第四章電路的暫態(tài)分析

自然界事物的運動，在一定條件下有一定的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)條件改變，就要轉(zhuǎn)變成

新的穩(wěn)定狀態(tài)。如前面各章分析的直流電路和交流電路中，所有響應(yīng)都是穩(wěn)恒不變或

按周期性規(guī)律穩(wěn)定變化。電路的這種工作狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。當(dāng)電路的工

作條件發(fā)生變化時，可能會使電路由原來的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變成另一個穩(wěn)定狀態(tài)。但是這

種狀態(tài)的變化往往不能立即完成，需要一個過程。這樣處在兩個穩(wěn)定狀態(tài)之間的過渡

階段稱為電路的暫態(tài)過程，也稱過渡過程，它是電氣工程人員經(jīng)常遇到的問題。

暫態(tài)過程雖然持續(xù)時間短暫，但在實際工作中卻是非常重要的。因此研究電路的

暫態(tài)過程有著重要的實際意義：一方面是為了便于利用它以實現(xiàn)某種技術(shù)目的；另一

方面則是為了對某些電路在暫態(tài)過程中可能出現(xiàn)的過電壓、過電流作出預(yù)測，以便及

時采取必要的措施加以防止。

暫態(tài)分析的研究方法有兩種，一種是直接求解微分方程的方法，稱為經(jīng)典法。因

為它是以時間t作為未知量進(jìn)行分析，所以又稱為時域分析。另一種是采用積分變換

求解微分方程的方法，將時間t轉(zhuǎn)換為復(fù)頻率變量，稱為復(fù)頻域分析。它的特點是將

微分方程的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的問題，所以又稱為運算法。分析復(fù)雜電路的暫態(tài)響

應(yīng)時運算法比經(jīng)典法簡便，但經(jīng)典法可以更明顯地反映出暫態(tài)現(xiàn)象的物理實質(zhì)。

4.1暫態(tài)過程的基本知識

直流電路及周期性電路中的電壓、電流或是穩(wěn)恒不變，或是周期性變動，處于穩(wěn)

態(tài)。但是在含有儲能元件：電容、電感的電路中，當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變

時，電路就會發(fā)生暫態(tài)過程。

4.1.1電路中的暫態(tài)過程

對于電阻元件，其伏安關(guān)系是腎，也就是說在電阻元件上，有電壓就有電

流，任意時刻的電流都取決于該時刻的電壓。所以電阻元件接入電路后其電流從0

到達(dá)新穩(wěn)態(tài)值是立即完成的，電阻的電壓與電流同時產(chǎn)生了躍變，所以電阻電路不會

產(chǎn)生暫態(tài)過程。

對于電感元件，其伏安關(guān)系是乙=￡強。也就是說在電感元件上每個瞬間的電

dt

壓值不取決于該瞬間電流的大小，而是取決于該瞬間電流的變化情況。由于電感元件

接入電路的瞬間電流變化最大，此刻電感元件兩端電壓最高，相當(dāng)于開路。此后電感

中電流逐漸增大，但是電流的變化率逐漸減小，電壓隨之減小。到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)時，電

