓練題集姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規定的位置填寫您的答案。一、極限計算題1.計算數列極限

（1）已知數列{an}滿足an=1/n，求極限lim(n→∞)an。

（2）已知數列{bn}滿足bn=(n^21)/(n^32n)，求極限lim(n→∞)bn。

2.計算函數極限

（1）已知函數f(x)=x^23x2，求極限lim(x→2)f(x)。

（2）已知函數g(x)=sin(x)/x，求極限lim(x→0)g(x)。

3.利用極限運算法則計算極限

（1）已知函數f(x)=x1，g(x)=x^21，求極限lim(x→1)[f(x)g(x)]。

（2）已知函數h(x)=e^x，k(x)=ln(x)，求極限lim(x→0)[h(x)/k(x)]。

4.利用夾逼定理計算極限

（1）已知函數f(x)=x^2，g(x)=x^21，h(x)=x^21，求極限lim(x→0)[f(x)/g(x)]。

（2）已知函數m(x)=sin(x)，n(x)=x，p(x)=xsin(x)，求極限lim(x→0)[m(x)/n(x)]。

5.利用洛必達法則計算極限

（1）已知函數f(x)=e^x，g(x)=x^2，求極限lim(x→0)[f(x)/g(x)]。

（2）已知函數h(x)=ln(x)，k(x)=x^2，求極限lim(x→1)[h(x)/k(x)]。

6.利用泰勒公式計算極限

（1）已知函數f(x)=sin(x)，求極限lim(x→0)[f(x)x]。

（2）已知函數g(x)=cos(x)，求極限lim(x→0)[g(x)1]。

7.利用中值定理計算極限

（1）已知函數f(x)=x^23x2，求極限lim(x→1)[f(x)f(0)]。

（2）已知函數g(x)=e^x，求極限lim(x→0)[g(x)g(0)]。

8.計算無窮小量的比較

（1）已知函數f(x)=x^2，g(x)=x^3，求無窮小量f(x)和g(x)的比較。

（2）已知函數h(x)=sin(x)，k(x)=x，求無窮小量h(x)和k(x)的比較。

答案及解題思路：

1.（1）lim(n→∞)an=0，解題思路：根據數列極限的定義，當n趨向于無窮大時，an趨向于0。

（2）lim(n→∞)bn=0，解題思路：利用洛必達法則，將bn分子分母同時求導，然后求極限。

2.（1）lim(x→2)f(x)=1，解題思路：直接代入x=2，得到f(2)=1。

（2）lim(x→0)g(x)=1，解題思路：利用洛必達法則，將g(x)分子分母同時求導，然后求極限。

3.（1）lim(x→1)[f(x)g(x)]=4，解題思路：利用極限運算法則，分別求出f(x)和g(x)的極限，然后相減。

（2）lim(x→0)[h(x)/k(x)]=1，解題思路：利用極限運算法則，分別求出h(x)和k(x)的極限，然后相除。

4.（1）lim(x→0)[f(x)/g(x)]=1/2，解題思路：利用夾逼定理，找到兩個函數h(x)和k(x)分別夾在f(x)和g(x)之間，然后求出h(x)和k(x)的極限，從而得到f(x)和g(x)的極限。

（2）lim(x→0)[m(x)/n(x)]=1，解題思路：利用夾逼定理，找到兩個函數p(x)和q(x)分別夾在m(x)和n(x)之間，然后求出p(x)和q(x)的極限，從而得到m(x)和n(x)的極限。

5.（1）lim(x→0)[f(x)/g(x)]=1/2，解題思路：利用洛必達法則，將f(x)和g(x)分子分母同時求導，然后求極限。

（2）lim(x→1)[h(x)/k(x)]=1，解題思路：利用洛必達法則，將h(x)和k(x)分子分母同時求導，然后求極限。

6.（1）lim(x→0)[f(x)x]=0，解題思路：利用泰勒公式，將f(x)展開到x^3，然后求極限。

（2）lim(x→0)[g(x)1]=0，解題思路：利用泰勒公式，將g(x)展開到x^2，然后求極限。

7.（1）lim(x→1)[f(x)f(0)]=2，解題思路：利用中值定理，找到一個實數ξ在0和x之間，使得f(x)f(0)=f'ξ(x0)，然后求出ξ的值，再求出f'ξ。

（2）lim(x→0)[g(x)g(0)]=1，解題思路：利用中值定理，找到一個實數ξ在0和x之間，使得g(x)g(0)=g'ξ(x0)，然后求出ξ的值，再求出g'ξ。

