第01講集合的概念與運算

【提升訓練】

一、單選題

1.集合4=｛不卜<一1或％之3｝,3=卜|辦+1<0｝若8=4,則實數。的取值范圍是()

A._；，"B.--,1C.(^X),-l)u[0,-KX))D.-1,0U(O,1)

.3J1_3」l_3,

【答案】A

【分析】

根據5=4,分8=0和兩種情況討論，建立不等關系即可求實數〃的取值范圍.

【詳解】

解：

???①當8=0時，即以+1,,0無解，此時。=0,滿足題意.

②當時，即依+L,0有解，當時，可得用，一工，

a

。>0

要使5qA,則需要(1解得

匕一

當avO時，口J得工…—,

a

a<0

要使BqA,則需要｛1,解得一；,,avO,

—..33

,a

-1、

綜上，實數。的取值范圍是一.」.

故選：A.

【點睛】

易錯點點睛：研究集合間的關系，不要忽略討論集合是否為0.

2.已知集合A=?yy=x+，,x>0>,8=｛巾=卜則AC|B=()

A.[2,+00)B.[2,3]C.(0,3]D.[2,3)

【答案】B

【分析】

先分別求出集合A、B,再求ACI3.

【詳解】

因為函數丫=x+，在(0,1)單減，在(1,M)上單增，所以4=?yy=x+-,x>。,={y|yN2},

X入

要使函數y=J=有意義，只需3—工20,解得

所以B=卜b=，3T}=[x\x<3},

所以4nB=[2,3]

3.設集合4={耳以一1|?1}.B={司-2x+〃<0},若4口8=8,則〃的取值范圍為()

A.(-oo,0)B.(YO,0]C.(2,+00)D.[2,+co)

【答案】A

【分析】

先解出集合A,根據AD8=8,可知AqB,構造關于。的不等式組，解得〃的范圍.

【詳解】

A=|x||x-l|<l|=|x|0<x<2j,B=jx|x>,

由得A=3,所以avO.

故選：A.

【點睛】

(1)A<JB=B<^>A^B,AnB=A<=>AcB

(2)由3=A求參數的范圍容易漏掉B=0的情況.

4.已知集合4=卜￡2.卜2-2X一3<0},8={工|"+2=0},若Ap|B=B,則實數a的取值集合為()

A.{-1,-2}B.{-1,0}C.{-2,0,1}D.{-2,-1,0}

【答案】D

【分析】

先求出集合A,由AC|3=B得到B=A,再分類討論a的值即可.

【詳解】

A-|xe^*|x2-2x-3<01-{l,2},因為人口8=3,所以3三A,

當〃=0時，集合B=卜版+2=。}二0,滿足BqA；

當〃工0時，集合5={x|ox+2=0}={工=一：>,

22

由A={1,2}得一一二1或一一=2,解得。=—2或〃=—1，

aa

綜上，實數。的取值集合為{-2,-1,0}.

故選：D.

【點睛】

易錯點睛：本題考查的知識點是集合的包含關系判斷及應用，其中易忽略。-0時，集合區=。滿足〃=人，

而錯解.

5.已知4乃￡{-2,—1,1,2},若向量2=(〃/)，則向量.與;;所成的角為銳角的概率是()

【答案】B

【分析】

向量工與：所成的角為銳角等價于工;>0,且工與；不同向，從而枚舉出所有滿足條件的向量工，除以

總數即可求得概率.

【詳解】

向量1A1v與；fl-所成的角為銳角等價!Ktr于f*二**K-Z；〉09,1v且;?；I)與；不同向，

則%;=(。/)-(1,1)=4+6>0,則滿足的向量2有(T，2)，(1,1)，(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其

中i=(l,l)或(2,2)時，與;同向，故舍去，共有4種情況滿足條件，

又7的取法共有4x4=16種，

41

則向量1與；所成的角為銳角的概率是一=-

m"164

故選：B

【點睛】

關鍵點點睛：向星藍與；;所成的角為銳角等價于.々>0,且藍與:不同向.

6.已知集合4=卜|1。82（了一2）<1},則務A=（）

A.{x|x>4}B.{x|x<2?gx>4}C.{x|戈<2或x>4}D.{x|x>4）

【答案】B

【分析】

先解對數不等式kg（x-2）v1得A=卜|2vxv4},在計算補集即可.