流不再變化，電感元件兩端電壓減小到0,相當(dāng)于短路。所以電感電流由0到達(dá)最大

需要一個過程。

對于電容元件，其伏安關(guān)系是，c=C@七。也就是說在電容元件上每個瞬間的電

dt

流值不取決于該瞬間電壓的大小，而是取決于該瞬間電壓的變化情況。由于電容元件

接入電路的瞬間沒有儲存電荷，電容兩端電壓為0,相當(dāng)于短路，電流最大。此后隨

著電容充電，電壓逐漸增大，但是電壓的變化率逐漸減小，電流隨之減小。到達(dá)新的

穩(wěn)態(tài)時，電壓不再變化，電容元件兩端電流減小到0,相當(dāng)于開路。所以電容電壓由

0到達(dá)最大需要一個過程。

從能量角度看，電阻是耗能元件，由電流產(chǎn)生的電能總是立刻轉(zhuǎn)化為其它形式的

能量消耗掉。如果電路中含有電容或電感這樣的儲能元件，則電路中電壓和電流的建

立以及大小的改變，必然伴隨著電容中電場能量和電感中磁場能量的改變。能量的變

化只能是漸變，不可能發(fā)生躍變，否則意味著功率尸=也趨于無窮大，在實際中是

dt

不可能的。

對于電容元件，其電場儲能為畋=；。卻，由于電路接通瞬間能量不能躍變，所

以電壓也不能躍變，否則會導(dǎo)致其中電流無=。也趨于無窮大，這是不可能的。因

dt

此電流江只能是有限值，以有限的電流對電容充電，電荷及電壓只能逐漸增大，不可

能在某一時刻突然躍變。同樣電感中儲能%=［勿3所以電路接通瞬間電流不能躍

變。否則會導(dǎo)致其端電壓乙=上強趨于無窮大，這也是不可能的。所以肛只能是有

dt

限值，電感的磁鏈和電流只能逐漸增大，不可能在某一時刻突然躍變。

綜上所述，電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的原因有兩個：內(nèi)因是電路中存在動態(tài)元件電感或

電容；外因是電路的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生突然變化，例如開關(guān)的接通或斷開，元件的接入

或拆除等，即發(fā)生換路。

4.1.2換路定則

在換路瞬間，電容元件的電流有限時，其電壓人不能躍變；電感元件的電壓有限時,

其電流人不能躍變。這一結(jié)論稱為換路定則。如果把換路發(fā)生的時刻定義為計時起點，

即取為，=0,同時以作為換路前的最后一瞬間，它和，=0之間的時間間隔趨近于

0；以‘=°+作為換路后的最開始瞬間，它和7=0之間的時間間隔也趨近于0。換路定則

可表示為

（。+）="°（。―）（4.1）

左―。）

除了電容電壓及其電荷量、電感電流及其磁鏈外，其余的電壓、電流在換路瞬間都是可

以躍變的。因為它們的躍變不會引起電場和磁場能量的躍變，即不會出現(xiàn)無限大的功率。

4.1.3電路初始值的計算

在換路后的開始瞬間產(chǎn)生的電壓、電流響應(yīng)稱為初始值。初始值組成求解電路微分

方程的初始條件，是分析暫態(tài)響應(yīng)的重要條件。

如前所述，根據(jù)換路定律，由"。（°=）、"°-）可以求得"。（0+）和1（0+）,而電路中其

它電壓、電流響應(yīng)的初始值，需要利用0+時刻的等效電路（也稱為初始值等效電路）求

得。計算步驟如下：

i確定換路前電路中的乂°-），并由換路定律求得"。（0+）和乙（0+）。

ii.畫出電路在0+時刻等效電路。用電壓等于“。（°+）的電壓源代替電容元件，用電流等于

"（0+）的電流源代替電感元件，獨立電源不變。這樣原電路在0+時刻變成一個在直流電

源作用下的電阻電路，稱為0+時刻的等效電路。

iii.由0+時刻的等效電路求各電壓、電流在0+時刻的初始值。

例1.圖示4.1電路中，已知Us=12V,Ri=4kQ,R2=8kQ,C=1uF,開關(guān)S原來處于斷

開狀態(tài)，電容上電壓uc。尸0。求開關(guān)S閉合后,t=0+時，各電流及電容電壓的數(shù)值。

圖4.1例1電路圖

(a)電路原理圖(b)t=0+等效電路

解選定

(1)由已知條件可知:uc(0.)=0o

(2)由換路定律可知:uc(O+尸ucQ尸0。

⑶求其它各電流、電壓的初始值。畫出t=0+時刻的等效電路，如圖4.1.1(b)

所示。由于uc(0+尸0,所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有

K2人2

./“、Us12..