8.（1）f(x)和g(x)是等價無窮小量，解題思路：利用無窮小量的比較法則，比較f(x)和g(x)的比值，當x趨向于無窮大時，比值趨向于1。

（2）h(x)和k(x)是等價無窮小量，解題思路：利用無窮小量的比較法則，比較h(x)和k(x)的比值，當x趨向于0時，比值趨向于1。二、導數計算題1.求導數的直接計算

(1)已知函數\(f(x)=x^33x2\)，求\(f'(x)\)。

(2)已知函數\(g(x)=\ln(x)\)，求\(g'(x)\)。

2.利用求導公式求導

(1)已知函數\(h(x)=e^{2x}\)，求\(h'(x)\)。

(2)已知函數\(k(x)=\sin(x)\)，求\(k'(x)\)。

3.利用導數的四則運算法則求導

(1)已知函數\(m(x)=(x^21)^3\)，求\(m'(x)\)。

(2)已知函數\(n(x)=\sqrt{x^24}\)，求\(n'(x)\)。

4.利用復合函數求導法則求導

(1)已知函數\(p(x)=\sin(\sqrt{x})\)，求\(p'(x)\)。

(2)已知函數\(q(x)=e^{x^2}\)，求\(q'(x)\)。

5.利用隱函數求導法則求導

(1)已知隱函數\(r(x,y)=x^2yy^2x=1\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

(2)已知隱函數\(s(x,y)=e^xy^3=0\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

6.利用參數方程求導

(1)已知參數方程\(t(x)=\frac{1}{2}x^23\)，\(u(x)=\sqrt{x}\)，求\(\frac{dt}{du}\)。

(2)已知參數方程\(v(x,y)=x^2y^2=1\)，\(w(x,y)=xy=2\)，求\(\frac{dv}{dw}\)。

7.求高階導數

(1)已知函數\(x(x)=x^44x^36x^2\)，求\(x''(x)\)。

(2)已知函數\(y(y)=e^y\sin(y)\)，求\(y''(y)\)。

8.求導數的應用問題

(1)已知函數\(f(x)=x^33x2\)，求\(f'(1)\)的值。

(2)已知函數\(g(x)=\ln(x)\)，求\(g'(e)\)的值。

答案及解題思路：

1.求導數的直接計算

(1)\(f'(x)=3x^23\)

解題思路：對\(f(x)\)的每一項分別求導，然后相加。

(2)\(g'(x)=\frac{1}{x}\)

解題思路：根據對數函數的求導公式\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)。

2.利用求導公式求導

(1)\(h'(x)=2e^{2x}\)

解題思路：根據指數函數的求導公式\((e^x)'=e^x\)。

(2)\(k'(x)=\cos(x)\)

解題思路：根據正弦函數的求導公式\((\sinx)'=\cosx\)。

3.利用導數的四則運算法則求導

(1)\(m'(x)=6x(x^21)^2\)

解題思路：應用鏈式法則和冪函數求導公式。

(2)\(n'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^24}}\cdot2x\)

解題思路：應用鏈式法則和開方函數求導公式。

4.利用復合函數求導法則求導

(1)\(p'(x)=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

解題思路：應用鏈式法則和冪函數求導公式。

(2)\(q'(x)=2xe^{x^2}\)

解題思路：應用鏈式法則和指數函數求導公式。

5.利用隱函數求導法則求導

(1)\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y}\)

解題思路：應用隱函數求導法則，將\(y\)視為\(x\)的函數。

(2)\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{y}{x^2}\)

解題思路：應用隱函數求導法則，將\(y\)視為\(x\)的函數。

6.利用參數方程求導

(1)\(\frac{dt}{du}=\frac{1}{2}\)

解題思路：應用參數方程求導公式。

(2)\(\frac{dv}{dw}=\frac{w}{v}=\frac{2}{x^2y^2}\)

解題思路：應用參數方程求導公式。

7.求高階導數

(1)\(x''(x)=12x^224x12\)

解題思路：對函數\(x(x)\)進行兩次求導。

(2)\(y''(y)=e^y\cos(y)e^y\sin(y)\)

解題思路：對函數\(y(y)\)進行兩次求導。

8.求導數的應用問題

(1)\(f'(1)=0\)

解題思路：將\(x=1\)代入\(f'(x)\)。

(2)\(g'(e)=\frac{1}{e}\)

解題思路：將\(x=e\)代入\(g'(x)\)。三、微分計算題1.求函數的微分

題目：已知函數\(f(x)=e^{2x}\sin(x)\)，求\(f'(x)\)。

解答：

\(f'(x)=\fracibbk0ug{dx}(e^{2x}\sin(x))\)

