27.1圓的認識2.圓的對稱性第2課時垂徑定理及其推論學習目標1.掌握垂徑定理及其推論.2.能運用垂徑定理解決有關的計算和證明問題.知識點1垂徑定理例1垂徑定理：垂直于弦的直徑________這條弦，并且平分這條弦所對的兩條________．幾何語言：如圖，∵_______________________________________________，∴___________________________________________.練1－1如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB＝8cm，OC＝5cm.求DC的長．練1－2如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于點C，D.求證：AC＝BD.知識點2垂徑定理的推論例2如圖，CD為⊙O的直徑，E為弦AB(不是直徑)的中點．請問CD與AB垂直嗎？練2如圖是一個中式拱門的截面圖，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，并且CD＝4m，EM＝6m，求⊙O的半徑．例3在圓柱形油槽內裝有一些油，其截面如圖所示．已知截面⊙O的半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變為8cm，求油面AB上升了多少．1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝________cm. (第1題) (第2題) (第3題)2．如圖，P為⊙O內的一點，且OP＝6，若⊙O的半徑為10，則過點P的弦長不可能為()A．12 B．16 C．17.5 D．203．如圖，側面形狀為圓弧形的拱橋的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，則拱橋的半徑為()A．15m B．13m C．9m D．6.5m4．某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑；(2)在(1)的條件下，小明把一只寬12cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm，問此小船能順利通過這個管道嗎？答案27.1圓的認識2.圓的對稱性第2課時垂徑定理及其推論新課學習例1平分；弧；CD⊥AB，且CD為直徑；AP＝BP，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))練1－1解：連結OA，∵OC⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝4cm.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm，∴DC＝OC－OD＝2cm.練1－2證明：過點O作OE⊥AB于點E.∵兩個圓是同心圓且圓心為O，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.例2解：垂直，理由如下：如圖，連結OA，OB.∵E為AB的中點，∴AE＝BE.在△AOE和△BOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝BO，,OE＝OE，,AE＝BE，))∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO＝∠BEO＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴CD⊥AB.練2解：如圖，連結CO.∵M是弦CD的中點，且EM經過圓心O，∴EM⊥CD，CM＝eq\f(1,2)CD＝2m．設⊙O的半徑為rm，在Rt△OCM中，由勾股定理得OC2＝OM2＋CM2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝eq\f(10,3).∴⊙O的半徑為eq\f(10,3)m.深挖拓展例3解：有兩種情況：(1)如圖①，設寬度為8cm的油面為CD，連結OB，OD，作ON⊥AB，與CD，AB的交點分別為M，N.易知OM⊥CD，CM＝MD＝eq\f(1,2)CD＝4cm，AN＝BN＝eq\f(1,2)AB＝3cm.在Rt△BON中，由勾股定理得ON＝eq\r(OB2－BN2)＝4cm.在Rt△DOM中，由勾股定理得OM＝eq\r(OD2－DM2)＝3cm.∴MN＝ON－OM＝1cm，即油面上升了1cm.(2)如圖②，設寬度為8cm的油面為EF，過O作PQ⊥EF，與AB，EF的交點分別為Q，P，連結OB，OE.易知PQ⊥AB，EP＝PF＝eq\f(1,2)EF＝4cm，AQ＝BQ＝eq\f(1,2)AB＝3cm.在Rt△BOQ中，由勾股定理得OQ＝eq\r(OB2－BQ2)＝4cm.在Rt△EPO中，由勾股定理得OP＝eq\r(OE2－EP2)＝3cm.∴QP＝OQ＋OP＝7cm，即油面上升了7cm.綜上所述，油面AB上升了1cm或7cm.課堂小測1．82.A3.D4．解：(1)設圓心為O，過點O作OE⊥AB于點D，交弧AB于點E，連結OB，如圖．∵OE⊥AB，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝8cm，由題意知ED＝4cm，設半徑為xcm，則OD＝(x－4)cm，在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴這個圓形截面的半徑為10cm.(2)能順利通過這個管道．理由：如圖，MN是垂直于OE的一條弦，延長EO交MN于點F，連結OM.設MN＝12cm，則MF＝eq\f(1,2)MN