PAGE1-增分強化練(二十一)考點一古典概型1．一個盒子里裝有標號為1—6的6個大小和形態都相同的小球，其中1到4號球是紅球，其余兩個是黃球，若從中任取兩個球，則取出的兩個球顏色不同，且恰有1個球的號碼是偶數的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,15)C.eq\f(3,15) D.eq\f(4,15)解析：盒子里裝有標號為1—6的6個大小和形態都相同的小球，其中1到4號球是紅球，5,6號是黃球，從中任取兩個球，有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15種狀況，恰有1個球的號碼是偶數且顏色不同的有16,25,36,45，共有4種狀況，故所求概率P＝eq\f(4,15).故選D.答案：D2．讀算法，完成該題：第一步，李同學拿出一正方體；其次步，把正方體表面全涂上紅色；第三步，將該正方體切割成27個全等的小正方體；第四步，將這些小正方體放到箱子里，攪拌勻稱；第五步，從箱子里隨機取一個小正方體．問：取到的小正方體恰有兩個面為紅色的概率是()A.eq\f(6,27) B.eq\f(8,27)C.eq\f(12,27) D.eq\f(24,27)解析：在大正方體中，每一條棱各有一個小正方體恰有兩個面為紅色，故共有12個小正方體有兩面為紅色，P＝eq\f(12,27)，故選C.答案：C3．袋子中有四個小球，分別寫有“和”“平”“世”“界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0,1,2,3代表“和”“平”“世”“界”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下24個隨機數組：232321230023123021132220011203331100231130133231031320122103233221020132由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(5,24)解析：由題意可知，滿意條件的隨機數組中，前兩次抽取的數中必需包含0或1，且0與1不能同時出現，出現0就不能出現1，反之亦然，第三次必需出現前面兩個數字中沒有出現的1或0，可得符合條件的數組只有3組：021,130,031，故所求概率為P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).故選A.答案：A考點二幾何概型1．(2024·新鄉模擬)從區間[0，π]內任取一個實數x，則sinx＋eq\r(3)cosx>1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：由sinx＋eq\r(3)cosx>1，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))>eq\f(1,2)，因為x∈[0，π]，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由幾何概型可知所求概率P＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2)，故選B.答案：B2．一只螞蟻在三邊長分別為6,8,10的三角形內自由爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的隨意一個頂點的距離不超過1的概率為()A.eq\f(π,24) B.eq\f(π,48)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,8)解析：因為三角形三邊長分別為6,8,10，由勾股定理，該三角形為直角三角形，且面積為eq\f(1,2)×6×8＝24，距離三角形的隨意一個頂點的距離不超過1的部分是以三角形三個角分別為圓心角，1為半徑的的扇形區域，因為三個圓心角之和為180°，所以三個扇形面積之和為eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，所以某時刻該螞蟻距離三角形的隨意一個頂點的距離不超過1的概率為eq\f(π,2)÷24＝eq\f(π,48)，故選B.答案：B3．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(圖1)，圖2是由弦圖改變得到，它由八個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼接而成．現隨機的向圖2中大正方形的內部去投擲一枚飛鏢，若直角三角形的直角邊長分別為5和12，則飛鏢投中小正方形(陰影)區域的概率為()A.eq\f(49,169) B.eq\f(30,169)C.eq\f(49,289) D.eq\f(60,289)解析：直角三角形的直角邊長分別為5和12，則小正方形的邊長為5＋12－(5＋5)＝7，最大正方形的邊長為5＋12＝17，小正方形面積49，大正方形面積289，由幾何概型公式得P＝eq\f(49,289)，故選C.答案：C4．如圖是希臘聞名數學家歐幾里德在證明勾股定理時所繪制的一個圖形，該圖形由三個邊長分別為a，b，c的正方形和一個直角三角形圍成．現已知a＝3，b＝4，若從該圖形中隨機取一點，則該點取自其中的直角三角形區域的概率為()A.eq\f(3,28) B.eq\f(3,56)C.eq\f(3,25) D.eq\f(6,25)解析：因為a＝3，b＝4，∴c＝5，∴S＝a2＋b2＋c2＋eq\f(1,2)ab＝9＋16＋25＋6＝56，其中S△＝6，∴該點取自其中的直角三角形區域的概率為eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，故選A.答案：A考點三概率與統計的綜合問題1．某電子商務平臺的管理員隨機抽取了1000位上網購物者，并對其年齡(在10歲到69歲之間)進行了調查，統計狀況如下表所示.年齡[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人數100150a200b50已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個年齡段的上網購物的人數依次構成遞減的等比數列．(1)求a，b的值；(2)若將年齡在[30,50)內的上網購物者定義為“消費主力軍”，其他年齡段內的上網購物者定義為“消費潛力軍”．現采納分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費潛力軍的概率．解析：(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝500,ab＝40000,a>b))，解得a＝400，b＝100.(2)由題意可知，在抽取的5人中，有3人是消費主力軍，分別記為a1，a2，a3，有2人是消費潛力軍，分別記為b1，b2.記“這2人中至少有一人是消費潛力軍”為事務A.從這5人中抽取2人全部可能狀況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10種．符合事務A的狀況有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共7種．故所求概率為P(A)＝eq\f(7,10).2．(2024·寧德質檢)黨的十九大報告指出，要以創新理念提升農業發展新動力，引領經濟發展走向更高形態．為進一步推動農村經濟結構調整，某村舉辦水果觀光采摘節，并推出配套鄉村旅游項目．現統計了4月份100名游客購買水果的狀況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)若將購買金額不低于80元的游客稱為“水果達人”，現用分層抽樣的方法從樣本的“水果達人”中抽取5人，求這5人中消費金額不低于100元的人數；(2)從(1)中的5人中抽取2人作為幸運客戶免費參與山村旅游項目，請列出全部的基本領件，并求2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率；(3)為吸引顧客，該村特推出兩種促銷方案：方案一：每滿80元可立減8元；方案二：金額超過50元但又不超過80元的部分打9折，金額超過80元但又不超過100元的部分打8折，金額超過100元的部分打7折．若水果的價格為11元/千克，某游客要購買10千克，應當選擇哪種方案．解析：(1)樣本中“水果達人”的頻率為(0.0075＋0.005)×20＝0.25，所以樣本中“水果達人”的人數為100×0.25＝25人．由題可知，消費金額在[80,100)與[100,120]的人數比為3∶2，其中消費金額不低于100元的人數為25×eq\f(2,5)＝10人所以，抽取的5人中消費金額不低于100元的人數n＝10×eq\f(5,25)＝2(人)．(2)由(1)得，抽取的5人中消費金額低于100元的有3人，記為A，B，C，消費金額不低于100元的有2人，記為a，b.全部基本領件如下：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，