試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省2025屆高三下學期“一起考”大聯考（模擬二）數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=x∣x2A．1 B．0,1 C．0,2．以y=±2A．x24?C．y22?3．已知平面向量a=?3,?A．1 B．3 C．?3 D．4．若tanα=2tanβA．?19 B．19 C．25．甲?乙?丙?丁?戊5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列的情形有（

）A．36種 B．48種 C．54種 D．64種6．已知a∈R，函數fx=ex+A．?∞,?C．1,+∞7．已知某正三棱柱外接球的表面積為4π，則該正三棱柱體積的最大值為（

A．1 B．2 C．22 8．記數列an的前n項和為Sn，若an+12=A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．已知z1，z2都是復數，下列正確的是（A．若z1=z2，則z1C．若z1=z2，則z110．下列四棱錐的所有棱長都相等，A，B，C，D，E是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線DE不與平面ABCA．

B．

C．

D．

11．已知函數fx=eA．fB．對任意實數xC．fD．若直線y=t與函數y=fx和三、填空題12．已知實數a,b,c滿足3a=13．已知函數fx=sinωx+π614．已知過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點F2,0的直線與拋物線C交于A,B兩點（A在第一象限），以A四、解答題15．中國是茶的故鄉，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當地居民對喝茶的態度，隨機調查了100人，并將結果整理如下：單位：人年齡段態度合計不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計5545100(1)依據小概率值α=0.1的(2)以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當地喜歡喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術節.抽取的2人中，35歲以下的人數記為X，求X的分布列與期望.參考公式：χ2=n參考數據：α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816．在△ABC中，內角A,B(1)判斷△A(2)設AB=1，且D是邊BC的中點，求當17．在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥

(1)求證：PB(2)若二面角P?AC?B的余弦值為13，且18．已知函數fx(1)當a=1時，求(2)若fx?0(3)求證：sin119．已知點F1?1,0,F21(1)求C的方程；(2)直線l:x=4與x軸交于點M,B為l上的動點，過B作①證明：直線BP②⊙N經過B,P,Q三點，是否存在點B答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖南省2025屆高三下學期“一起考”大聯考（模擬二）數學試題》參考答案題號12345678910答案CBDBCBADADBCD題號11答案ACD1．C【分析】由一元二次不等式與一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案.【詳解】由題意可得A=則A∩故選：C.2．B【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.【詳解】對于A，由x24?對于B，由x2?y對于C，由y22?對于D，由y2?x故選：B.3．D【分析】利用數量積的坐標運算即可求得.【詳解】a+故選：D.4．B【分析】由同角三角函數的商式與正弦函數的和角公式，根據方程思想，利用正弦函數的差角公式，可得答案.【詳解】由tanα=2tanβ由sinα+β=1則sinα故選：B.5．C【分析】由排列數計算，根據分步乘法原理，可得答案.【詳解】分三步完成：冠軍有A31種可能，乙的名次有A3所以5人的名次排列有A3故選：C.6．B【分析】根據題意，分別討論x≤0以及【詳解】當x≤0時，0<ex≤1當x>0時，lnx+1綜上，實數a的取值范圍是?∞故選：B.7．A【分析】根據球的表面積公式可得R=1，即可根據正三棱柱的性質以及勾股定理求得高，利用體積公式可得Vx【詳解】設外接球的半徑為R，則4πR2設正三棱柱的底面三角形的邊長為x，則該三角形外接圓的半徑為x3故該正三棱柱的高為h=所以該正三棱柱的體積Vx由x4?x令fx=x所以函數fx在0,2上單調遞增，在2,3故V(故選：A.8．D【分析】利用an=an+12?an22?【詳解】數列an中，由an+即an所以S=1又a1=0又由an+12=可知a2所以an是整數，于是S30是整數，且a312是偶數的平方，則下面舉例說明a31可以取到6a2na26此時S30所以S30故選：D.9．AD【分析】根據共軛復數的定義及復數的乘法運算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據復數的乘法運算及復數的模的計算公式即可判斷D.【詳解】設z1對于A，若z1=z2，則對于B，當z1=z對于C，當z1=1對于D，若z12+z2z1同理z22=z2故選：AD.10．BCD【分析】由線面垂直的判定，結合向量說明線線的不垂直，逐個判斷即可.【詳解】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對于A：

設AB,DE的交點為O，由正四棱錐的結構特征可知：易知：CO⊥ED，又ED所以直線DE與平面A對于B：

取CA的中點為O，連接E有中位線性質可知：EO∥B所以四邊形BDEO可證直線DE平行平面A對于C：

設棱長為2，DE所以DE所以AC與DE不垂直，所以直線DE對于D：

設棱長為2，ED=E所以E=所以AC與DE不垂直，所以直線DE故選：BCD.11．ACD【分析】代入化簡即可求解ABC，根據函數的單調性可大致判斷函數y=fx和y=gx的圖象，且【詳解】對A，f2對B，gx+y對C，f2對D，f′x=ex當x>0時，f′x>所以fx在x當x→+∞時，fx→g′x=ex當x→+∞所以函數fx

