2025屆山西省運城市臨猗縣臨晉中學高三教學質量檢查（二統）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則中元素的個數為()A．3 B．2 C．1 D．02．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區環境基礎設施投資額逐年增加；B．2011年該地區環境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額，根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據該模型預測該地區2019的環境基礎設施投資額為256.5億元.4．《易經》包含著很多哲理，在信息學、天文學中都有廣泛的應用，《易經》的博大精深，對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響．下圖就是易經中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．5．著名的斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40406．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．已知集合．為自然數集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．8．設，若函數在區間上有三個零點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．9．在函數：①；②；③；④中，最小正周期為的所有函數為（）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③10．已知函數，，若成立，則的最小值是（）A． B． C． D．11．設是定義在實數集上的函數，滿足條件是偶函數，且當時，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．12．已知函數是上的偶函數，是的奇函數，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“北斗三號”衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛星運行軌道的離心率為__________.14．已知是等比數列,若，,且∥,則______.15．已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_______16．已知隨機變量服從正態分布，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數).以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為()，將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極坐標方程；（2）設直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.18．（12分）已知函數．（1）當時，試求曲線在點處的切線；（2）試討論函數的單調區間．19．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內角，，所對的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關系式：，且，求的面積的值（或最大值）．21．（12分）如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優弧（圓上實線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；求當為何值時，棧道總長度最短.22．（10分）已知圓外有一點，過點作直線．(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立方程組求得方程組解的個數，即為交集中元素的個數.【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點，集合表示直線上的點，聯立與，可得，整理得，即，當時，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關系的判斷，屬基礎題.2、B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.3、D【解析】

根據圖像所給的數據，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預測的方法，屬于基礎題.4、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎題.5、D【解析】

計算，代入等式，根據化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.6、D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.7、D【解析】

集合．為自然數集，由此能求出結果．【詳解】解：集合．為自然數集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8、D【解析】令，可得.在坐標系內畫出函數的圖象（如圖所示）.當時，.由得.設過原點的直線與函數的圖象切于點，則有，解得.所以當直線與函數的圖象切時.又當直線經過點時，有，解得.結合圖象可得當直線與函數的圖象有3個交點時，實數的取值范圍是.即函數在區間上有三個零點時，實數的取值范圍是.選D.點睛：已知函數零點的個數（方程根的個數）求參數值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解，對于一些比較復雜的函數的零點問題常用此方法求解.9、A【解析】逐一考查所給的函數：，該函數為偶函數，周期；將函數圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象，該函數的周期為；函數的最小正周期為；函數的最小正周期為；綜上可得最小正周期為的所有函數為①②③.本題選擇A選項.點睛：求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數的式子，否則很容易出現錯誤．一般地，經過恒等變形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．10、A【解析】分析：設，則，把用表示，然后令，由導數求得的最小值．詳解：設，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數，又，∴當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．故選A．點睛：本題易錯選B，利用導數法求函數的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構造新函數，轉化為求函數的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數的單調區間也很容易出錯．11、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數f（x）關于x=1對稱．

∵當x≥1時，為減函數，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C12、B【解析】

根據函數的奇偶性及題設中關于與關系，轉換成關于的關系式，通過變形求解出的周期，進而算出.【詳解】為上的奇函數，，而函數是上的偶函數，，，故為周期函數，且周期為故選：B【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，函數的周期性的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫出圖形，結合橢圓的定義和題設條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，設橢圓的長半軸為，半焦距為，因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質，列出方程組，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.14、【解析】若，,且∥,則，由是等比數列,可知公比為..故答案為.15、【解析】

先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：【點睛】考查雙曲線的離心率的求法，是基礎題.16、0.22.【解析】

正態曲線關于x＝μ對稱，根據對稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點睛】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極坐標方程為，普通方程為；（2）【解析】

（1）根據三角函數恒等變換可得，，可得曲線的普通方程，再運用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標與平面直角坐標互化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標方程得，運用韋達定理可得，根據，可求得的范圍；法二:設直線的參數方程為(為參數，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，運用韋達定理可得，根據，可求得的范圍；【詳解】（1），，即曲線的普通方程為，依題意得曲線的普通方程為，令，得曲線的極坐標方程為；（2）法一：將代入曲線的極坐標方程得，則，，，異號，，，；法二:設直線的參數方程為(為參數，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，則，，，異號，，.【點睛】本題考查參數方程與普通方程，極坐標方程與平面直角坐標方程之間的轉化，求解幾何量的取值范圍，關鍵在于明確極坐標系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數方程，參數的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）對函數進行求導，可以求出曲線在點處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程；（2）對函數進行求導，對實數進行分類討論，可以求出函數的單調區間．【詳解】（1）當時，函數定義域為，,所以切線方程為；（2）當時，函數定義域為，在上單調遞增當時，恒成立，函數定義域為，又在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，函數定義域為，在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，設的兩個根為且，由韋達定理易知兩根均為正根，且，所以函數的定義域為，又對稱軸，且，在單調遞增，單調遞減，單調遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數的導數討論函數的單調性問題，考查了分類思想.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.設，則，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如圖所示的空間坐標系，設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，∴，令得.設平面的法向量為，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、見解析【解析】

若選擇①，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，將代入，得．又，∴，當且僅當時等號成立．∴，故的面積的最大值為，此時．若選擇②，，結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇③，，則結合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則．21、，；當時，棧道總長度最短.【解析】

連，，由切線長定理知：，，，，即，，則，，進而確定的取值范圍；根據求導得，利用增減性算出，進而求得取值.【詳解】解：連，，由切線長定理知：，，，又，，故，則劣弧的長為，因此，優弧的長為，又，故，，即，，所以，，，則；，，其中，，-0+單調遞減