4.1

整

式

(

1

)單項式第四章整式的加減課堂導入問題港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上

最長的跨海大橋.一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度

為96km/h,

在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72km/h

和92

km

/h請根據這些數據回答下列問題：(1)汽車在主橋上行駛2h

的路程是多少千米?3h

呢?(2)汽車在主橋上行駛th的路程是多少千米?解：(1)根據“路程=速度×時間”,行駛2h的路程：92×2=184

(km).行駛3h的路程：92×3=276

(km).(2

)汽車在主橋上行駛th的路程是92×t=92t(km).46

課堂導入剛才得到的代數式92

t,0.8p,mn,a2h,

這些代數式有什么共同特點?各式的運算中數字與字母之間，字母與字母之間的運算

都是乘法運算(都是表示數字與字母、字母與字母的積).觀察新知探究—知識點

單項式及相關概念由數或字母的積組成的代數式叫作單項式.單獨的一個數或一個字母也是單項式.

例

如

，

-

6

,x

都是單項式.它們的系數分別是92,1,0.9,注

意

：單項式表示數與字母相乘時，通常把數寫在前面，如92t.

單項式的系數是1或-1時，1通常省略不寫，如a3,一x.新知探究—知識點

單項式及相關概念>單項式中的數字因數叫作這個單項式的系數.例如，單項式92}

a2,1.d2h,0.9工

1新知探究—知識點

單項式及相關概念一個單項式中，所有字母的指數的和叫作這個

單項式的次數.如果一個單項式的次數是n,

那么稱

這個單項式是n次單項式.字母t的指數是1.當字母的指數是1時，通常省略不寫.字母p

的指數是3.字母m

與n的指數的和是2.

字母a與h的指數的和是3.新知探究—知識點

單項式及相關概念例如，下面這些單項式：一次單項式.三次單項式.二次單項式.三次單項式.92t0.8p31.1mna2h新知探究知識點單項式及相關概念那對于單獨的一個數，例如2,3,-

1,-

它們的次數是幾呢?對于一個非零的數，規定它的次數為0.新

知

探

究知識點單項式及相關概念例

用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(1)若三角形的一條邊長為a,這條邊上的高為h,則這個三角形

的面積為}ah

_.它的系數是,次數是2.(2)一個長方體包裝盒的長、寬、高分別為x

cm,ycm,zcm,則這個長方體包裝盒的體積為xyz

cm3.它的系數是1,次數是3.(3)有理數n的相反數是

-n.它的系數是-1,次數是1.新知探究

知識點

單項式及相關概念例

用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(4)《北京2022年冬奧會——冰上運動》是為了紀念北京2022年

冬奧會冰上運動發行的郵票.郵票1套共5枚，價格為6元，其中一

種版式為一張10枚(2套),如圖所示.某中學舉行冬奧會有獎問答

活動，買了m張這種版式的郵票作為獎品，共花費12m_元

.120

它的系數是12,

次數是1.120120“120中國郵政CHNA120°中國郵政CHNA120120cHA

中國郵

政

：20120新知探究

知識點

單項式及相關概念例

用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(5)《中華人民共和國國旗法》規定，國旗旗面為紅色長方形，其長與高之比為3:2,有五種通用尺度(即尺寸規格).若一種尺

度的國旗的長為a

cm,則這種尺度的國旗旗面的面積為它的系數是次數是2.解：(1)-m.它的系數是-

1,次數是1

.(2)

它的系數是次數是2.(5)23xy3

.

它的系數是8,次數是4.(6)4πr2

.它的系數是4π,次數是2.圓周率π是常數，不是字母.新知探究知識點單項式及相關概念跟蹤訓練

找出下列各式中的單項式，并寫出單項式的系數和次數.(4?分母中含有字母，不是單項式有加法運算，不是單項式

;(3(1)-m;(2);單項式2a2-1.2hxy2-t2系數2—1.21-1次數21322

隨堂練習1

.

填表：隨堂練習2.用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(1)國家速滑館“冰絲帶”采用了我國自有的二氧化碳跨臨界直

冷制冰系統，不僅安全，而且綠色環保.如果使用傳統制冷劑，

同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷劑的3985倍.若使用一

批二氧化碳制冷劑的碳排放量為mt,

則相同用量的傳統制冷劑的碳排放量為3985

mt

.它的系數是3985,次數是1.隨堂練習2.用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(2)某人經營一家網店，“五一”假期期間他對網店的某種商品

進行促銷.若每售出一件這種商品獲利m

元，則售出n件這種商

品共獲利_

mn

元.它的系數是1,次數是2.隨堂練習2.用單項式填空，并指出它們的系數和次數.(3)測量降水量的基本儀器是雨量器.如圖，一個雨量器的集雨

斗是圓錐形狀，其內部的底面半徑為r,

高為h,則這個集雨斗

的容積為它的系數是

次數是3.