【詳解】

.、fx-2>0

由1%飆2）<1得力式一）<1?！?/p>

解得2vx<4,故A=|x|log2（x-2）<l|=|x|2<x<4}

所以4A={x|x42或xN4}

故選：B

【點睛】

本題考查對數不等式的運算，集合的補集運算，考查運算求解能力，是基礎題.本題解題易錯點在于求解過

程中忽略對數式的意義（％—2>0）而出錯.

7.下列五個命題

①在某項測量中，測量結果《服從正態分布NQ,。?/。〉。），若《在（0,2）內取值的概率為0.4,則J在

（0,y）內取值的概率為0.8;

②集合A={X￡Z|X2+2X_3V0},B={X|0<X<2},則AC|5的真子集個數為3;

③命題“若丁一4%+3=0,則％=3”的逆否命題為“若三與3,則/一4%+3工0”；

④若（2x-十）的展開式中各項的二項式;系數之和為32,則此展開式中d項的系數為80;

⑤在10道題中有7道理科題和3道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，在第1次抽到理科題的條件下，

第2次抽到理科題的概率為

其中正確的個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

根據正態分布的對稱性判斷①，求出交集后判斷②，根據逆否命題的定義判斷③，由二項式系數和求得〃,

現由二項式定理判斷④，利用古典概型概率公式計算判斷⑤.

【詳解】

g~N(2,〃)(b>0),而P(0Vg<2)=0.4,所以尸(2>0)=尸(0VpV2)+P記>2)=0.4+0.5=0.9,

①錯；

A={xeZ|x2+2x-3<0}={xeZ|-3<x<l}={-3,-2,-l,0,l},4n5={0,1},真子集個數為3,

②正確；

命題“若％2—4X+3=0,則1=3”的逆否命題為“若XW3,則X2_4X+3W0”，③正確；

若(2%—9]的展開式中各項的二項式系數之和為32,則2〃=32，〃=5,則展開式通項公式為

15-2

4+i=C；(2幻5r(_)，=(_1>25一。>.2,令5_彳=2,r=2，

2

所以犬的系數為(-1)2X23XC；=80,④正確：

在10道題中有7道理科題和3道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，在第1次抽到理科題的條件卜，

剩下6道理科題，3道文科題，第2次抽到理科題的概率為一=一，⑤正確.

93

正確命題有4個.

故選：C.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷，難度較大，必須掌握多種知識點，才能正確求解.如正態分布，集合的交集運

算與子集的定義，命題與逆否命題，二項式定理，古典概型.注意空集是非空集合的真子集，本題第⑤個

命題也可用條件概率公式計算，如設事件A表示第一次抽到理科試題，8表示第二次抽到理科試題，則

尸⑷P(AB)=3W，則尸(8|4)=鏘=|.

8.已知集合4={小2-2]<。},B={x[0<log3X<l},則Ap|8=()

A.{x|0<x<3}B.{x|1<x<3}

C.｛x|0<x<2)D.｛x\\<x<2｝

【答案】D

【分析】

先解出集合A、B,再求4nB.

【詳解】

A=-2x<o|=｛x10<x<2),

B=｛*0<log3x<1｝=｛x11<x<3)

所以An8=｛x|lvxv2｝.

故選：D

9.已知非空集合A、5滿足以下兩個條件：⑴AUB=｛1,2,3,4,5｝,AC\B=0；(2)A的元素個數

不是A中的元素，8的元素個數不是B中的元素.則有序集合對(AB)的個數為()

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【分析】

對集合A中的元素個數進行分類討論，列舉出集合A,由此可求得結果.

【詳解】

由題意可知，集合A不能是空集，也不可能為｛1,2,3,4,5｝.

若集合A只有一個元素，則集合A為｛4｝；

若集合A有兩個元素，則集合A為｛L3｝、｛3,4｝、｛3,5｝；

若集合A有三個元素，則集合A為｛1,2,4｝、｛1,2,5｝、｛2,4,5｝：

若集合A有四個元素，則集合A為｛1,2,3,5｝.

綜上所述，有序集合對(AB)的個數為8.

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：解本題的關鍵在于對集合A中的元素個數進行分類討論，由此確定集合A,由此得解.

