立體幾何第八章第2講空間點、線、面的位置關系高考要求考情分析1.理解空間直線、平面位置關系的定義．2．了解可以作為推理依據的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題高考中判斷兩條直線的位置關系居多，直接求異面直線所成的角的大小，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．平面的基本性質(1)公理1：如果一條直線上的______在一個平面內，那么這條直線在此平面內．(2)公理2：過______________________的三點，有且只有一個平面．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有______公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(4)公理2的三個推論：推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經過兩條______直線有且只有一個平面；推論3：經過兩條______直線有且只有一個平面．兩點不在同一條直線上一個相交平行2．空間點、直線、平面之間的位置關系3．平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線____________．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角_____________．4．異面直線所成的角(1)定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的_____________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：________.互相平行相等或互補銳角(或直角)

1．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(

)A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C2．(多選題)下列結論中正確的是(

)A．在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行B．與同一直線都相交的三條平行線在同一平面內C．一條直線與兩條平行直線中的一條相交，那么它也與另一條相交D．空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c【答案】BD

【解析】A錯，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；B顯然正確；C錯，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；由平行直線的傳遞性可知D正確．故選BD．3．(2019年貴陽調研)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關系不可能是(

)A．垂直 B．相交C．異面 D．平行【答案】D

【解析】依題意，m∩α＝A，n?α，所以m與n異面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．4．若直線a⊥直線b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是________．【答案】b與α相交或b∥α或b?α5．設P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列三個命題，其中真命題是________．(填序號)①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α.【答案】③【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×重難突破能力提升2平面的基本性質及應用

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．【證明】(1)如圖所示，連接EF，CD1，A1B.因為E，F分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，C，D1，F四點共面．(2)因為EF∥CD1，EF<CD1，所以CE與D1F必相交，設交點為P.由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點．【規律方法】共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．【跟蹤訓練】1．如圖，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確的是(

)A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面【答案】A

【解析】連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點共面，所以A1C?平面ACC1A1.因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點共線．空間點、線位置關系的判斷

若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

)A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交1 D．l至少與l1，l2中的一條相交【答案】D

【解析】如圖1所示，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2所示，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．【規律方法】平面的基本性質是立體幾何的基本理論基礎，對點、線位置關系的判斷，要對各種關系都進行考慮，要充分發揮模型的直觀性作用．【跟蹤訓練】2．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是(

)A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行【答案】D

【解析】如圖所示，連接C1D，必過點N.在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因為CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN⊥CC1，故A正確；因為AC⊥BD，MN∥BD，所以MN⊥AC，故B正確；因為A1B1與BD異面，MN∥BD，所以MN與A1B1不可能平行，故D錯誤．異面直線所成的角【規律方法】平移法求異面直線所成角的步驟：平移平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補形平移證明證明所作的角是異面直線所成的角或其補角尋找在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】異面直線及其所成的角．【考查角度】考查空間想象能力、推理能力與計算能力，體現了邏輯推理和數學運算的核心素養．【思路導引】如圖所示，設AB＝2，連接D1A.AB⊥D1A，AB∥CD.可得∠AED1為異面直線D1E與DC所成的角．即可得出．【拓展延伸】1．異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．2．3個公理的作用(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內；③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內；④由直線的直刻畫平面的平．(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線．【真題鏈接】

1．(2017年新課標Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(

)A．A1E⊥DC1

B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1

D．A1E⊥AC【答案】C

【解析】對于A，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，顯然不成立；對于B，若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，顯然不成立；對于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反過來BC1⊥B1C時，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立；對于D，若A1E⊥AC，則AE⊥AC，顯然不成立．故選C．