/.(0,)=—=-----r=3m4

1+&4x103

由KCL有ic(0+)=ii0+)-i2(0+)=3-0=3mA

圖4」例1電路圖

(a)電路原理圖(b>t=O+等效電路

例2如圖4.2所示電路，已知Us=10V,Ri=6Q,R2=4Q,L=2mH,開關(guān)S原處于斷開

狀態(tài)。求開關(guān)S閉合后t=o+時，各電流及電感電壓UL的數(shù)值。

他)

解選定有關(guān)參考方向如圖所示。

(1)求t=0一時電感電流iL(0.)o

由原電路已知條件得

加=M°-)=必=*需,

z3(0_)=0

(2)求t=0+時=(0+)。

由換路定律知

4(0+)=z-(0_)=U

(3)求其它各電壓、電流的初始值。畫出t=0+時的等效電路如圖4.2(b)所示。由

于S閉合,R2被短路，則R2兩端電壓為零，故izQhO。

由KCL有z3(0+)=/1(0+)-z2(0+)=/1(0+)=U

由KVL有

4=40+)a+~(0+)

4(0+)=4-虱0+)凡=10-1X6=4%

例3如圖4.3所示電路，已知Us=12YRl=4Q,R2=8Q,R3=4Q,uc(0一)=0,iL(0.)

=0,當(dāng)t=0時開關(guān)s閉合。求當(dāng)開關(guān)s閉合后，各支路電流的初始值和電感上電壓的

初始值。

解(1)由已知條件可得

圖4.3例3電路圖

(a)電路原理圖(b)t=O+等效電路

(2)求t=0+時,uc(O+)和片(0+)的值。

由換路定律知

(3)求其它各電壓電流的初始值。

z(0+)=zc(0+)=4=—=1A

+°+&+R24+8

Mi(0+)=zc(0+)7?2=lx8=8K

4.2RC電路的暫態(tài)過程

4.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)

電路在沒有外加電源，只靠儲能元件初始能量產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。電路

如圖4.4所示。

圖4.4(a)中開關(guān)S置于1的位置,

電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容C已充電到電

源電壓°。。°時將開關(guān)S撥至2的

位置，則已充電的電容C與電源脫離開

圖4.4一階RC電路的零輸入響應(yīng)

(a)電路圖；(b)換路瞬間等效電路并通過電阻放電，如圖4.4(b)所示。由

于此時已沒有外界能量輸入，只靠電容

中的儲能在電路中產(chǎn)生響應(yīng)，所以這種響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，零輸入響應(yīng)實際上就是電

容元件的放電過程。

1.電壓、電流的變化規(guī)律

根據(jù)KVL,保="C=Ri,而i=—C—-(式中負(fù)號表明/c與"c的參考方向相反)。將

dt

i=—C代入ik=R/得RCd"c,Q

dtdt

pt

uc=Ae

RCpAep,+Aep,=0

(RCp+V)Aept=0

RCp+l=0

由換路定律知：uc(0+)=uc(0_)=US,即

將人=加代入式(4.2),得

t

uc=U0/Rc式4.3

"絲=七」正式4.4

RR

其中令二二火。，則前面兩式也可寫為：

t

"c=U°e「式4.5

=%廣式4.6

RR

的變化曲線如圖4.5所示。

由此可見,RC電路的零輸入響應(yīng)4、都是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減速率取

決于RC的值。

圖4.5一階RC電路的零輸入響應(yīng)波形

(a)"c波形；(6)，波形

2.時間常數(shù)