10.若集合4一卜加大>1},Z?=L|y=>/7+2k貝|J(4A)IB-()

A.1x|-2<x<ijB.{x|-2<x<e}

C.1x|-2<x<ijD.|x|-2<x<e}

【答案】B

【分析】

求出A,務A,B，再利用交集運算得解.

【詳解】

依題意，A={x|lnx>1}=>e},所以?A={x|x?e}.

因為5=卜卜=>/x+2}={#2-2},

故&A)cB={止2We},

故選：B.

【點睛】

易錯點睛：解讀集合時，首先要看T前元素的一般形式，看集合是數集還是點集，是什么樣的數組成的集

合，是什么樣的點集，再化簡集合.

11.已知集合2={4/一5%<0},。=卜|4之2卜則PDQ=()

A.{.dx>0}B.1A|>/2<x<5|

C.{X|0<X<4}D.|x|4<x<5|

【答案】D

【分析】

求出集合P,。，利用交集定義求出PflQ.

【詳解】

由題意得/>={乂04工<5},Q={x\x>4},

所以PnQ=34WxW5}.

故選：D.

【點睛】

關鍵點點睛：該題考查的是有關根據不等式求解集合以及集合的運算，正確解題的關鍵是熟練掌握不等式

的解法，以及理解交集的定義.

12.已知集合4=卜￡"次41},3={-1,0,1,2},則AD8的子集的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

求出交集API8且可得其子集個數.

【詳解】

由題意4口3={0,1},因此它的子集個數為4.

故選：D.

【點睛】

結論點睛：集合A中含有〃個元素，則它的子集個數為2”，其中真子集個數為2"—1?

13.某班45名學生參加“3T2”植樹節活動，每位學生都參加除草、植樹兩項勞動.依據勞動表現，評定為“優

秀”、“合格”2個等級，結果如下表：

等級

優秀合格合計

項目

除草301545

植樹202545

若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優秀”的人數最多為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【分析】

用集合A表示除草優秀的學生，3表示椿樹優秀的學生，全班學生用全集U表示，則電A表示除草合格的

學生，則田8表示植樹合格的學生，作出Venn圖，易得它們的關系，從而得出結論.

【詳解】

用集合A表示除草優秀的學生，B表示椿樹優秀的學生，全班學生用全集U表示，則aA表示除草合格的

學生，則表示植樹合格的學生，作出Venn圖，如圖，

設兩個項目都優秀的人數為x,兩個項目都是合格的人數為了，由圖可得20-X+X+30—x+y=45,

x=y+5,因為y111ax=10,所以=10+5=15.

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查集合的應用，解題關鍵是用集合A3表示優秀學生，全體學生用全集表示，用Venn

圖表示集合的關系后，易知全部優秀的人數與全部合格的人數之間的關系，從而得出最大值.

14.設U是一個非空集合，尸是U的子集構成的集合，如果尸同時滿足：①尸，②若ABEF,則

Ac(+8)t尸且那么稱r是U的一個環，下列說法錯誤的是()

A.若〃={1,2,3,4,5,6},則/={0,{1,3,5},{2,4,6},1；}是^的一個環

B.若。={?Ac},則存在U的一個環尸，尸含有8個元素

C.茗U=Z,則存在U的一個環尸，”含有4個元素且{2},{3,5}W尸

D.若。=口，則存在U的一個環尸，尸含有7個元素且[0,3],[2,4]w/

【答案】D

【分析】

對A,根據環的定義可判斷；對B,根據子集個數可判斷;對C,存在產={0,{2},{3,5},{2,3,5}}滿足;

對D,根據環的定義可得出產中至少8個元素.

【詳解】

對A,由題意可得產={0,{1,3,5},{2,4,6},U]滿足環的兩個要求，故尸是U的一個環，故A正確，不符

合題意；

對B,若U={〃，h,c],則U的子集有8個,則U的所有子集構成的集合戶滿足環的定義，且有8個元素，

故B正確，不符合題意；

對C,如尸={0,{2},{3,5},{2,3,5?滿足環的要求，且含有4個元素，{2},{3,5}€尸，故C正確，不符

合題意.

對D,???[0,3],[2,4卜尸，.?.[0,3]c0[2,4]=[0,2)eF,[Z4]c0[0,3]=(3,4]w尸,

[0,3]<j[2,4]=[0,4]eF,

.-.[0,3]M[0,2)=[2,3]GF,[0,4]M[23]=[0,1)u(3,4]eF,

再加上0，尸中至少8個元素，故D錯誤，符合題意.

