函數連續性概念與間斷點分類連續函數運算性質與初等函數連續性閉區間上連續函數性質第五節連續函數第一章函數極限連續作業:Page69.6,7,8,10(2)(3),11(1)(2)1/49第一部分函數連續性概念與間斷點分類oyx一、函數連續性1、連續性定義2/49例1證說明:

2.

初等函數求極限方法代入法.3/492.單側連續定理函數在區間連續--4/49例2證5/49二、函數間斷點6/49

函數間斷點分類oyxoyxoyxooyx7/49間斷點分類：

第一類間斷點：1）可去間斷點:2）跳躍間斷點:（左、右極限都存在）第二類間斷點（左、右極限最少有一個不存在）8/491.可去間斷點例3解9/49注意:可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數定義,則可使其變為連續點.如此例中,10/492.跳躍間斷點例4解跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點:11/493.第二類間斷點例5解12/49例6解13/49例7解14/49一、四則運算連續性定理1第二部分連續函數運算性質與初等函數連續性15/49二、反函數與復合函數連續性定理2嚴格單調連續函數必有嚴格單調連續反函數.比如,結論:三角函數反三角函數在其定義域內皆連續.16/49意義極限符號能夠與函數符號交換;定理3例8解17/49三、初等函數連續性三角函數及反三角函數在它們定義域內是連續.★★★★定理4

基本初等函數在定義域內是連續.18/49結論:初等函數在其定義內都是連續.因為初等函數是基本初等函數經過有理運算或復合運算而成,其定義域就是基本初等函數定義域交,交可能出現孤立點.比如,這些孤立點鄰域內沒有定義.在0點鄰域內沒有定義,19/49定理5

一切初等函數在其定義區間內都是連續.定義區間是指包含在定義域內區間.1.初等函數僅在其定義區間內連續,在其定義域內不一定連續;注意

2.

初等函數求極限方法代入法.20/49例9例10解解21/49冪指函數極限例11求極限22/49例12求極限23/49例13求極限24/49第三部分閉區間上連續函數性質定理6注意:若區間是開區間或區間內有間斷點,定理不一定成立.(即連續與閉區間兩個條件缺一不可.)

參見p66~67反例25/49定理7(零值定理)幾何解釋:26/49MBCAmab定理8（介值定理）推論

27/49例15證由零點定理,28/49例16證由零點定理,29/491.函數在一點連續必須滿足三個條件;3.間斷點分類與判別;2.區間上連續函數;第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下列圖)第四部分小結與思索題30/49可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx31/494.連續函數和差積商連續性.6.復合函數連續性.7.初等函數連續性.定義區間與定義域區分;求極限又一個方法.5.反函數連續性.32/498.四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根存在性定理.注意1．閉區間；2．連續函數．這兩點不滿足上述定理不一定成立．解題思緒1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;33/49思索題1.2.下述命題是否正確？3.34/49思索題1解答且但反之不成立.例但35/49思索題2解答是它可去間斷點36/49思索題3解答不正確.例函數37/49練習題138/4939/49練習題1答案40/4941/49練習題242/4943/4944/49練習題答案45/4