分母中含有字母，

不是單項式解：單項式為x,0,2,0.72a,隨堂練習3.下列各式中哪些是單項式?π,((a+1,

含有加法運算，不是單項式x,0,2,0.72a,兀

，4.(1)若

2ax2ym-2是6次單項式，試求m

的值；(

2

)

若(m-5)ax2ylml-2

是6次單項式，試求m的值.解：(1)因為1+2+m-2=6,所以m=5.(2)因為1+2+

|m|-2=6

且

m-5≠0,所以m=-5.

隨堂練習單項式的定義由數或字母的積組成的代數式叫作單項式.單項式單項式的系數單項式的次數單項式中的數字因數叫

做這個單項式的系數.一個單項式中，所有字

母的指數的和叫做這個單

項式的次數.課堂小結探究新知(1)運用運算律計算：72×2+120×2=

.72×(-2)+120×(-2)=

.

(2)根據(1)中的方法完成下面的運算，并說明其中的道理：

72a+120a=

.

在(1)中，根據分配律可得72×2+120×2=(72+120)×2＝192×2,

在(2)中，72a+120a=(72+120)a＝192a.(72+120)×2＝192×2(72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2）(72+120)a＝192a72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2）.探究新知

探究

填空：(1)72a-120a=()a=

；(2)3m2+2m2=()m2=

；

(3)3xy2-4xy2=()xy2=

.72-1203+23-4-xy25m2-48a同類項思考：觀察上述運算有什么共同特點？你能從中得出什么規律？

（1）中的多項式的項72a和-120a，它們含有相同的字母a，并且a的指數都是1；

（2）中的多項式的項3m2和2m2，含有相同的字母m，并且m的指數都是2；

（3）中的多項式的項3xy2與-4xy2，都含有字母x，y，并且x的指數都是1，y的指數都是2.

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項.幾個常數項也是同類項.探究新知計算：4x2+2x+7+3x-8x2-2

解：4x2+2x+7+3x-8x2-2=4x2-8x2+2x+3x+7-2=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)（交換律）=-4x2+5x+5（結合律）=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)（分配律）

概念：把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項.

合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變.合并同類項規定：通常我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小（降冪）或者從小到大（升冪）的順序排列.學以致用例1

合并下列各式的同類項：（2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

(2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

=(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab

=(4-4)a2+(3-4)b2+2ab

=-b2+2ab

解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=2x2+x2-3x2-5x+4x-2=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2=-x-2.

學以致用

例3（1）水庫水位第一天連續下降了ah，平均每小時下降2cm，第二天連續上升了ah，平均每小時上升0.5cm，這兩天水位總的變化情況如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米為xkg，上午售出3袋，下午又購進同樣包裝的大米4袋，進貨后這個商店有大米多少千克？

解：（1）把下降的水位變化量記為負，上升的水位變化量記為正，則第一天水位的變化量是-2acm,第二天水位的變化量是0.5acm，由可知,這兩天水位總的變化情況為下降了1.5acm.-2a＋0.5a＝（-2＋0.5）a＝-1.5

（2）把進貨的數量記為正，售出的數量記為負，則上午大米質量的變化量是-3xkg，下午大米質量的變化量是4xkg,由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，進貨后這個商店有大米6xkg.19鞏固應用

總結提升同類項：①所含字母相同.②相同字母指數也相同.合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項.法則：

①所得項的系數是合并前各同類項的系數的和.②字母連同它的指數不變.合

并

同

類

項知識梳理知識點1:同類項

【方法小結】解答此類題目時需要注意以下幾點:①判斷幾個單項式是否為同類項的條件是所含字母相同,并且相同字母的指數也相同;②同類項與系數無關,與字母的排列順序也無關;③幾個常數項也是同類項.知識梳理知識點2:合并同類項.【例2】求多項式2a2b-2ab+3-3a2b+4ab的值,其中a=-2,b=12.【解析】先將原式合并同類項得到最簡結果,再把a與b的值代入計算即可求出值.

2a2b-2ab+3-3a2b+4ab=(2-3)a2b+(-2+4)ab+3=-a2b+2ab+3.當a=-2,b=12時,原式=-(-2)2×12+2×(-2)×12+3=-1.

【方法小結】對多項式進行化簡求值時,一般要先化簡,即先合并同類項,再代入已知值計算結果.代入負數時,要注意添加負號.教材第98~100頁4.2整式的加法與減法（二）第四章整式的加減復習導入

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項.幾個常數項也是同類項.