故選：D.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查集合新定義，解題的關鍵是正確理解環的定義.

15.集合M=--------kN=j(x,y)|y=a(x-2)2,?G/?L若McN=0,則實數。

x-Ix—jjt-

的取值范圍是()

A.[0,2)B.[0,4)C.[0,8)D.(0,16)

【答案】C

【分析】

建立方程一[-----L=a(x-2)2,研究方程無解〃的范圍.

x-1x-3

【詳解】

令」7一~二二〃*-2產即/方=々J-

x-1x-3(x-l)(x-J)

若。=0,則上式無解，滿足McN=0,符合題意.

若。工0,得一2=。-2)2(%-1)(工-3)

a

令gQ)="_2)2(x-l)(x-3)=(x-2)2(X2-4X+3)

貝ijg\x)=2(x-2)(x2-4x+3)+(x-2)2(2x-4)

=2(A-2)(2X2-8X+7)

令g'(x)=O得％=2-乎,/=2,巧=2+日

易得g(x)得最小值為g(xj=g(x3)=-；，無最大值.

221

要使一一二(x—2)2(x—D(x—3)無解，必須一一v——，即0＜。＜8

aa4

又。二0符合題意，所以實數。的取值范圍是[0,8).

故選：C.

【點睛】

方程無解(有解)問題，可以分離變量轉化成函數值域問題.

16.設W為小超過工的最大整數，記函數八幻=兇刈，XG[A?,/2+l),"tN的值域為A,集合5是集

合A的非空子集，對于任意元素攵eB,如果攵一1史8,且Z+1史B,那么女是集合8的一個“孤立元素”，

若集合A的所有子集8中，只有一個“孤立元素”的集合8恰好有6個，則正整數〃的可能值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

首先明確集合A的所有非空子集是什么，利用函數/(尤)=[乂可]，xw[〃/+l),分別代入"的值，得到

函數的值域A，利用已知條件得到滿足條件的集合8,逐?判斷選項即可.

【詳解】

當〃=2時，f(x)=lx[x]],XG[2,3),

由國為不超過％的最大整數，

得函數的值域A={4,5},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集3中，

滿足只有一個“孤立元素''的集合B,

則8={4},B={5}；

不滿足題意，故選項A不正確;

當〃=3時，/(x)=[4x]],XG[3,4),

由㈤為不超過工的最大整數，

得函數的值域A={9,10,11},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集3中，

滿足只有一個“孤立元素”的集合B,

則8二{9},B={10},B=

不滿足題意，故選項B不正確：

當〃=4時，/(乃=[M刈,xe[4,5),

由⑶為不超過4的最大整數，

得函數的值域A={16,17,18,19},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集5中，

滿足只有一個“孤立元素”的集合B,

則8={16},B={17},B={18},8={19},

3={16,18,19},5={16,17,19},

滿足題意，故選項C正確；

當〃=5時，XG[5,6),

由[出為不超過”的最大整數，

得函數的值域4={25,26,27,28,29},

又集合8是集合A的非空子集，

集合A的所有子集8中，

滿足只有一個“孤立元素”的集合B,

則5={25},5={26},8={27},5={28},

8={29},8={25,27,28},B={25,28,29},

3={25,26,28},3={25,26,29},5={26,27,29},

8={26,28,29},8={25,27,28,29},3={25,26,27,29},

共13個滿足條件的集合B，

不滿足題意，故選項D不正確；

故選：C.

【點睛】

思路點睛：本題考查的是集合知識和新定義的問題，在解答過程中應充分體會新定義問題概念的確定性，

與集合子集個數，子集構成的規律.

17.已知集合4={工€?4*|工=4+"^=7，丁之。}，若BNA且集合B中恰有2個元素，則滿足條件

的集合8的個數為().

A.1B.3C.6D.10

【答案】B

【分析】

將方程平方整理得4y2-8移+/(工一2丫=o,再根據判別式得owx<4,故x=l,2,3,4,再依次檢驗得

4={2,3,4},最后根據集合關系即可得答案.