線性電路確定后，電阻R和電容C是確定值，二者的乘積也是一個確定的常數(shù)，用

工表示，即7=RC。t是表示時間的物理量，單位為秒（s）,稱為RC電路的時間常數(shù)。

T是電容電壓（或電流）衰減到初始值的36.8%所需要的時間。由表4.1可知，當(dāng)/=57時,

電容電壓只有初始值的0.7%,可以認(rèn)為電壓已基本衰減到0。但從數(shù)學(xué)角度看，根據(jù)指

數(shù)函數(shù)的特點，直到t-8,電壓也只能無限接近0,而不可能等于0。

工程上一般認(rèn)為，換路后時間經(jīng)過（3—5）T,暫態(tài)過程就結(jié)束。由此可見，電壓、

電流衰減的速度取決于時間常數(shù)T的大小，RC電路的零輸入響應(yīng)是由電容的初始電壓

和時間常數(shù)丁共同確定的。T對暫態(tài)過程的影響見圖4.6給出的RC電路在三種不同T

值下電壓隨時間變化的曲線。《電路技術(shù)基礎(chǔ)》（高教）p58圖2-33

時間常數(shù)7僅由電路參數(shù)R和C決定。R越大，電路中放電電流越小，放電時間越

長；C越大，電容所儲存的電荷量越多，放電時間越長。所以7只與R和C的乘積有關(guān),

與電路的初始狀態(tài)和外加激勵無關(guān)。

表4.1電容電壓及電流隨時間變化的規(guī)律

t

tUci

eT

0e°=l4

R

0.368^

T"i=0.3680.368U。

R

0.135^

2Te2=0.1350.135U。

R

3T"3=0.050.05U。0.05^

R

0.018&

4Te-4=0.0180.018C/

OR

0.007—

5T"5=0.0070.007U。

R

?????????

8e-0000

時間常數(shù)可用下列方法求得：

Q直接按時間常數(shù)的定義。其中電阻是由電容兩端看進(jìn)去的等效電阻。

4根據(jù)零輸入響應(yīng)的變化曲線，當(dāng)電容電壓衰減到初始值的36.8%時所對應(yīng)的時間。

例1：如圖4.7所示電路原已穩(wěn)定，試求開關(guān)S斷開后的電容電壓uc。

</=0)

圖4.7例1圖

解：換路前電容相當(dāng)于開路，則有:%(0)=90x-^-=60F

°-6+3

根據(jù)換路定則有：

MC(0+)=MC(0)=60%

時間常數(shù)為：

36

r=7?C=(4+6)xl0xl0xl0^=0.h

所以電容電壓為:

t

%⑺=60e：=60e"

4.2.2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖4.8電路是RC串聯(lián)

電路。開關(guān)S閉合前，電容

C上沒有儲能；，=°時刻將開

關(guān)S閉合，RC串聯(lián)電路與外

圖4.8RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

接激勵6接通，電容C充電。

RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)實質(zhì)上就是電容C的充電過程。

圖4.8所示電路在，=°時刻將開關(guān)S閉合，按照給定的電壓、電流方向，由KVL

和各元件的伏安關(guān)系，得：

“R+"c~U$4.7

將各元件的伏安關(guān)系=認(rèn)和”組代入上式得

at

RC皿+。式4.8

dtcs

—"c+式4.9

UC=Us式4.10

t

式4.11

uc=Ae

上式中T=?a將式4.10和4.11代入式4.9,得

uc=uc+uc=US+Ae式4.12

因為MC(0+)=MC(0_)=0

1

0=4+Ae=US+Ae°=US+A

A=~US

t

T

于是：uc-Us-Use式4.13

t

式中,Us為電容充電電壓的最大值，稱為穩(wěn)態(tài)分量或強迫分量。是隨時間按指數(shù)規(guī)

律衰減的分量，稱為暫態(tài)分量或自由分量。式4.13也可寫為

%=4(1—6r)式4.14

Jc

i=C^=C^(Us-Use)

-1

式4.15

=C--{-Use=je『=I°e

U~--

TT

UR=iR=--eR=Ue式

R4.16

圖4.9RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線

所以零狀態(tài)響應(yīng)也可以看成是穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的疊加。實際上零輸入響應(yīng)也是穩(wěn)態(tài)

分量和暫態(tài)分量的疊加，只不過它的穩(wěn)態(tài)分量等于0而已。

"C、MR、i的零狀態(tài)響應(yīng)變化曲線如圖4.9所示。

由上述分析可知，電容元件與恒定的直流激勵源接通后，電容的充電過程是：電容

電壓從零按指數(shù)規(guī)律增長，最后趨于直流激勵源的電壓Us；充電電流從零躍變到最大

值區(qū)后按指數(shù)規(guī)律衰減到零；電阻電壓與電流變化規(guī)律相同，從零躍變到最大值力后

按指數(shù)規(guī)律衰減到零。電壓、電流的增長或衰減的速度仍然由時間常數(shù)t決定，工越大,

%增長越慢，暫態(tài)過程時間越長；反之，工越小，%增長越快，暫態(tài)過程時間越短。

當(dāng)t=T時，%（7）=（1-丁1）4=0.6324，電容電壓增至穩(wěn)態(tài)值的0.632倍。當(dāng)t=5

T時，%=0.997Us.可以認(rèn)為充電已經(jīng)結(jié)束。電容充電過程中的能量關(guān)系為電源供給的

能量一部分轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中，一部分被電阻消耗掉。在充電過程中，電阻

所消耗的電能為

2

WR=^Ridt=￡=Wc式4.17

例2.如圖4.10所示電路，t=0時開關(guān)S閉合。已知次（0_）=0,求t>0時的女"入

九⑺和i（t）os（f=o）

3kC,/1

)6kc[

]5能:

