函數第三章第3講函數的奇偶性與周期性高考要求考情分析1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．2．會運用函數的圖象理解和研究函數的奇偶性．3．了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性函數的奇偶性主要和單調性、不等式、最值，三角函數等結合，與周期性、對稱性、抽象函數等問題聯系較多．體現了邏輯推理和直觀想象的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.函數的奇偶性f(－x)＝f(x)奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有____________，那么函數f(x)就叫做偶函數關于______對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有______________，那么函數f(x)就叫做奇函數關于______對稱y軸f(－x)＝－f(x)原點[謹記常用結論]函數奇偶性的幾個重要結論(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集．(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．2.函數的周期性(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有_____________，那么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個____________，那么這個__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正數最小正數3．(2019年福建模擬)已知y＝f(x)是定義在R上的函數，且f(x＋4)＝－f(x)，如果當x∈[－4,0)時，f(x)＝3－x，則f(985)＝(

)A．27

B．－27

C．9

D．－9【答案】B【解析】因為y＝f(x)是定義在R上的函數，且f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)．所以f(x)是周期為8的周期函數．因為當x∈[－4,0)時，f(x)＝3－x，所以f(985)＝f(123×8＋1)＝f(1)＝－f(－3)＝－33＝－27.故選B．1．判斷函數的奇偶性，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數奇偶性判定時，誤用函數在定義域某一區間上不是奇偶函數去否定函數在整個定義域上的奇偶性．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(

)(2)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(

)(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)關于點(b,0)中心對稱．(

)(4)如果函數f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數，則F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函數．(

)(5)若T為函數f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函數f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重難突破能力提升2函數奇偶性的判斷方法二(定義法)：易知f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱．當x>0時，f(x)＝x2－x，則當x<0時，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；當x<0時，f(x)＝x2＋x，則當x>0時，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函數．方法三：f(x)可以寫成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)為偶函數．【規律方法】判定函數奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：【跟蹤訓練】1．(1)設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(

)A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|·g(x)是奇函數C．f(x)·|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數【答案】(1)C

(2)B函數的周期性【解析】根據題意，函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數．當x∈(0,2]時，f(x)＝x－sinπx，則f(1)＝1－sinπ＝1，f(2)＝2－sin2π＝2.又由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝－f(2)＝－2，則有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.故選C．【規律方法】函數周期性問題的求解策略(1)判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．(2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．函數性質的應用【考向分析】函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們結合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主．多以選擇題、填空題形式出現．常見的考向：(1)奇偶性的應用；(2)單調性與奇偶性結合；(3)周期性與奇偶性結合；(4)單調性、奇偶性與周期性結合．【答案】(1)A

(2)C【答案】A【答案】D【解析】因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R內的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區間[0,2]上是增函數，f(x)在R內是奇函數，所以f(x)在區間[－2,2]上是增函數．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故選D．【規律方法】函數性質應用問題的常見類型及解題策略(1)單調性與奇偶性結合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區間，然后利用奇偶性和單調性求解．函數性質的綜合運用【規律方法】函數性質綜合應用的注意點函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規律，因此在解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉化，再利用單調性解決相關問題．【答案】(1)2

(2)①②④(2)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，得f(0)＝0.令x＋y＝0，得y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數．因為f(x)在x∈[－1,0]上為增函數，又f(x)為奇函數，所以f(x)在[0,1]上為增函數．由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)為周期函數，①正確；f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)，又f(x)為奇函數，所以f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，②正確；由f(x)在[0,1]上為增函數，又關于直線x＝1對稱，所以f(x)在[1,2]上為減函數，③錯誤；由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0，得f(2)＝－f(0)＝f(0)，④正確．綜上，①②④正確．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年深圳模擬)已知函數f(x)是R上的偶函數．若對于x≥0都有f(1－x)＝f(1＋x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2019)＋f(2020)的值為(

)A．－2

B．－1

C．1

D．2【考查角度】函數奇偶性的性質以及函數的周期性的判斷及其應用．【考查目的】考查運算求解能力和邏輯推理能力，體現邏輯推理的核心素養．【思路導引】先利用f(x)的奇偶性求出f(x)的周期T＝2，再借助f(x)的奇偶性和周期性將f(－2019)和f(2020)轉化到區間[0,2)上進行求值即可．【解析】因為f(x)為R上的偶函數，所以f(x)＝f(－x)，又因為對于x≥0，都有f(1－x)＝f(1＋x)，令t＝1－x，則x＝1－t，所以f(t)＝f(2－t)，即f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2－x)．所以函數f(x)的周期T＝2，f(－2019)＋f(2020)＝f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.故選C．【答案】C【拓展延伸】1．奇、偶函數定義域的特點(1)奇、偶函數的定義域關于原點對稱．(2)函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件.2．奇、偶函數的兩個性質(1)若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．與周期性和對稱性有關的三條結論(1)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)若對于R內的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數．(3)若對于定義域內的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，則函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T＝2|a－b|.

【真題鏈接】

【答案】C2．(2017年山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.【答案】6【解析】因為f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期為6.因為919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)．又f(x)為偶函數，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.3．(2019年新課標Ⅱ)已知f(x)是奇