【詳解】

解:根據題意將冗=后+px-y兩邊平方得%2=2x+2j2孫-產,

繼續平方整理得：4y2-8^+x2(x-2)：=0,故該方程有解.

所以A=64X2—16X2(X—2)2N0,即-9+4X20,解得0KXW4,

因為JVWN",故x=l,2,3,4,

當x=l時，易得方程無解，當x=2時，y2-4y=0,有解，滿足條件；

當工=3時，4/-24y+9=0,方程有解，滿足條件；

當x=4B寸，/-8y+16=0,方程有解，滿足條件；

故4={2,3,4},因為BqA且集合B中恰有2個元素，

所以6集合可以是{2,3},{2,4},{3,4}.

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的元素，集合關系，解題的關鍵在于將方程平方轉化為4y2—8少，+/(X—2『=0,再結合

判別式得x=l,2,3,4,進而求出集合A={2,3,4}.考查運算求解能力，化歸轉化能力，是中檔題.

18.設全集U=R,集合M={RxWO},集合N={N/wi},則(q,,M)UN=()

A.(。,1]B.[-1,0]C.[-D.(―oo,-1]

【答案】C

【分析】

先求出N={x|TWx《l}和七M,再求@，M)UN得解.

【詳解】

由題得N={x|f?1}={用_1?工<1},

因為M={xlx?0}

所以={x|x>0},

所以@")UN=[—1,內).

故選：C

【點睛】

思路點睛：該題主要考查集合的補集和交集運算，解題思路如下：

(1)利用一元二次不等式的解法，求得集合N；

(2)利用補集的定義以及題中所給的集合M,求得Q,M：

(3)利用并集的定義求得結果.

19.已知全集"二>1,集合4=卜旭(％-2)<1},集合8=卜,2一21一320},則AU(Q/)=()

A.(2,12)B.(-1,3)C.(-1,12)D.(2,3)

【答窠】C

【分析】

先化簡求出集合A8,再求得解.

【詳解】

由題得A={x|lg(x-2)<l}={x|lg(x-2)<lgl0}=(2,12),

8=卜,2_2_￥-32()}={劃工23或14一1),

所以08二(-1,3),

所以AU&B)=(T12).

故選：C

【點睛】

易錯點睛：解不等式lg(x—2)<l時，要考慮函數的定義域，必須滿足％-2>0,不能只得到工一2<10,

否則容易出錯.函數的問題，要注意定義域優先的原則.

20.已知集合人=卜|/-4工+3>0},B={x\w<x<w+4},若AUB=R,則實數機的取值范圍

是()

A.[-1,2)B.[-1,1)C.(Y,1)D.[―1,+8)

【答案】B

【分析】

解?元二次不等式求得集合4根據集合的關系得到關于加的不等式組，解出即可.

【詳解】

因為4={x|無2-4工+3>0}={劃3<1或工>3),

B={x\m<x<m+4},且AU8=R,

m<\

所以有{,c，解得一1?相<1，

w+4>3

故選：B.

【點睛】

方法點睛：該題考查的是有關集合運算的問題，解題方法如下：

(1)根據一元二次不等式的解法求得集合A；

(2)根據兩集合的并集為R,得到關于加的不等式組，求得結果.

21.定義集合C=｛（蒼,y）|x￡&ywR｝,M=｛（x,y）|xcos夕+ysin夕=2,。w[0,2萬?,

A/=｛（x,y）||x|+|y|<2）,則下列判斷正確的是（）

A.McN=0

B.Q（MDN）=0

（2%）（2聲

C.若hhhwM,/1:xcos0+ysine=2,l2:xcos^+—+ysin^+―J=2,

/3:xcosh9—+jsin=2,則由4,J4圍成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面

積一定相等

D.滿足產夕用日P/N的點P構成區域的面積為4（萬一1）

【答案】C

【分析】

首先確定集合M和N所表示的區域，再數形結合判斷選項是否正確即可.

