2025屆新疆庫爾勒市新疆兵團第二師華山中學高三九月摸底考試數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．年部分省市將實行“”的新高考模式，即語文、數學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B．C． D．2．已知集合，，，則的子集共有（）A．個 B．個 C．個 D．個3．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．4．已知函數（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．5．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．7．本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種8．已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．函數（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．10．已知集合，，則的真子集個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④12．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程是__________.14．已知數列滿足，，若，則數列的前n項和______．15．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.16．若，則=____，=___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓，直線經過點，直線經過點，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.18．（12分）已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若函數的定義域為,求實數的取值范圍．19．（12分）已知為等差數列，為等比數列，的前n項和為，滿足，，，.（1）求數列和的通項公式；（2）令，數列的前n項和，求.20．（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為、，與直線的交點為，求線段的長.21．（12分）已知函數，.（1）若對于任意實數，恒成立，求實數的范圍；（2）當時，是否存在實數，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．2．B【解析】

根據集合中的元素，可得集合，然后根據交集的概念，可得，最后根據子集的概念，利用計算，可得結果.【詳解】由題可知：，當時，當時，當時，當時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數的計算，當集合中有元素時，集合子集的個數為，真子集個數為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎題.3．A【解析】

用偶函數的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數為偶函數,圖象關于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據函數的性質,辨析函數的圖像,排除法,屬于中檔題.4．A【解析】

是函數的零點，根據五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.【點睛】本題考查三角函數的周期性，考查函數的對稱性．函數的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標．5．D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．6．A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.7．B【解析】

利用分步計數原理結合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學，生物4種，且化學排在生物前面，有種排法；第二步將數學和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關鍵，是基礎題8．C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立，設，只需找到數列的最大值即可.【詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數不等式恒成立，即對于任意正整數恒成立，即對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，當時，有單調遞減，故數列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識，是一道較為綜合的數列題.9．A【解析】

確定函數的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數（或）為偶函數，所以圖象關于軸對稱，排除B，C，當時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，解題時可通過研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等，研究特殊的函數的值、函數值的正負，以及函數值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結論．10．C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．11．D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據點到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.12．C【解析】

設M,N,P分別為和的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補角，根據中位線定理，結合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點，則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知，.作BC中點Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點睛】此題考查異面直線夾角，關鍵點通過平移將異面直線夾角轉化為同一平面內的夾角，屬于較易題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用導數的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區別，是一道容易題.14．【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數列求和即可.【詳解】由題為等差數列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數列數列通項，等比數列求和，熟記等差等比性質，熟練運算是關鍵，是基礎題.15．【解析】

先根據三棱錐的幾何性質，求出外接球的半徑，結合向量的運算，將問題轉化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設線段的中點為，故可得，故當取得最大值時，取得最大值.而當在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數量積運算，屬綜合性困難題.16．12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數有關問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析【解析】

(Ⅰ)計算得到故，，，，計算得到面積.(Ⅱ)設為，聯立方程得到，計算，同理，根據得到，得到證明.(Ⅲ)設中點為，根據點差法得到，同理，故，得到結論.【詳解】(Ⅰ)，，故，，，.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設為，則，故，設，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)設中點為，則，，相減得到，即，同理可得：的中點，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點睛】本題考查了橢圓內四邊形的面積，形狀，根據四邊形形狀求參數，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18．(1)(2)【解析】

（1）分類討論，去掉絕對值，化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集即可．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可,根據絕對值不等式的性質求得最小值即可得到答案．【詳解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集為．（2）要使函數的定義域為R，只要的最小值大于0即可，又，當且僅當時取等，只需最小值，即．所以實數a的取值范圍是．【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查利用絕對值三角不等式求最值，屬基礎題．19．（1），；（2）．【解析】

（1）設的公差為，的公比為，由基本量法列式求出后可得通項公式；（2）奇數項分一組用裂項相消法求和，偶數項分一組用等比數列求和公式求和．【詳解】（1）設的公差為，的公比為，由，.得：，解得，∴，；（2）由，得，為奇數時，，為偶數時，，∴．【點睛】本題考查求等差數列和等比數列的通項公式，考查分組求和法及裂項相消法、等差數列與等比數列的前項和公式，求通項公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通項公式前項和公式得出相應結論．數列求和問題，對不是等差數列或等比數列的數列求和，需掌握一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，分組（并項）求和法，倒序相加法等等．20．（1）（2）【解析】

（1）首先將參數方程轉化為普通方程再根據公式化為極坐標方程即可；（2）設，，由，即可求出，則計算可得；【詳解】解：（1）圓的參數方程（為參數）可化為，∴，即圓的極坐標方程為.（2）設，由，解得.設，由，解得.∵，∴.【點睛】本題考查了利用極坐標方程求曲線的交點弦長，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．（1）；（2）不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

（1）分類時，恒成立，時，分離參數為，引入新函數，利用導數求得函數最值即可；（2），導出導函數，問題轉化為在上有解．再用導數研究的性質可得．【詳解】解：（1）因為當時，恒成立，所以，若，為任意實數，恒成