計數原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第6講離散型隨機變量的分布列、均值、方差高考要求考情分析1.會求某些取有限個離散型隨機變量的分布列，理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．2．能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．3．利用實際問題的直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義以實際問題為背景，運用期望與方差的知識進行決策或判斷，常以解答題為主，幾乎每卷都有考查，考查數學建模與數學抽象以及數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為____________________，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為____________隨機變量．隨機變量離散型概率分布列p1＋p2＋…＋pn

x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

數學期望平均水平平均偏離程度標準差5．均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝____________.(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b為常數)6．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則EX＝________，DX＝__________.(2)若X～B(n，p)，則EX＝________，DX＝__________.aEX＋b

a2DX

p

p(1－p)

np

np(1－p)

【答案】D

【解析】由隨機變量X的分布列，得p＝1－0.3＝0.7，所以EX＝0×0.3＋1×0.7＝0.7.故選D．【答案】D

【解析】依題意，P(X＜4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＋0.2＝0.5.故選D．【答案】B【答案】905．拋擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數的均值為____________．1．在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量，它不確定．(

)(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小．(

)(3)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布．(

)(4)均值是算術平均數概念的推廣，與概率無關．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×重難突破能力提升2離散型隨機變量分布列的性質【規律方法】分布列性質的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率．離散型隨機變量分布列的求法

(經典母題)(2017年山東改編)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列．【遷移探究1】用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數，求X的分布列．【規律方法】(1)離散型隨機變量分布列的求解步驟①明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義．②弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關公式求出變量所對應的概率．③按規范要求形式寫出分布列．④利用分布列的性質檢驗分布列是否正確．(2)超幾何分布的特征①考察對象分兩類．②已知各類對象的個數．③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布．離散型隨機變量的均值與方差【考向分析】離散型隨機變量的均值與方差是高中數學的重要內容，也是近幾年高考中主要的概率題型，常與排列組合、概率等知識綜合考查．常見的考向有：(1)求離散型隨機變量的均值、方差；(2)已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數值．【答案】D

【解析】因為η～B(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【規律方法】離散型隨機變量的均值與方差的常見類型及解題策略：(1)求離散型隨機變量的均值與方差．可依題設條件求出離散型隨機變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求參數值．可依據條件利用均值、方差公式得出含有參數的方程，解方程即可求出參數值．均值與方差在決策中的應用

計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立．(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：若某臺發電機運行，則該臺發電機年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺發電機年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發電機最多可運行臺數123追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年贛州模擬)有一種叫“對對碰”的游戲，游戲規則如下：一輪比賽中，甲乙兩人依次輪流拋一枚質地均勻的硬幣，甲先拋，每人拋3次，得分規則如下：甲第一次拋得x(x∈N＋)分，再由乙第一次拋，若出現朝上的情況與甲第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得2分，否則得1分；再甲第二次拋，若出現朝上的情況與乙第一次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是乙第一次得分的基礎上加1分，否則得1分；再乙第二次拋，若出現朝上的情況與甲第二次拋的朝上的情況一樣，則本次得分是甲第二次得分的基礎上加1分，否則得1分；按此規則，直到游戲結束．記甲乙累計得分分別為ξ，η.【考查角度】離散型隨機變量及其分布列與離散型隨機變量的期望與方差．【考查目的】考查數學運算能力及必然與或然思想，體現數學建模和數學運算的核心素養．【拓展延伸】1．期望與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數)．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數)．2．求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．【真題鏈接】

1．(2018年新課標Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B

【答案】D

3．(2019年北京)改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本