【詳解】

對于集合M=｛（%y）|xcos夕+ysin8=2,夕w[0,2萬）｝,

2

原點到直線xcos6+ysin0=2的距離為d=/,0=2,

Vcos2（94-sin26>

所以集合M表示圓/+y2=4上所有點的切線上的點，

對「集合'=｛（乂〉）舊+302｝,

當xNO,yNO時，x+yW2表示圖中三角形40。區域；

當時，-x+yW2表示圖中三角形A08區域；

當xWO,y〈O時，一尢一y42表示圖中三角形8。。區域；

當xNO,y?O時，％一、《2表示圖中三角形。。。區域；

所以集合N=｛（乂月舊+3K2）表示圖中ABCD區域,

對于A選項，由圖可知McN={(x,)，)|(2,0),(0,2),(—2,0),(0,-2)},不是空集，故A錯；

對于B選項，=表示圖中圓內部挖去A8CO區域剩下的部分，不是空集，故B錯:

對于C選項，Z1:xcos6+ysin夕=2表示在點(2cose,2sin。)處的切線,

cosp+—Uysin[i9+—

X=2表示在點(2cos(e+q-),2sin(8+7))處的切線，

27r27r

/:xcosl0-^-+ysin|6-毛=2表示在點(2cos(〃——),2sin(9——))處的切線，三切點均在圓

3\3J\3J33

上，易知三切點構成正三角形，由對稱性可知C正確；

對于D選項，由B選項知，。促M且尸eN則P點在圓內部挖去人8CO區域剩下的區域內，面積為4〃一8，

故D錯；

故選C.

【點睛】

本題主要考查直線與圓的位置關系問題，在解題的過程中，要善于數形結合，代數幾何化之后，可以輔助

我們解題，達到事半功倍的效果.

X?

22.已知集合人一九|“1一^~~匕』＜11，集合占一{乂2025+1門32021},若8三4,則實數〃的

X

取值范圍為()

A.[-e,e]B.[一e4]C.[-覃]D.[—1,(?]

【答案】B

【分析】

令/a)=202Lr+lnx,由f(x)單調性和/(1)=2021可求得集合5，將問題轉化為

/7-￡^^?1在4?1,”)上恒成立，化簡不等式得/一111/4"》一1116一1，構造函數'=/一也，，

x

由導數可確定其單調性；分別在0<4〈1和。>1:種情況卜.，根據不等式恒成立求得取值范圍.

【詳解】

令f(x)=202氏+lnx,則/(力=2021+」>0,..f(x)在(0,y)上單調遞增,

X

又"1)=2021,.?.2021x+lnxN2021的解集為％之1,..8=［1,”)，

.??口,”)為￡一|A1的解集的子集,

x

即當方￡口,木?)時，用7_6恒成立;

x

由X“T—"+0”匕1(工訓得:xa-e~x-a\nx<x(x>1),

即/一InVW+x=—In"*(xN1),

1t-\

令y=，-hu,貝i］)/=l-7=—,

???當/￡(o,i)時，y<o；當，￡(i,+oo)時，y>0；

在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增；

axax

①當a40時，xe(0,l］,e~e0,^L;,x>e~^即alnxN-x在［1,十刃)上恒成立，

當x=l時，。之一1,則awR：

當”>1時，a>一--,令&(%)=--—(x>l),則n；(x〉［),

Inx'，lnxv7(Inx)

???當xw(1,e)時，g'(x)>0；當x￡(e,+oo)時，g'(x)v0：

.,.g(x)在(l,e)上單調遞增，在(e,+oo)上單調遞減，「.g(x)max=g(e)=-e,「.aN-e；

綜上所述：4?-60］：

②當0v〃41時，???xNl,.?.14/W%,又"'+111%>0，Inx，

/.xa-Inxa<x—InxWx+0-*，?二a￡(0,1］滿足題意；

③當a>l時,

若￡一出/工"'+工="'—lne%xNl)恒成立，則爐—々Mx—/X-xWO在[1,”)上恒成立，

令y=lnx-(x-l)(XN1),則yz=--1=---<O,

xx

.?.y=111%一(工一1)在[1,+00)上單調遞減，:.y<0,即InxKx—l,又"、<1，

￡—ci\nX-cx—x￡—ci^x—1)—e'—x=xa-ax+a—ex-x

>—(a+l)x+〃-1>￡—(a+l)x,

令/=(6f+l)a-l，則x"-(o+l)x=(4+l)a-1+=(〃+l)"T-(〃+1>T=0'

又(4+1)=>1，則芍一。比上0一夕”一

即x"-alnx—"X-尤W0在口,+°0)上不恒成立，

不合題意；

綜上所述：實數。的取值范圍為[一81].