\(=e^{2x}\frac9fmplkl{dx}(\sin(x))\sin(x)\fraconnc2ut{dx}(e^{2x})\)

\(=e^{2x}\cos(x)\sin(x)\cdot2e^{2x}\)

\(=e^{2x}(\cos(x)2\sin(x))\)

2.求微分的應用問題

題目：若\(y=\ln(x^21)\)，求\(dy\)當\(x=1\)時。

解答：

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^21}\cdot2x\)

\(dy=\frac{2x}{x^21}dx\)

當\(x=1\)時，\(dy=\frac{2\cdot1}{1^21}dx=\frac{2}{2}dx=dx\)

3.利用微分求解近似值

題目：使用微分近似計算\(\sqrt{99}\)。

解答：

設\(f(x)=\sqrt{x}\)，則\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

當\(x=100\)時，\(f(100)=10\)，\(f'(100)=\frac{1}{20}\)

使用線性近似\(\sqrt{99}\approxf(100)f'(100)(10099)\)

\(\approx10\frac{1}{20}\cdot1=9.95\)

4.利用微分研究函數的變化趨勢

題目：研究函數\(f(x)=x^36x^29x\)的增減性。

解答：

\(f'(x)=3x^212x9\)

令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=3\)

通過測試點\(x=0,2,4\)，確定函數在\(x=1\)和\(x=3\)之間的增減性。

5.利用微分研究函數的凹凸性

題目：判斷函數\(f(x)=x^48x^322x^2\)的凹凸性。

解答：

\(f''(x)=12x^248x44\)

令\(f''(x)=0\)，得\(x=\frac{2}{3}\)或\(x=\frac{11}{3}\)

通過測試點\(x=0,1,2\)，確定函數的凹凸性。

6.利用微分研究函數的拐點

題目：找出函數\(f(x)=x^39x^224x8\)的拐點。

解答：

\(f''(x)=6x18\)

令\(f''(x)=0\)，得\(x=3\)

檢查\(f''(x)\)在\(x=3\)前后的符號變化，確定拐點。

7.利用微分研究函數的極值

題目：求函數\(f(x)=x^33x^24x1\)的極值。

解答：

\(f'(x)=3x^26x4\)

令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)或\(x=\frac{4}{3}\)

通過\(f''(x)\)的符號變化確定極值類型。

8.利用微分研究函數的不定式極限

題目：求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)3x}{x^3}\)。

解答：

使用洛必達法則，得

\(\lim_{x\to0}\frac{\cos(3x)\cdot33}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{33}{3x^2}=0\)

答案及解題思路：

答案見上述各題解答部分。解題思路主要是通過求導數、計算導數的值、應用洛必達法則等數學分析方法來解決微分相關的題目。四、不定積分計算題1.直接積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int(3x^22x1)\,dx$。

2.分部積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\intx^3e^{2x}\,dx$。

3.三角函數積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int\frac{\cosx}{\sinx}\,dx$。

4.有理函數積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int\frac{x^21}{x^42x^21}\,dx$。

5.無理函數積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int\sqrt{4x^29}\,dx$。

6.常用函數的積分公式

題目：計算不定積分$\int\frac{1}{(1x^2)^2}\,dx$。

7.換元積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int\frac{dx}{x^22x5}$。

8.分式積分法求不定積分

題目：計算不定積分$\int\frac{x1}{x^2x6}\,dx$。

答案及解題思路：

1.解答：

答案：$\int(3x^22x1)\,dx=x^3x^2xC$。

解題思路：直接對每一項進行積分。

2.解答：

答案：$\intx^3e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}x^3e^{2x}\frac{3}{4}x^2e^{2x}\frac{3}{8}xe^{2x}\frac{3}{16}e^{2x}C$。

解題思路：使用分部積分法，令$u=x^3$，$dv=e^{2x}\,dx$。

3.解答：

答案：$\int\frac{\cosx}{\sinx}\,dx=\ln\sinxC$。

解題思路：使用三角函數積分法，利用$\int\frac{1}{\sinx}\,dx=\ln\sinxC$。

4.解答：

答案：$\int\frac{x^21}{x^42x^21}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x^22}{x^42x^21}\,dx=\frac{1}{2}\lnx^42x^21C$。

解題思路：使用有理函數積分法，將分子拆分后分別積分。

5.解答：

答案：$\int\sqrt{4x^29}\,dx=\frac{1}{4}\ln2x3\frac{3}{8}\sqrt{4x^29}C$。

解題思路：使用無理函數積分法，令$u=\sqrt{4x^29}$，$x=\frac{3}{2}\tant$。

6.解答：

答案：$\int\frac{1}{(1x^2)^2}\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1x^2}\arctanx\right)C$。

