2025屆上海市大學市北附屬中學高考模擬考試試題（一）數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則（）A． B． C． D．2．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．4．設a，b都是不等于1的正數，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg6．設為非零實數，且，則（）A． B． C． D．7．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．8．已知函數，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數（），若函數有三個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．11．甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：①甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠古村寨；③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數為奇函數，則_______.14．的展開式中常數項是___________.15．函數的值域為_____.16．如果復數滿足，那么______（為虛數單位）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數列的前項和為，且.數列滿足，其前項和為.（1）求數列與的通項公式；（2）設，求數列的前項和.18．（12分）（1）已知數列滿足：，且（為非零常數，），求數列的前項和；（2）已知數列滿足：（ⅰ）對任意的；（ⅱ）對任意的，，且.①若，求數列是等比數列的充要條件.②求證：數列是等比數列，其中.19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線相交于，，求的值．20．（12分）已知函數，為的導數，函數在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.22．（10分）設函數.（1）若，時，在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點：復合函數求值．2、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．3、A【解析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.4、C【解析】

根據對數函數以及指數函數的性質求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．【點睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數，對數不等式的解法，是基礎題．5、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．6、C【解析】

取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.7、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及相關幾何量的數據是解答此類問題的關鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.8、C【解析】

結合分段函數的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數的值,考查了分段函數的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.9、A【解析】

分段求解函數零點，數形結合，分類討論即可求得結果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數有三個零點，等價于與有三個交點，又因為，且由圖可知，當時與有兩個交點，故只需當時，與有一個交點即可.若當時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點睛】本題考查由函數零點的個數求參數范圍，屬中檔題.10、B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題.11、D【解析】

根據演繹推理進行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁．故選：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎．12、B【解析】

根據不等式的性質對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

由是定義在上的奇函數,可知對任意的,都成立,代入函數式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數,則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數性質的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.14、-160【解析】試題分析：常數項為.考點：二項展開式系數問題.15、【解析】

利用配方法化簡式子，可得，然后根據觀察法，可得結果.【詳解】函數的定義域為所以函數的值域為故答案為：【點睛】本題考查的是用配方法求函數的值域問題，屬基礎題。16、【解析】

把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡，然后利用復數模的計算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數的模的求法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導出數列為等比數列，確定該數列的公比，利用等比數列的通項公式可求得數列的通項公式，再利用對數的運算性質可得出數列的通項公式；（2）運用等差數列的求和公式，運用數列的分組求和和裂項相消求和，化簡可得.【詳解】（1）當時，，所以；當時，，得，即，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，.；（2）由（1）知數列是首項為，公差為的等差數列，.，.所以.【點睛】本題考查數列的遞推式的運用，注意結合等比數列的定義和通項公式，考查數列的求和方法：分組求和法和裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】

（1）由條件可得，結合等差數列的定義和通項公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，運用已知條件和等比數列的性質，即可得到所求充要條件；②當，，，由等比數列的定義和不等式的性質，化簡變形，即可得到所求結論．【詳解】解：（1），，且為非零常數，，，可得，可得數列的首項為，公差為的等差數列，可得，前項和為；（2）①若，可令，，且，即，，，，對任意的，，可得，可得，，數列是等比數列，則，，可得，，即，又，即有，即，數列是等比數列的充要條件為；②證明：對任意的，，，，，當，，，可得，即以為首項、為公比的等比數列；同理可得以為首項、為公比的等比數列；對任意的，，可得，即有，所以對，，，可得，，即且，則，可令，故數列，，，，，，，，，是以為首項，為公比的等比數列，其中．【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查等差數列和等比數列的定義和通項公式的運用，考查分類討論思想方法和推理、運算能力，屬于難題．19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數）直接消去參數，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系及參數的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數），消去參數，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設，兩點對應的參數分別為，則，．不妨設，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數方程化普通方程，明確直線參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵，是中檔題．20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）對求導，令，求導研究單調性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當時，轉化利用均值不等式即得證；當，有兩個不同的零點，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數，因為，，所以，存在使得，即．所以，當時，為減函數，當時，為增函數，故當時，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當，即時，為的增函數，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當，即時，有兩個不同的零點，，且，即，若時，為減函數，（*）若時，為增函數，所以的最小值為．注意到時，，且此時，（?。┊敃r，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當時，，所以，所以由（*）知時，為減函數，所以，不滿足時，恒成立，故舍去．故滿足條件．綜上所述：的取值范圍是．【點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了利用導數研究函數的最值和不等式的恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論，數學運算能力，屬于較難題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據面，將問題轉化為求到面的距離，利用等體積法求點面距離即可.【詳解】（1）因為棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設點到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于【點睛】本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點面距離，屬綜合中檔題.