不妨設x1<x2<直線y=t與y=fx令gx=e解得ex>1所以x>ln1又因為x1+x故選：ACD.12．3【分析】由對數式的定義，利用對數的運算律與換底公式，可得答案.【詳解】由3a=6所以1a+1b=故答案為：3213．1【分析】先化簡函數得fx=3sinω【詳解】因為f=3又fx1=0,所以函數fx的最小正周期T=4所以ω=故答案為：1.14．16【分析】先求得p=4，由條件推得AD⊥BD,DE//【詳解】依題意p2=2，得p=4由題意可知DE與拋物線的準線x在Rt△ABD中，AD則直線AB的方程為y由y=3x?易得Δ>0,x又原點0,0到直線AB故S△故答案為：16315．(1)不能(2)分布列見解析，2【分析】（1）根據列聯表計算得出χ2（2）易知X的所有取值可能為0，1，2，分別計算出對應概率可得分布列及其期望值.【詳解】（1）零假設為H0根據列聯表中的數據，可以求得χ2根據小概率值α=0.1的χ2因此可以認為H0（2）由題意可知，X的取值可能為0,則PX=0所以X的分布列為X012P441所以X的期望為EX16．(1)等腰三角形(2)3【分析】（1）根據二倍角公式化簡可得sinA2?（2）根據余弦定理結合基本不等式可得cos∠CAD≥【詳解】（1）由二倍角公式得sinA所以sinA整理得sinA2cos因為A,B∈0,π，所以（2）由（1）及題設，有AC所以cos=3AC又∠CAD為三角形內角，所以∠CAD≤π6，即∠故AD2+CD又由（1）可得△A所以當∠CAD最大時，△17．(1)證明見解析(2)2【分析】（1）過P作PE⊥AB于E，利用面面垂直推出線面垂直，即得PE⊥BC，再由PA（2）法1：過E作EF⊥AC于F，連接PF，證明∠PFE即為二面角P?AC?B的平面角，即得tan∠PFE【詳解】（1）

如圖，過P作PE⊥A因為平面PAB⊥平面ABC，平面PA所以PE⊥平面又BC?平面AB又PA⊥平面PBC,B因為PA,PE?所以BC⊥平面PAB，又PB（2）法1：過E作EF⊥AC于由（1）PE⊥平面ABC，AC因PE,EF?平面PEF又PF?平面PE

所以∠PFE所以cos∠PF又由（1）PA⊥平面PBC，PB因BC⊥平面PAB，AB設∠PAB=θ，因為ABPE=2cosθ所以tan∠解得tanθ=263法2：由（1）可得PA⊥PB,直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，

記二面角P?AC?B為α所以PA則A2所以AC設平面ACP的法向量為m即?2x+2y易知平面ABC的一個法向量為n=所以cosα解得tanθ=26318．(1)單調遞減區間為?1,0(2)a(3)證明見解析【分析】（1）求導，根據函數的單調性可得極值；（2）分情況討論函數的單調性與最值情況，可得參數值；（3）利用放縮法，由sinx<xx>0，可知若證【詳解】（1）當a=1時，則f′當x∈?1,0時，f′x<0,f在x=（2）由題意得f′①當a≤0時，f′x>所以當x∈?1,0②當a>0時，當x∈當x∈a?所以f(因為fx≥0記ga當a∈0,1時，g′a>0,又lna?a?1（3）先證sinx<xx>所以hx在區間0,+∞上單調遞減，所以所以sin1n+由（2）可知lnx+1令x=1n即1n所以1n累加可得1n所以sin119．(1)x(2)①證明見解析；②存在，B【分析】（1）根據橢圓的定義，可得曲線C的方程.（2）設直線的方程為y?①根據直線與橢圓的位置關系，由Δ=0可以得到關于k的一元二次方程，根據韋達定理，可得kBP+②法一：分別用k1,k2表示出P,Q,N的坐標，結合①中的法二：分別用k1,k2表示出P,Q,N的坐標，結合①中的法三：分別用k1,k2表示出P,Q,N的坐標，結合①中的法四：分別用k1,k2表示出P,Q,N的坐標，結合①中的【詳解】（1）因為TF所以C的軌跡是以F1設C的軌跡方程為x2a2+y又c=1，所以b2=a（2）設B4,t，易知過B且與C相切的直線斜率存在，設直線方程為y?t=k由Δ=64設兩條切線BP,BQ①證明：設BF2的斜率為k3因為k1+k②法1：在y?t=k1x?同理，得Q0,t?4易得BP的中點為2,t?2聯立y=t?所以NP=?要使∠PNQ=90整理得k1而k1所以t2?312+故存在符合題意的點B，使得∠PNQ法2：在y?t=k1x?同理可得Q0,t?4易得