圖4.10例2圖

解：因為uc（0J=0,故換路后電路屬于零狀態(tài)響應(yīng)。因為電路穩(wěn)定后，電容相當(dāng)于

開路，有：〃(8)=6xl5=10K

3+6

3x6ara

T=RC=--X103X5X10-6=10X10-35

3+6

100,

Mc(0=10(l-e)K

100l

zc(Z)=C^~-=5emA

/c(0=M0=5(1_e_100(>A

4.2.3RC電路的全響應(yīng)

在初始狀態(tài)和外加激勵共同作用下的響應(yīng)。如圖4.11所示電路中設(shè)電容已經(jīng)充好

zS

電，且%(()+)=U。，在t=0時刻開關(guān)閉合，RC串聯(lián)修路與1流電源接通。

因此換路后的電路響應(yīng)Us--。二二卜

由輸入激勵Us和初始狀態(tài)Uo

---------□--------

R

共同作用產(chǎn)生，這就是全響應(yīng)

圖4.11RC電路的全響應(yīng)

求解全響應(yīng)仍然可以利用微分

方程:

du

UR+UQ—URC-+UQ—U

sdts

RC

uc=uc+%=q+Ae

由初始條件:優(yōu)(0+)=&(0-)=Uo,

代入上式有小〃+A,即人=1}()-5。所以，電容上電壓的表達(dá)式為

工

nc=Us+?「Us)e'式4」8

由式(4.18)可見,Us為電路的穩(wěn)態(tài)分量，(U。-q為電路的暫態(tài)分量，即

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

將式(4.18)進(jìn)行整理,可得：

tt

Tr

uc=Uoe+Us(\-e)式4.19

所以全響應(yīng)也可以表示為

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

(_tyj_

其中4l-e"是電容初始電壓為零時的零狀態(tài)響應(yīng);是電容初始值電壓為Uo

時的零輸入響應(yīng)。

全響應(yīng)有三種情況：Q)UK區(qū),34=以，(c)◎以，如圖4.12所示。

電路中的電流為

I_Qd"c_5-5~~

dtR式4.19

實際上這是線性電路疊加的結(jié)果。因為全響應(yīng)是由初始值和輸入激勵共同產(chǎn)生的,

所以全響應(yīng)就等于初始值和輸入激勵分別作用產(chǎn)生的響應(yīng)之和。推而廣之電路中的任意

電壓、電流的全響應(yīng)都可以看成是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，而零輸入響應(yīng)和零狀

態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的一種特例。

4.3RL電路的暫態(tài)響應(yīng)

上節(jié)中對RC電路的暫態(tài)響應(yīng)做了詳細(xì)分析，RL電路的暫態(tài)過程與RC電路相

似：只含有一個電感元件的RL電路，在直流激勵作用下產(chǎn)生的暫態(tài)過程可用一階微

分方程說明。

4.3.1零輸入響應(yīng)

1.RL短接

圖4.13所示電路在換路

前已處于穩(wěn)態(tài)，電感L中的

電流為在/=0時刻開關(guān)

圖4.13RL電路的零輸入響應(yīng)