解題思路：使用常用函數的積分公式，根據積分表查找相應公式。

7.解答：

答案：$\int\frac{dx}{x^22x5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x1}{\sqrt{2}}\right)C$。

解題思路：使用換元積分法，令$u=x1$。

8.解答：

答案：$\int\frac{x1}{x^2x6}\,dx=\frac{1}{2}\lnx^2x6C$。

解題思路：使用分式積分法，將分子拆分后分別積分。五、定積分計算題1.利用定積分的幾何意義計算定積分

題目：求函數\(f(x)=2x1\)在區間\([1,3]\)上的定積分，解釋該積分的幾何意義。

答案及解題思路：

解答：定積分\(\int_1^3(2x1)\,dx\)代表由函數\(f(x)=2x1\)在\([1,3]\)區間上形成的圖形與\(x\)軸、\(y\)軸和直線\(x=1\)，\(x=3\)所圍成的面積。計算過程

\[

\int_1^3(2x1)\,dx=\left[x^2x\right]_1^3=(93)(11)=11

\]

解題思路：根據定積分的幾何意義，積分結果即為圖形的面積。

2.利用微積分基本定理計算定積分

題目：已知函數\(f(x)=x^2\)，求\(\int_0^2(2x3)\,dx\)。

答案及解題思路：

解答：根據微積分基本定理，如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數，那么\(\int_a^bf(x)\,dx=F(b)F(a)\)。這里\(f(x)=2x3\)的原函數為\(F(x)=x^23x\)。

\[

\int_0^2(2x3)\,dx=(x^23x)\bigg_0^2=(46)(00)=10

\]

解題思路：利用微積分基本定理直接計算。

3.利用積分中值定理計算定積分

題目：已知\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\([1,4]\)上連續，求證\(\int_1^4f(x)\,dx\)等于區間中值\(\xi\)處的\(f(\xi)\)乘以區間長度。

答案及解題思路：

解答：積分中值定理告訴我們，存在某個\(\xi\in[1,4]\)，使得\(\int_1^4f(x)\,dx=f(\xi)\times(41)\)。具體計算

\[

f(x)=\frac{1}{x}\quad\text{和}\quadf(\xi)=\frac{1}{\xi}

\]

因為\(f(x)\)在\([1,4]\)上連續，我們可以使用牛頓萊布尼茨公式：

\[

\int_1^4\frac{1}{x}\,dx=\left[\lnx\right]_1^4=\ln4\ln1=\ln4

\]

解題思路：利用積分中值定理找到函數在區間內的一個點，使得該點的函數值乘以區間長度等于積分值。

4.利用積分第一中值定理計算定積分

題目：求\(\int_0^{\pi}\cosx\,dx\)，應用積分第一中值定理。

答案及解題思路：

解答：根據積分第一中值定理，存在某個\(\xi\in[0,\pi]\)，使得：

\[

\int_0^{\pi}\cosx\,dx=\cos(\xi)\times\pi

\]

計算得：

\[

\cos(\xi)\times\pi=\cos(\frac{\pi}{2})\times\pi=0

\]

解題思路：使用積分第一中值定理找到滿足條件的\(\xi\)并計算。

5.利用積分第二中值定理計算定積分

題目：已知函數\(f(x)=x^3\)在\([1,3]\)上連續，求證\(\int_1^3f(x)\,dx\)等于函數\(f(x)\)在區間內的平均值乘以區間長度。

答案及解題思路：

解答：積分第二中值定理指出，存在某個\(\xi\in[1,3]\)，使得：

\[

\int_1^3x^3\,dx=\frac{1}{ba}\left(\frac{a^3b^3}{2}\right)=\frac{1}{2}(1^33^3)

\]

因為\(f(x)\)在\([1,3]\)上連續：

\[

\int_1^3x^3\,dx=\frac{1}{2}(127)=14

\]

解題思路：使用積分第二中值定理找到滿足條件的\(\xi\)并計算。

6.利用積分變限求導法計算定積分

題目：計算\(\int_{\ln2}^{\ln4}\frac{1}{x^2}\,dx\)，然后利用積分變限求導法求導數。

答案及解題思路：

解答：首先計算定積分：

\[

\int_{\ln2}^{\ln4}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[\frac{1}{x}\right]_{\ln2}^{\ln4}=\frac{1}{\ln4}\frac{1}{\ln2}

\]

使用積分變限求導法，對上述表達式求導得：

\[

\frac1f59vaf{dx}\left(\frac{1}{\ln4}\frac{1}{\ln2}\right)=\frac5jk5hj0{dx}\left(\frac{1}{\ln2}\frac{1}{\ln4}\right)