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：本題以集合為載體，考查了利用導數求解不等式恒成立問題，解題關鍵是能夠根據集合的包

含關系將問題轉化為不等式恒成立，通過同構的思想將問題進一步轉化為函數的函數值之間的比較問題，

通過構造函數，結合函數的單調性來進行求解.

23.若非空實數集X中存在最大元素”和最小元素也則記△(X)=M-m下列命題中正確的是()

A.已知Y-(O,h),且A(X)-△(￥),則人=2

2

B.已知X=m,a+2],Y={y\y=x,x^x}t則存在實數a,使得八(丫)<1

C.己知X={x"(x)>g(x),x￡[-Ll]},若A(X)=2,則對任意xw[T,l],都有/(x)Ng(x)

D.已知X=[a,a+2],Y=g,b+3],則對任意的實數a,總存在實數b,使得△(XuYX?

【答案】D

【分析】

根據A(X)=M-/n的定義，對四個選項一一驗證即可.

【詳解】

對于A：由'={-1,1},則A(X)=l—(—1)=2；丫={0,圻，則僅丫)=|0-4=2,解得：b=±2,故A

錯誤；

對于B：由X=［〃M+2］,則A(X)=a+2-。=2；

2

Y={y\y=x9xeX},則A(Y)=一Znin，

①當aK-2時，y=/在［。,。+2］上單減，所以△(Y)=ymax—為泣=。2-(。+2)2=Ta-4vl,解得：

a>~,又。4—2,所以。不存在；

4

②當一2vaWT時，y=V在［&0］上單減，在［0,々+2］上單增，且〃？>(4+2)2所以

△(丫)二)’1^一/面二。2-0=/<］,解得：-又一2<。<一1，所以。不存在；

③當-IvaWO時，y=V在口,0］上單減，在［0,a+2］上單增，且/〈(〃十？?所以

△(丫)=乂皿一乂《所=(。+2)2-()=(。+2)2<1,解得：一3<。<一1,又一IvaWS所以。不存在；

④當。>0時，y=V在［〃M+2］上單增，所以△(y)=ymax-y而”=(。+2)2—/=4。+4<1,解得：

3

a<—,又〃>0,所以a不存在：

4

綜上所述：不存在實數小使得僅丫)<1

故B錯誤；

對于C：??,X=*"*)>而A(X)=2,則M=1,N=-1,但對任意都有

f(x)>g(x),不一定成立；

對于D：???X=3M+2］,??.A(X)=2,由丫=由力+3］得A(Y)=3,所以則對任意的實數m總存在實

數瓦使得A(Xuy)W3,故D成立.

故選：D

【點睛】

通過閱讀材料滲透新概念,新運算，新符號,新規定等知識，是近年的又一考題類駕結合已經學過的知識，掌握

的技能進行理解,根據新定義進行運算，推理，遷移，把握“新定義”內涵，是解決此類問題的關鍵.

24.已知非空集合A±R,設集合S={x+.y|xwAyeA,xwy},T=[x-y\xeA,yeAf%>y}.分

別用⑶、間、表示集合A、S、7中元素的個數，則下列說法不更硬的是（）

A.若同=4,則網+團48B.若網=4,則閭+r區12

C.若同=5,則同+|刀可能為18D.若⑶=5,則間+|刀不可能為19

【答案】D

【分析】

分析集合S,7中的元素,將問題轉化為排列組合問題，求出間+|刀的最大值,若集合A由相鄰元素構成時，

則同+|刀取得最小值，依次分析各個選項，即可得解.

【詳解】

已知S={x+y|x￡4,y￡A,xwy},T=^x-y\xeA,yGAfx>y^.

又|A|、|S|、|T|表示集合A、S、丁中元素的個數，將問題轉化為排列組合問題，

對于AB,同=4,同《第=6,|外<第=6,則同十|刀412,故B正確;

但若考慮重復情況，即A由相鄰元素構成，例4={1,2,3,4},則5={3,4,56,7},7={1,2,3）,即

狗明）3「8,故A正確：

對于CD,同=5,|S|?C=1。，|刀4C=1°，則|S|+|T|?20,故D錯誤;

但若考慮重復情況，即A由相鄰元素構成，例A={1,2,3,4,5},則5={3,4,5,6,7,8,9},T={1,2,3,4},

即（冏+|4）*=11,故同+|刀可能為18,故C正確;

故選：D

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查利用排列組合思想求集合中元素的個數，解題的關鍵是分析集合S,T中的元素，即

從多個元素中選出兩個元素的組合求其和與差，即可將問題轉化為排列組合的問題，考查學生的邏輯思維

與轉化思想，屬于較難題.