S閉合，它將RL串聯(lián)電路

短路，電源不再向電感提供能量，RL串聯(lián)電路因此發(fā)生零輸入響應(yīng)。

在選定的參考方向下，由KVL得換路后的電路方程"&+肛=0。其中MR=ZLR,

〃L=￡（戍Jd/）,帶入電路方程，有

i,R+L--=0

dt

Ldi

L+i=0

RdtL

因此h="e'式4.20

，

uR=iLR=IoRe式4.21

uL=L^=-I0Re「

式4.22

在式4.20、4.21、4.22中時間常數(shù)7=二，單位秒(s)。

R

RL電路的零輸入響應(yīng)衰減的速度同樣可用時間常數(shù)7表示。7與電路的L成正

比，與R成反比。在相同的初始電流下，L越大，儲存的磁場能量越多，釋放儲能所

需要的時間越長，所以7與L成正比。同樣/。與L的情況下，R越大，消耗能量越

快，放電所需時間越短，所以7與R成反比。

RL短路后電路中的物理過程實質(zhì)上就是把電感中原來儲存的磁場能量轉(zhuǎn)換為電

阻中熱能的過程。

電感電流乙、電壓/、隨時間變化曲線如圖4.14。

圖4.14RL電路零輸入響應(yīng)變化曲線

由此可見：

(1)一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時間變化而衰減到零的。

(2)零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時間常數(shù)。

2.RL直接從電源斷開

RL串聯(lián)電路就是線圈的電路模型，4

如圖4.15所示。當(dāng)開關(guān)從電源斷開時，線圈

沒有短路，則由于這時電流變化率(生)很

dt

大，使線圈的自感電動勢(eL=-L%)很口

dt

大，可能使開關(guān)的兩個觸點之間的空氣被擊穿,

造成電弧燒壞觸點。所以往往在將線圈從電源

斷開的同時將其短接，以便使電流逐漸減小。圖4.15RL電路從電源斷開

有時為了加速線圈的放電過程，也可用一個小電阻為與線圈聯(lián)接，稱為泄放電阻。

泄放電阻不宜太大，否則在線圈兩端會出現(xiàn)過電壓：

.R.-竽r

uuj——Rj=-----Uc乙

RLlR

D

當(dāng)/=0時，其絕對值為?U。可見若為＞區(qū)時，“電(0)〉U。

如果在線圈兩端原來并聯(lián)有電壓表，則在開關(guān)斷開前必須將電壓表去掉，以免引

起過電壓燒壞儀表。

4.3.2零狀態(tài)響應(yīng)

在圖4.16中，t=0

時刻開關(guān)閉合。開關(guān)閉

合前電感L無儲能，電

流勿等于零，此時電路處

于零狀態(tài)。由KVL,換路后的電路方程:圖4.16RL電路零狀態(tài)響應(yīng)

MR+“L=G

根據(jù)元件的伏安關(guān)系得

iR+L—=5

Ldt

L強+i，

RdtLR

-L=^+Ae式4.23

LR

乙(0+)=—+AeT=—+A=0

RR

代入式(4.3.4),得A=1

R

uu~t」t、

乙='「=ia-en式4.24

L~RR

式中,/=5依

進(jìn)一步求得電壓為

u=L—=L—[I(l—e；)]

Ldtdt

L、

=l[-Ie(RUSf

T=L-----e=Ue「

日RJs式4.25

)

UT

R=iLR=)=Us(l-e7)式4.26

各響應(yīng)的變化曲線如圖4.17o電感電流由初始值隨時間逐漸增長，最后趨于穩(wěn)態(tài)值

區(qū)。電感電壓方向與電流方向一致，電路接通瞬間最大，與電源電壓相等，隨后逐

R

漸按指數(shù)規(guī)律衰減到零。達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時，電感的磁場儲能為3￡(^)2。

圖4.17RL電路零狀態(tài)響應(yīng)變化曲線

4.3.3一階電路暫態(tài)響應(yīng)的一般形式

由一階RC、RL電路的零輸入響應(yīng)可以看出：零輸入響應(yīng)都是由儲能元件儲存的

初始能量通過電阻放電引起的。由于電阻是耗能元件，因此換路后，電路中的電壓與

電流都是按指數(shù)規(guī)律衰減。在兩種電路中T分別為RC和二，稱為電路的時間常數(shù)，

R

決定了電路衰減的快慢。如果用/(/)表示電路的響應(yīng)，/(0+)表示初始值，則一階電

路的零輸入響應(yīng)的一般形式為

t

-7

/(r)=/(O+)e(t>0)式4.27

也可以看做穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的疊加：穩(wěn)態(tài)分量為零，暫態(tài)分量為/(0+)e「\