\]

計算導數時要注意變量\(x\)是無關變量。

解題思路：首先計算定積分，然后利用導數規則計算變限求導。

7.利用積分第二基本定理計算定積分

題目：計算\(\int_{2}^2e^{x^2}\,dx\)，使用積分第二基本定理。

答案及解題思路：

解答：根據積分第二基本定理，如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，那么\(\int_a^be^{g(x)}\,dx=e^{G(b)}e^{G(a)}\)，其中\(G(x)\)是\(g(x)\)的原函數。這里\(f(x)=e^{x^2}\)的原函數\(G(x)\)難以直接計算，但是可以識別這是一個偶函數的積分，從而簡化計算：

\[

\int_{2}^2e^{x^2}\,dx=2\int_0^2e^{x^2}\,dx

\]

解題思路：利用偶函數的積分性質和基本定理進行計算。

8.利用定積分的應用問題的層級輸出

題目：利用定積分計算拋物線\(y=x^2\)從\(x=0\)到\(x=1\)與\(x\)軸、\(y\)軸及直線\(x=1\)所圍成的區域的面積。

答案及解題思路：

解答：區域的面積等于定積分\(\int_0^1x^2\,dx\)，計算

\[

\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}

\]

解題思路：應用定積分的幾何意義，即求曲線下圍成的面積。六、級數計算題1.求級數的收斂域

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$的收斂域。

解答：

答案：收斂域為$(\infty,1)$。

解題思路：使用比值審斂法，計算$\lim_{n\to\infty}\left\frac{a_{n1}}{a_n}\right=\lim_{n\to\infty}\left\frac{(n1)^2}{2^{n1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}\right=\frac{1}{2}1$，故級數收斂。然后檢查端點$x=1$，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$發散。

2.判斷級數的收斂性

題目：判斷級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}$的收斂性。

解答：

答案：級數收斂。

解題思路：使用比較審斂法，因為$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}/\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\ln(n)=\infty$，且$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收斂，故原級數收斂。

3.利用級數求和公式求級數的和

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{\pi^2}{6}$。

解題思路：利用已知的級數求和公式$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$，可以推導出$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}=\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^4}{90}$。

4.利用級數展開求和

題目：求級數$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}=\frac{1}{1\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$。

解題思路：使用幾何級數求和公式，因為$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1r}$，其中$r1$。

5.利用級數的性質求級數的和

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$。

解題思路：利用交錯級數的性質，級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1)^{n1}}{n^2}$收斂，然后使用級數展開法或積分法求和。

6.利用級數的極限求級數的和

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2(n)}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2(n)}=\gamma$，其中$\gamma$是歐拉馬斯刻若尼常數。

解題思路：使用積分法求和，通過極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\int_1^x\frac{dt}{t\ln^2(t)}}{x1}$得到和。

7.利用級數的收斂半徑求級數的和

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$。

解題思路：利用級數的收斂半徑，$\rho=\lim_{n\to\infty}\left\frac{a_{n1}}{a_n}\right=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n1}=0$，故級數收斂，且和為$e$。

8.利用級數的性質解決級數問題的

題目：求級數$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}$的和。

解答：

答案：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi1}{2}$。

解題思路：利用級數的性質，結合正弦函數的級數展開和積分，可以求得該級數的和。

答案及解題思路：

1.求級數的收斂域：通過比值審斂法確定收斂域。

2.判斷級數的收斂性：使用比較審斂法判斷收斂性。

3.利用級數求和公式求級數的和：使用已知級數求和公式求解。

4.利用級數展開求和：使用幾何級數求和公式求解。

5.利用級數的性質求級數的和：利用交錯級數和級數展開法求解。

6.利用級數的極限求級數的和：使用積分法求解級數和。

7.利用級數的收斂半徑求級數的和：通過級數的收斂半徑求解和。

8.利用級數的性質解決級數問題的：通過級數性質和級數展開法求解。七、微分方程計算題1.求一階微分方程的通解

a)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)

b)方程：\(y'\frac{1}{x}y=\sqrt{x}\)

2.求一階微分方程的特解

a)方程：\(y'\frac{1}{x}y=\sqrt{x}\)，初始條件：\(y(1)=2\)

b)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)，初始條件：\(y(0)=1\)

3.利用積分法解一階微分方程

a)方程：\(y'y^2=x\)

b)方程：\(y'2xy=e^{2x}\)

4.利用微分方程的初值條件解一階微分方程

a)方程：\(y'y^2=x