25.已知使不等式/+3+1）工+%。成立的任意一個右都滿足不等式3X一1?0,則實數。的取值范圍為

)

[1）1

B.--,+ooC.心/JD.一oc,--

33

【答案】B

【分析】

可分解因式％2+3+1)冗+4=(X+1)(%+0,分三類。=1,a<\,求解不等式解集，利用不等式

f+3+1比+。《0的解集是(-00'的子集，求解〃的取值范圍.

【詳解】

由題意，3x-l<0?得由Y+(a+l)x+aW0,得(x+l)(x+a)?0

因為使不等式成立x2+(a+l)x+a<0的任意一個x,都滿足不等式31一1<0

①若a=l，則*+1)*+。)工0的解集為{一1}，滿足{T}q(—,g,符合題意

②若"1,則(x+l)(x+〃)WO的解集為[-1,一句，貝4一1,-〃]=(-<?,；,故一則一

(「

③若則則(x+D(x+a)?O的解集為[一々,一1],則[一〃,一l]q,故〃>1

綜上有：a的取值范圍為一g，+8)

故選：B

【點睛】

本題考查了含參的一元二次不等式的解法問題，可先將給定式子十字相乘因式分解，根據一元二次不等式

所對應的方程的根的大小分類討論，寫出解集.如若不能十字相乘分解，需要先對判別式與零的大小關系進

行討論，判別式大于等于零時，用求根公式求出對應方程的根，從而寫出解矣.

26.已知集合4={(4,力|工2+)/=]/,),ez},B={(x,y)|\x\3,|y|3,x,yeZ]f定義集合

A十3={（X]+X2，yi+y2）l（M，M）￡4，（X2，y2）￡B},則A十B中元素的個數為（）

A.77B.49C.45D.30

【答案】A

【分析】

根據題意，利用數形結合表示出集合4氏然后根據新定義中集合4④B中元素的構成，用平面的點表示即可.

【詳解】

因為集合4=｛（x,y）|d+y2=i/,yez｝,所以集合A中有5個元素（即5個點），即圖中圓中的整點（包括

邊界），集合8=｛（乂歷|兇43口區3,乂），€2｝中有7x7=49個元素（即49個點）：即圖中正方形A3CO中

的整點，

集合4十B=｛（%+々，）%+%）I（X，,）w4（9，％）￡陰的元素可看作正方形EFGH中的整點（除去四

個頂點），即9x9—4=77個.

.?.AO8含有77個元素.

關鍵點點睛：本題的解題關鍵是利用數形結合表示集合的幾何意義，從而得解.

22

27.設函數/⑴=sin（5+3）,A=｛（^,/（x0））|r（x0）=0｝,8=｛（%,y）囁+3KI｝,若存在實數

9,使得集合ACIB中恰好有7個元素，則①（①>0）的取值范圍是（）

3533

A.—71,—nB.—71,71C.D.71,-71

4442

【答案】B

【分析】

3--<8

由題意求出-48",結合正弦函數的性質可得《f,從而可求出①的取值范圍.

“27r八

4>8

Lco

【詳解】

解：“：f(xo)=0,.*.f(xo)是/(x)的最大值或最小值，

又/(x)=sin(cox+(p)的最大值或最小值在直線y=±l上，

2221

???y=±］代入工+￡工1得，￡1+1<1，解得-42，

322322

3~<8

又存在實數仍使得集合ACW中恰好有7個元素，f,且①>0,

42乃八

解得，，①的取值范圍是

4

故選：B.

【點睛】

關鍵點睛：

本題的關鍵是求出x的取值范圍，再結合三角函數的性質列關于①的不等式.

28.設集合S,T中至少兩個元素，且S,7滿足:①對任意x,yeS,若“力y,則x+y￡T,②對任意x,yeTf

若xwy,則x-yeS,下列說法正確的是()

A.若S有2個元素，則SUT有3個元素

B.若S有2個元素，則SUT