而對于一階RC、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)，電容電壓”、電感電流“都是由零初

始值逐漸上升到新的穩(wěn)態(tài)值；而電容電流、電感電壓都是按指數(shù)規(guī)律衰減的。如果用

/(◎表示電路的新穩(wěn)態(tài)值，T表示時間常數(shù)，則一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示成

一般形式

t

(t>0)式4.28

也可以看做穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量的疊加：穩(wěn)態(tài)分量/3),暫態(tài)分量/(oo)e，。

4.4一階電路的三要素法

除獨立電源和電阻元件外，僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路,

其暫態(tài)過程可用一階微分方程描述，這樣的電路稱為一階線性電路。

根據(jù)RC串聯(lián)電路的全響應(yīng)公式_t

式中，是電路在換路瞬間電容電壓的初始值,可記做%(0+)；q是電路在換路后重新

達(dá)到穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)態(tài)值，可記做乙(00)；7是時間常數(shù),于是上式可重新寫為

t

Ur

uc=uc(00)+[?c(°+)-c(°°)]^

也就是說，只要求出了電容電壓的初始值4(0+)、穩(wěn)態(tài)值%(oo)和時間常數(shù)7,即可求得

人的全響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)值，初始值和時間常數(shù)，我們稱這三個量為一階電路的三要素，由三

要素可以直接寫出一階電路過渡過程的解。此方法叫三要素法。

三要素法是對一階線性電路的求解法及其響應(yīng)形式進(jìn)行歸納總結(jié)后得出的一個非

常有用的通用法則。根據(jù)三要素法能比較迅速地確定出電路的全響應(yīng)。

設(shè)f(0+)表示電壓或電流的初始值，f(8)表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值，T表示電路

的時間常數(shù)，f(t)表示要求解的電壓或電流。這樣，電路的全響應(yīng)表達(dá)式為：

t

/⑺=/3)+"(0+)-式4.29

表4.2經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表

名稱微分方程之解三要素表示法

_/

xt

RC電路的零輸入響uc=UQe(T—RC)

/(0=/(o+>"

.U。4

應(yīng)i=—^e

R

t/⑺=)(8)(")

RC電路的零狀態(tài)響r

uc=Use(\-e)

.5-/(0=/(0)e^

應(yīng)i=-e+

R

RL電路的零狀態(tài)響i=/(l-e')(，=')

應(yīng)t

Uj=U,eT

RL電路的零輸入響

i=/膽。t

/(/)=/(()+*

應(yīng)_t

"z=-MeT

_t

一階RC電路的全響

"c=a+(Uo-U.)eTt

%)=/(8)+"(。+)-/(8戶

應(yīng)

R

下面歸納出用三要素法解題的一般步驟:

(1)畫出換路前(片0一)的等效電路。求出電容電壓Uc(0一)或電感電流A(0一)。

(2)根據(jù)換路定律統(tǒng)(0+)=/(0.)，/L(0+)=/L(0.),畫出換路瞬間(片0+)時的等效電路，求

出響應(yīng)電流或電壓的初始值/(0+)或〃(o+),即r(o+)o

(3)畫出t=8時的穩(wěn)態(tài)等效電路(穩(wěn)態(tài)時電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路)，求出穩(wěn)