分配律：a(b+c)=ab+ac

合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變.

合并同類項用到了什么運算律？

：上節課學習了合并同類項，我們一起來回憶一下同類項的定義以及合并同類項法則.思

考

與數的運算一樣，進行整式的運算時也會遇到去括號的問題.探究新知

港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋，一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為96km/h，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72km/h和92km/h.如果汽車通過主橋需要bh，通過海底隧道所需時間比通過主橋的時間少0.15h，你能用含b的代數式表示主橋與海底隧道的長度的和嗎？主橋與海底隧道的長度的相差多少千米？

汽車通過主橋的行駛時間是bh，那么汽車在主橋上行駛的路程是

km，通過海底隧道所需時間比通過主橋的時間少0.15h，那么汽車在海底隧道行駛的時間是

h,行駛的路程是

km，因此，主橋與海底隧道的長度的和(單位:km)為

①主橋與海底隧道長度的差(單位:km)為

②92b+72(b-0.15).92b(b-0.15)72(b-0.15)92b-72(b-0.15).探究新知

去括號法則：一般地，一個數與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加.

特別地，+(x-3)與-(x-3)可以看作1與-1分別相乘，得：+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3.

思考：請同學們根據以上探究過程總結一下去括號法則.去括號法則上面的代數式①②應如何去括號進行化簡？

可以利用分配律，將括號前的乘數與括號內的各項相乘，去掉括號，再合并同類項.92b+72(b-0.15)=92b+72b-10.8=164b-10.8,92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8.學以致用例4化簡：

（1）8a+2b+(5a-b);（2）(4y-5)-3(1-2y).解：（1）8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b（2）(4y-5)-3(1-2y)=4y-5-3+6y=10y-8.為什么-3×（-2y）＝6y?學以致用

例5兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度是50km/h，水流速度是akm/h.

（1）2小時后兩船相距多遠？

（2）2小時后甲船比乙船多航行多少千米？(1)由題意得：2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200.可知，2小時后兩船相距200km.(2)由題意得：2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km)可知，2小時后甲船比乙船多航行4akm.

解:順水航速=靜水航速+水流速度=(50+a)km/h,

逆水航速=靜水航速-水流速度=(50-a)km/h.鞏固應用

答案：1.(1)錯誤；正確的為：a2-(2a-b+c)=a2-2a+b-c;(2)錯誤；正確的為：-(x-y)+(xy-1)=-x+y+xy-1.2.(1)a+b-c;(2)a+b-c;(3)a-b+c+d;(4)-a-b+c-d.3.(1)12x-6;(2)-5+x;(3)-5a+5;(4)5y+1.4.(20a+10)元.總結提升法則：①用括號外的數乘括號內的每一項.

②再把所得的積相加.注意：括號外是負數時，去括號內的各項

要變號.去括號知識梳理知識點：去括號,合并同類項

【解析】去括號時注意符號的變化,合并同類項時不要漏項.①x+[-x-2(x-2y)]=x-x-2x+4y=-2x+4y;.

③2a-(5a-3b)+3(2a-b)=2a-5a+3b+6a-3b=3a.

④-3{-3[-3(2x+x2)-3(x-x2)-3]}=-3[-3(-6x-3x2-3x+3x2-3)]=-3[-3(-9x-3)]=-3(27x+9)=-81x-27.

【方法小結】解答此類題目,去括號時要注意各項符號的變化,且不要漏乘.有多級括號時要注意去括號的順序.教材第100~102頁4.2整式的加法與減法（三）第四章整式的加減復習導入合并同類項法則：

去括號法則：

注意：去括號時，如果括號外邊是負號，去括號時，括號內的各項都要變號.

合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變.

一般地，一個數與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加.

思考：請同學們試著總結一下整式加減的法則:

整式加減的法則：幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.學以致用解:(1)(2x3y)+(5x+4y)

=2x-3y+5x+4y

=7x+y;(2)(8a-7b)-(4a-5b)=8a-7b-4a+5b=4a-2b.合并同類項和去括號是進行整式加減運算的基礎，利用它們就可以進行整式的加減運算.

例6計算：(1)(2);.學以致用例7.做大、小兩個長方形紙盒，尺寸如下表所示.類型長/cm寬/cm高/cm小紙盒abc大紙盒1.5a2b2c（1）做這兩個紙盒共用紙多少平方厘米？（2）做大紙盒比做小紙盒多用紙多少平方厘米？

解：小紙盒的表面積是(2ab+2bc+2ca)cm2，

大紙盒的表面積是(6ab+8bc+6ca)cm2.（1）由題意，得：(2ab+2bc