態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值i(8)或u(8),即f(8)。

(4)求出電路的時間常數(shù)T。T"。或￡〃，其中R值是換路后斷開儲能元件C或L,由

儲能元件兩端看進(jìn)去，用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。

(5)根據(jù)所求得的三要素，代入式(4.4.1)即可得響應(yīng)電流或電壓的動態(tài)過程表達(dá)式。

例1如圖4.18(a)所示電路，已知"=100Q,必=400Q,6H25〃F,&=200V,在換路

前電容有電壓?c(0-)=50Vo求S閉合后電容電壓和電流的變化規(guī)律。

解：用三要素法求解

(1)畫t=O一時的等效電路，如圖4.18(b)所示。由題意已知Uc@)=50V。

(2)畫t=O,時的等效電路,如圖4.18(c)所示。由換路定律可得Uc(O+)=Uc(O.)=5OV

(3)畫t=8時的等效電路，如圖4.18(d)所示。

MC(OO)=JR=__x400=16QV

c此+R,100+400

(4)求電路時間常數(shù)T1-

_R\R?_100x400

R0-=80Q

Ri+7?2100+400

-6

r=7?oC=8Oxl25xIO=0.015

⑸由式(4.29)得

r

uc(0=uc(co)+[uc(0+)-wc(co)]e

=160+(50—160)0一麗=160-110e100/K

。也9=L375eT°°Z

,dt

R.例1波形圖

q

⑷

a

(c)⑷

圖4.18例1圖

例2電路如圖4.19所示，已知&=1Q,"=1Q,凡=2Q,Z=3H,t=0時開關(guān)由a撥向

b,試求L和/的表達(dá)式，并繪出波形圖。（假定換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)。）

解（1）畫出t=0一時的等效電路，如圖4.19（b）所示。因換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，故

電感L相當(dāng)于短路，于是9.

火2火31x2

%=(-3)義=(-3)x

,1x2

1+-----

&+凡1+2

6

273

15

⑵由換路定律^(O+)=z(OJ,得以0+)=—.

(3)畫出t=0+時的等效電路，如圖4.19(c)所示，求i(0,)。對3V電源L、及3回路有

3=Z(O+)7?1+Z2(O+)7?3

對節(jié)點A有/(0+)=/2(0+)+/；(0+)

將上式代入回路方程，得3=z(0+)7?1+[z(0+)-zi(0+)]7?3

3=z(0+)xl+[/(0+)-(^)]x2

i(0+)=0.2A

(4)畫出t=8時的等效電路，如圖4.19(d)所示，求

iL(°°),i(°°)a

33

z(oo)==1.8Z

",~172

1+—

R,+R31+2

=L8X/-=I.2Z

4(QO)=/(GO)

a+41+2

(5)畫出電感開路時求等效內(nèi)阻的電路，如圖4.19(e)所示。

RR2“爛=*Q

于是有R=R+

o2&+R31+23

L39

-=1.85

反55

3

(6)代入三要素法表達(dá)式，得

_t_t

7

i(t)=z(oo)+[z(0+)-z(oo)]/=1.8+(0.2—1.8)J*

t

=1.8-1.6e''A

t

ii(O=乙3)+[z￡(0+)-zJco)]eT

t

=1.2+(-1.2-1.2)J*

__t_

=12-2.4//

畫出i(t),畫t)的波形,如圖4.19(f)所示。

圖419例2圖

圖4.19例2圖

由上述例題可見，三要素法是求解一階電路全響應(yīng)的一種普遍適用的方法。根據(jù)上

式求電路的某一響應(yīng)，只需求出該響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)。零輸入響應(yīng)和零

狀態(tài)響應(yīng)是全響應(yīng)的特例，應(yīng)用式4.29也可以直接確定其變化規(guī)律。

本章小結(jié)

一、基本要求

L深刻理解換路定則，牢固掌握初始值的計算方法。

2.牢固掌握一階電路微分方程的意義。深刻理解穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)以及時間常數(shù)的概念，牢

固掌握一階電路時間常數(shù)的計算。

3.掌握一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的分析方法。

4.牢固掌握分析直流激勵作用下一階電路的三要素法，并能熟練應(yīng)用。

二、內(nèi)容提要

1.換路定則：在換路瞬間，電容元件的電流有限時，其端電壓不能躍變；電感元件的

電壓有限時，其中電流不能躍變。即：MC(O+)=MC(O_)Zz(O+)=Z￡(O_)

初始值計算：獨立初始值%(0+)和“(0+)按換路定則確定；其它初始值根據(jù)換路后

0,時刻的等效電路進(jìn)行計算。

2.一階電路：僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的線性電路，其暫態(tài)過程可

用一階微分方程描述，這樣的電路稱為一階線性電路。

3.暫態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)：僅由儲能元件初始儲能引起的響應(yīng)。

零狀態(tài)響應(yīng)：僅由外接激勵引起的響應(yīng)。

一階電路的全響應(yīng)：初始儲能和外接激勵共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)。

t

零輸入響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量=0+/(0+)e；

t

零狀態(tài)響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量=/Q)+fge，

全響應(yīng)二零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量